Theorem muval 27190

Description: The value of the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muval	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem muval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5152	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑝↑2) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
2	1	rexbidv 3177	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
3		breq2 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
4	3	rabbidv 3441	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})
5	4	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) = (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))
6	5	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
7	2, 6	ifbieq2d 4557	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
8		df-mu 27159	. 2 ⊢ μ = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))))
9		c0ex 11253	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
10		ovex 7464	. . 3 ⊢ (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) ∈ V
11	9, 10	ifex 4581	. 2 ⊢ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) ∈ V
12	7, 8, 11	fvmpt 7016	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  {crab 3433  ifcif 4531   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  -cneg 11491  ℕcn 12264  2c2 12319  ↑cexp 14099  ♯chash 14366   ∥ cdvds 16287  ℙcprime 16705  μcmu 27153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-mulcl 11215  ax-i2m1 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-mu 27159

This theorem is referenced by:  muval1  27191  muval2  27192  isnsqf  27193  mule1  27206