MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recmulnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recmulnq 10961
Description: Relationship between reciprocal and multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recmulnq (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜๐ด) = ๐ต โ†” (๐ด ยทQ ๐ต) = 1Q))

Proof of Theorem recmulnq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘  ๐‘Ÿ ๐‘ก are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6904 . . . 4 (*Qโ€˜๐ด) โˆˆ V
21a1i 11 . . 3 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜๐ด) โˆˆ V)
3 eleq1 2821 . . 3 ((*Qโ€˜๐ด) = ๐ต โ†’ ((*Qโ€˜๐ด) โˆˆ V โ†” ๐ต โˆˆ V))
42, 3syl5ibcom 244 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ต โˆˆ V))
5 id 22 . . . . . 6 ((๐ด ยทQ ๐ต) = 1Q โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = 1Q)
6 1nq 10925 . . . . . 6 1Q โˆˆ Q
75, 6eqeltrdi 2841 . . . . 5 ((๐ด ยทQ ๐ต) = 1Q โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q)
8 mulnqf 10946 . . . . . . 7 ยทQ :(Q ร— Q)โŸถQ
98fdmi 6729 . . . . . 6 dom ยทQ = (Q ร— Q)
10 0nnq 10921 . . . . . 6 ยฌ โˆ… โˆˆ Q
119, 10ndmovrcl 7595 . . . . 5 ((๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q โ†’ (๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q))
127, 11syl 17 . . . 4 ((๐ด ยทQ ๐ต) = 1Q โ†’ (๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q))
13 elex 3492 . . . 4 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต โˆˆ V)
1412, 13simpl2im 504 . . 3 ((๐ด ยทQ ๐ต) = 1Q โ†’ ๐ต โˆˆ V)
1514a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((๐ด ยทQ ๐ต) = 1Q โ†’ ๐ต โˆˆ V))
16 oveq1 7418 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = (๐ด ยทQ ๐‘ฆ))
1716eqeq1d 2734 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โ†” (๐ด ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q))
18 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทQ ๐‘ฆ) = (๐ด ยทQ ๐ต))
1918eqeq1d 2734 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โ†” (๐ด ยทQ ๐ต) = 1Q))
20 nqerid 10930 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
21 relxp 5694 . . . . . . . . . . . 12 Rel (N ร— N)
22 elpqn 10922 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N))
23 1st2nd 8027 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel (N ร— N) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)
2421, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ ๐‘ฅ = โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)
2524fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜๐‘ฅ) = ([Q]โ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ))
2620, 25eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ ๐‘ฅ = ([Q]โ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ))
2726oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ([Q]โ€˜โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)) = (([Q]โ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ) ยทQ ([Q]โ€˜โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)))
28 mulerpq 10954 . . . . . . . 8 (([Q]โ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ) ยทQ ([Q]โ€˜โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)) = ([Q]โ€˜(โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยทpQ โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ))
2927, 28eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ([Q]โ€˜โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)) = ([Q]โ€˜(โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยทpQ โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)))
30 xp1st 8009 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N)
3122, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N)
32 xp2nd 8010 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N)
3322, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N)
34 mulpipq 10937 . . . . . . . . . 10 ((((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N) โˆง ((2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N โˆง (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยทpQ โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ)
3531, 33, 33, 31, 34syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยทpQ โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ)
36 mulcompi 10893 . . . . . . . . . 10 ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))
3736opeq2i 4877 . . . . . . . . 9 โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ
3835, 37eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยทpQ โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ)
3938fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜(โŸจ(1st โ€˜๐‘ฅ), (2nd โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยทpQ โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)) = ([Q]โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ))
40 mulclpi 10890 . . . . . . . . . . 11 (((1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ N)
4131, 33, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ N)
42 1nqenq 10959 . . . . . . . . . 10 (((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ N โ†’ 1Q ~Q โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ 1Q ~Q โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ)
44 elpqn 10922 . . . . . . . . . . 11 (1Q โˆˆ Q โ†’ 1Q โˆˆ (N ร— N))
456, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 1Q โˆˆ (N ร— N)
4641, 41opelxpd 5715 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
47 nqereq 10932 . . . . . . . . . 10 ((1Q โˆˆ (N ร— N) โˆง โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (1Q ~Q โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โ†” ([Q]โ€˜1Q) = ([Q]โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ)))
4845, 46, 47sylancr 587 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (1Q ~Q โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ โ†” ([Q]โ€˜1Q) = ([Q]โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ)))
4943, 48mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜1Q) = ([Q]โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ))
50 nqerid 10930 . . . . . . . . 9 (1Q โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜1Q) = 1Q)
516, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 ([Q]โ€˜1Q) = 1Q
5249, 51eqtr3di 2787 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฅ))โŸฉ) = 1Q)
