MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muval 27109
Description: The value of the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
muval (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem muval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5153 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑝↑2) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
21rexbidv 3168 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
3 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑝𝑥𝑝𝐴))
43rabbidv 3426 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})
54fveq2d 6900 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥}) = (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))
65oveq2d 7435 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥})) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
72, 6ifbieq2d 4556 . 2 (𝑥 = 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥}))) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
8 df-mu 27078 . 2 μ = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑥}))))
9 c0ex 11240 . . 3 0 ∈ V
10 ovex 7452 . . 3 (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) ∈ V
119, 10ifex 4580 . 2 if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) ∈ V
127, 8, 11fvmpt 7004 1 (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059  {crab 3418  ifcif 4530   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141  -cneg 11477  cn 12245  2c2 12300  cexp 14062  chash 14325  cdvds 16234  cprime 16645  μcmu 27072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-mulcl 11202  ax-i2m1 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557  df-ov 7422  df-mu 27078
This theorem is referenced by:  muval1  27110  muval2  27111  isnsqf  27112  mule1  27125
  Copyright terms: Public domain W3C validator