Theorem op2ndg 8015

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
op2ndg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵)

Proof of Theorem op2ndg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 4839	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝑦⟩)
2	1	fveqeq2d 6894	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((2nd ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑦 ↔ (2nd ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝑦))
3		opeq2 4840	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
4	3	fveq2d 6890	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (2nd ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
6	4, 5	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((2nd ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝑦 ↔ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵))
7		vex 3454	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3454	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	op2nd 8011	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑦
10	2, 6, 9	vtocl2g 3533	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834  ‘cfv 6539  2^nd c2nd 8001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-2nd 8003

This theorem is used by:  ot2ndg  8017  ot3rdg  8018  br2ndeqg  8025  2ndconst  8115  mposn  8117  curry1  8118  opco2  8138  xpmapenlem  9167  2ndinl  10013  2ndinr  10015  axdc4lem  10537  pinq  11016  addpipq  11026  mulpipq  11029  ordpipq  11031  swrdval  14796  ruclem1  16405  eucalg  16768  qnumdenbi  16926  setsstruct  17360  comffval  17879  oppccofval  17896  funcf2  18049  cofuval2  18068  resfval2  18074  resf2nd  18076  funcres  18077  isnat  18131  fucco  18146  homacd  18222  setcco  18264  catcco  18286  estrcco  18310  xpcco  18363  xpchom2  18366  xpcco2  18367  evlf2  18398  curfval  18403  curf1cl  18408  uncf1  18416  uncf2  18417  hof2fval  18435  yonedalem21  18453  yonedalem22  18458  mvmulfval  22863  imasdsf1olem  24698  ovolicc1  25843  ioombl1lem3  25887  ioombl1lem4  25888  addsqnreup  27776  addsval  28354  mulsval  28501  om2noseqrdg  28696  brcgr  29484  opiedgfv  29591  fsuppcurry1  33363  erlbrd  33871  erld2  33874  rlocaddval  33877  rlocmulval  33878  fracerl  33915  brlexod  35939  brr0d  35941  sategoelfvb  36271  prv1n  36283  fvtransport  36890  bj-finsumval0  38300  poimirlem17  38649  poimirlem24  38656  poimirlem27  38659  dvhopvadd  42244  dvhopvsca  42253  dvhopaddN  42265  dvhopspN  42266  etransclem44  47382  gpgedgiov  49257  gpgedg2ov  49258  gpgedg2iv  49259  uspgrsprfo  49340  rngccoALTV  49462  ringccoALTV  49496  lmod1zr  49699  func2nd  50286  ixpovf  50291  oppf1st2nd  50341  upfval3  50388  swapf2fval  50481  fucofval  50535  fuco112  50545  fuco21  50552  prcofvala  50606  lanfval  50890  ranfval  50891