Theorem op2ndg 8008

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
op2ndg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵)

Proof of Theorem op2ndg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 4843	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝑦⟩)
2	1	fveqeq2d 6896	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((2nd ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑦 ↔ (2nd ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝑦))
3		opeq2 4844	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
4	3	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (2nd ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
6	4, 5	eqeq12d 2782	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((2nd ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝑦 ↔ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵))
7		vex 3462	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3462	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	op2nd 8004	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑦
10	2, 6, 9	vtocl2g 3541	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4600  ‘cfv 6543  2^nd c2nd 7994

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-2nd 7996

This theorem is used by:  ot2ndg  8010  ot3rdg  8011  br2ndeqg  8018  2ndconst  8105  mposn  8107  curry1  8108  opco2  8128  xpmapenlem  9142  2ndinl  9933  2ndinr  9935  axdc4lem  10457  pinq  10930  addpipq  10940  mulpipq  10943  ordpipq  10945  swrdval  14703  ruclem1  16312  eucalg  16670  qnumdenbi  16828  setsstruct  17261  comffval  17780  oppccofval  17797  funcf2  17950  cofuval2  17969  resfval2  17975  resf2nd  17977  funcres  17978  isnat  18032  fucco  18047  homacd  18123  setcco  18165  catcco  18187  estrcco  18211  xpcco  18264  xpchom2  18267  xpcco2  18268  evlf2  18299  curfval  18304  curf1cl  18309  uncf1  18317  uncf2  18318  hof2fval  18336  yonedalem21  18354  yonedalem22  18359  mvmulfval  22736  imasdsf1olem  24567  ovolicc1  25712  ioombl1lem3  25756  ioombl1lem4  25757  addsqnreup  27644  addsval  28192  mulsval  28339  om2noseqrdg  28534  brcgr  29287  opiedgfv  29394  fsuppcurry1  33106  erlbrd  33614  erld2  33617  rlocaddval  33620  rlocmulval  33621  fracerl  33658  sategoelfvb  35932  prv1n  35944  fvtransport  36545  bj-finsumval0  37970  poimirlem17  38329  poimirlem24  38336  poimirlem27  38339  dvhopvadd  41908  dvhopvsca  41917  dvhopaddN  41929  dvhopspN  41930  etransclem44  47033  gpgedgiov  48871  gpgedg2ov  48872  gpgedg2iv  48873  uspgrsprfo  48954  rngccoALTV  49077  ringccoALTV  49111  lmod1zr  49314  func2nd  49897  oppf1st2nd  49950  upfval3  49997  swapf2fval  50084  fucofval  50138  fuco112  50148  fuco21  50155  prcofvala  50196  lanfval  50432  ranfval  50433