Theorem op2ndg 8000

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
op2ndg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵)

Proof of Theorem op2ndg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 4839	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝑦⟩)
2	1	fveqeq2d 6891	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((2nd ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑦 ↔ (2nd ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝑦))
3		opeq2 4840	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
4	3	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (2nd ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
6	4, 5	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((2nd ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝑦 ↔ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵))
7		vex 3459	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3459	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	op2nd 7996	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑦
10	2, 6, 9	vtocl2g 3539	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4596  ‘cfv 6538  2^nd c2nd 7986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-2nd 7988

This theorem is referenced by:  ot2ndg  8002  ot3rdg  8003  br2ndeqg  8010  2ndconst  8097  mposn  8099  curry1  8100  opco2  8120  xpmapenlem  9133  2ndinl  9915  2ndinr  9917  axdc4lem  10440  pinq  10913  addpipq  10923  mulpipq  10926  ordpipq  10928  swrdval  14683  ruclem1  16288  eucalg  16646  qnumdenbi  16804  setsstruct  17237  comffval  17756  oppccofval  17773  funcf2  17926  cofuval2  17945  resfval2  17951  resf2nd  17953  funcres  17954  isnat  18008  fucco  18023  homacd  18099  setcco  18141  catcco  18163  estrcco  18187  xpcco  18240  xpchom2  18243  xpcco2  18244  evlf2  18275  curfval  18280  curf1cl  18285  uncf1  18293  uncf2  18294  hof2fval  18312  yonedalem21  18330  yonedalem22  18335  mvmulfval  22680  imasdsf1olem  24511  ovolicc1  25656  ioombl1lem3  25700  ioombl1lem4  25701  addsqnreup  27588  addsval  28136  mulsval  28283  om2noseqrdg  28478  brcgr  29231  opiedgfv  29338  fsuppcurry1  33050  erlbrd  33564  erld2  33567  rlocaddval  33570  rlocmulval  33571  fracerl  33608  sategoelfvb  35892  prv1n  35904  fvtransport  36505  bj-finsumval0  37910  poimirlem17  38269  poimirlem24  38276  poimirlem27  38279  dvhopvadd  41848  dvhopvsca  41857  dvhopaddN  41869  dvhopspN  41870  etransclem44  46975  gpgedgiov  48813  gpgedg2ov  48814  gpgedg2iv  48815  uspgrsprfo  48896  rngccoALTV  49019  ringccoALTV  49053  lmod1zr  49256  func2nd  49839  oppf1st2nd  49892  upfval3  49939  swapf2fval  50026  fucofval  50080  fuco112  50090  fuco21  50097  prcofvala  50138  lanfval  50374  ranfval  50375