5329, 39, 523eqtrd 2776 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ([Q]โ€˜โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)) = 1Q)
54 fvex 6904 . . . . . . 7 ([Q]โ€˜โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ) โˆˆ V
55 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ([Q]โ€˜โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทQ ([Q]โ€˜โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)))
5655eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ([Q]โ€˜โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โ†” (๐‘ฅ ยทQ ([Q]โ€˜โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)) = 1Q))
5754, 56spcev 3596 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยทQ ([Q]โ€˜โŸจ(2nd โ€˜๐‘ฅ), (1st โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)) = 1Q โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q)
5853, 57syl 17 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q)
59 mulcomnq 10950 . . . . . 6 (๐‘Ÿ ยทQ ๐‘ ) = (๐‘  ยทQ ๐‘Ÿ)
60 mulassnq 10956 . . . . . 6 ((๐‘Ÿ ยทQ ๐‘ ) ยทQ ๐‘ก) = (๐‘Ÿ ยทQ (๐‘  ยทQ ๐‘ก))
61 mulidnq 10960 . . . . . 6 (๐‘Ÿ โˆˆ Q โ†’ (๐‘Ÿ ยทQ 1Q) = ๐‘Ÿ)
626, 9, 10, 59, 60, 61caovmo 7646 . . . . 5 โˆƒ*๐‘ฆ(๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q
63 df-eu 2563 . . . . 5 (โˆƒ!๐‘ฆ(๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โ†” (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โˆง โˆƒ*๐‘ฆ(๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q))
6458, 62, 63sylanblrc 590 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ(๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q)
65 cnvimass 6080 . . . . . . . 8 (โ—ก ยทQ โ€œ {1Q}) โŠ† dom ยทQ
66 df-rq 10914 . . . . . . . 8 *Q = (โ—ก ยทQ โ€œ {1Q})
679eqcomi 2741 . . . . . . . 8 (Q ร— Q) = dom ยทQ
6865, 66, 673sstr4i 4025 . . . . . . 7 *Q โŠ† (Q ร— Q)
69 relxp 5694 . . . . . . 7 Rel (Q ร— Q)
70 relss 5781 . . . . . . 7 (*Q โŠ† (Q ร— Q) โ†’ (Rel (Q ร— Q) โ†’ Rel *Q))
7168, 69, 70mp2 9 . . . . . 6 Rel *Q
7266eleq2i 2825 . . . . . . . 8 (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ *Q โ†” โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (โ—ก ยทQ โ€œ {1Q}))
73 ffn 6717 . . . . . . . . 9 ( ยทQ :(Q ร— Q)โŸถQ โ†’ ยทQ Fn (Q ร— Q))
74 fniniseg 7061 . . . . . . . . 9 ( ยทQ Fn (Q ร— Q) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (โ—ก ยทQ โ€œ {1Q}) โ†” (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q) โˆง ( ยทQ โ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ) = 1Q)))
758, 73, 74mp2b 10 . . . . . . . 8 (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (โ—ก ยทQ โ€œ {1Q}) โ†” (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q) โˆง ( ยทQ โ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ) = 1Q))
76 ancom 461 . . . . . . . . 9 ((โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q) โˆง ( ยทQ โ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ) = 1Q) โ†” (( ยทQ โ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ) = 1Q โˆง โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q)))
77 ancom 461 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q))
78 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ Q โ†” 1Q โˆˆ Q))
796, 78mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ Q)
809, 10ndmovrcl 7595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q))
82 opelxpi 5713 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q))
8481simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Q)
8583, 842thd 264 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ Q))
8685pm5.32i 575 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โˆง โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q)) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q))
87 df-ov 7414 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = ( ยทQ โ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ)
8887eqeq1i 2737 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โ†” ( ยทQ โ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ) = 1Q)
8988anbi1i 624 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q โˆง โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q)) โ†” (( ยทQ โ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ) = 1Q โˆง โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q)))
9077, 86, 893bitr2ri 299 . . . . . . . . 9 ((( ยทQ โ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ) = 1Q โˆง โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q))
9176, 90bitri 274 . . . . . . . 8 ((โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q) โˆง ( ยทQ โ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ) = 1Q) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q))
9272, 75, 913bitri 296 . . . . . . 7 (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ *Q โ†” (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q))
9392a1i 11 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ *Q โ†” (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q)))
9471, 93opabbi2dv 5849 . . . . 5 (โŠค โ†’ *Q = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q)})
9594mptru 1548 . . . 4 *Q = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = 1Q)}
9617, 19, 64, 95fvopab3g 6993 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ V) โ†’ ((*Qโ€˜๐ด) = ๐ต โ†” (๐ด ยทQ ๐ต) = 1Q))
9796ex 413 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ต โˆˆ V โ†’ ((*Qโ€˜๐ด) = ๐ต โ†” (๐ด ยทQ ๐ต) = 1Q)))
984, 15, 97pm5.21ndd 380 1 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜๐ด) = ๐ต โ†” (๐ด ยทQ ๐ต) = 1Q))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541  โŠคwtru 1542  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106  โˆƒ*wmo 2532  โˆƒ!weu 2562  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  {csn 4628  โŸจcop 4634   class class class wbr 5148  {copab 5210   ร— cxp 5674  โ—กccnv 5675  dom cdm 5676   โ€œ cima 5679  Rel wrel 5681   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  Ncnpi 10841   ยทN cmi 10843   ยทpQ cmpq 10846   ~Q ceq 10848  Qcnq 10849  1Qc1q 10850  [Q]cerq 10851   ยทQ cmq 10853  *Qcrq 10854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ni 10869  df-mi 10871  df-lti 10872  df-mpq 10906  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914
This theorem is referenced by:  recidnq  10962  recrecnq  10964  reclem3pr  11046
  Copyright terms: Public domain W3C validator