Theorem muval 27099

Description: The value of the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muval	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem muval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5128	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑝↑2) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
2	1	rexbidv 3165	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
3		breq2 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
4	3	rabbidv 3428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})
5	4	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) = (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))
6	5	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
7	2, 6	ifbieq2d 4532	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
8		df-mu 27068	. 2 ⊢ μ = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))))
9		c0ex 11234	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
10		ovex 7443	. . 3 ⊢ (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) ∈ V
11	9, 10	ifex 4556	. 2 ⊢ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) ∈ V
12	7, 8, 11	fvmpt 6991	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061  {crab 3420  ifcif 4505   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135  -cneg 11472  ℕcn 12245  2c2 12300  ↑cexp 14084  ♯chash 14353   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16695  μcmu 27062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-mulcl 11196  ax-i2m1 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-mu 27068

This theorem is referenced by:  muval1  27100  muval2  27101  isnsqf  27102  mule1  27115