Theorem muval 26279

Description: The value of the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muval	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem muval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5083	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑝↑2) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
2	1	rexbidv 3228	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
3		breq2 5083	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
4	3	rabbidv 3413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})
5	4	fveq2d 6775	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) = (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))
6	5	oveq2d 7287	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
7	2, 6	ifbieq2d 4491	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
8		df-mu 26248	. 2 ⊢ μ = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))))
9		c0ex 10970	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
10		ovex 7304	. . 3 ⊢ (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) ∈ V
11	9, 10	ifex 4515	. 2 ⊢ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) ∈ V
12	7, 8, 11	fvmpt 6872	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3067  {crab 3070  ifcif 4465   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  0cc0 10872  1c1 10873  -cneg 11206  ℕcn 11973  2c2 12028  ↑cexp 13780  ♯chash 14042   ∥ cdvds 15961  ℙcprime 16374  μcmu 26242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-mulcl 10934  ax-i2m1 10940

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fv 6440  df-ov 7274  df-mu 26248

This theorem is referenced by:  muval1  26280  muval2  26281  isnsqf  26282  mule1  26295