MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muval 27176
Description: The value of the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
muval (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem muval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5146 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑝↑2) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
21rexbidv 3178 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
3 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑝𝑥𝑝𝐴))
43rabbidv 3443 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})
54fveq2d 6909 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥}) = (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))
65oveq2d 7448 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥})) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
72, 6ifbieq2d 4551 . 2 (𝑥 = 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥}))) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
8 df-mu 27145 . 2 μ = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥}))))
9 c0ex 11256 . . 3 0 ∈ V
10 ovex 7465 . . 3 (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) ∈ V
119, 10ifex 4575 . 2 if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) ∈ V
127, 8, 11fvmpt 7015 1 (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3069  {crab 3435  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157  -cneg 11494  cn 12267  2c2 12322  cexp 14103  chash 14370  cdvds 16291  cprime 16709  μcmu 27139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-mulcl 11218  ax-i2m1 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-ov 7435  df-mu 27145
This theorem is referenced by:  muval1  27177  muval2  27178  isnsqf  27179  mule1  27192
  Copyright terms: Public domain W3C validator