Theorem muval 27098

Description: The value of the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muval	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem muval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5102	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑝↑2) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
2	1	rexbidv 3160	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
3		breq2 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
4	3	rabbidv 3406	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})
5	4	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) = (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))
6	5	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
7	2, 6	ifbieq2d 4506	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
8		df-mu 27067	. 2 ⊢ μ = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))))
9		c0ex 11126	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
10		ovex 7391	. . 3 ⊢ (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) ∈ V
11	9, 10	ifex 4530	. 2 ⊢ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) ∈ V
12	7, 8, 11	fvmpt 6941	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  {crab 3399  ifcif 4479   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027  -cneg 11365  ℕcn 12145  2c2 12200  ↑cexp 13984  ♯chash 14253   ∥ cdvds 16179  ℙcprime 16598  μcmu 27061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-mulcl 11088  ax-i2m1 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-mu 27067

This theorem is referenced by:  muval1  27099  muval2  27100  isnsqf  27101  mule1  27114