Theorem muval2 25272

Description: The value of the Möbius function at a squarefree number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem muval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2999	. . 3 ⊢ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ¬ (μ‘𝐴) = 0)
2		ifeqor 4354	. . . . 5 ⊢ (if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0 ∨ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
3		muval 25270	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
4	3	eqeq1d 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0))
5	3	eqeq1d 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) ↔ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
6	4, 5	orbi12d 949	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((μ‘𝐴) = 0 ∨ (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) ↔ (if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0 ∨ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))))
7	2, 6	mpbiri 250	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ∨ (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
8	7	ord 897	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (¬ (μ‘𝐴) = 0 → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
9	1, 8	syl5bi 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
10	9	imp 397	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 880   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998  ∃wrex 3117  {crab 3120  ifcif 4305   class class class wbr 4872  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  0cc0 10251  1c1 10252  -cneg 10585  ℕcn 11349  2c2 11405  ↑cexp 13153  ♯chash 13409   ∥ cdvds 15356  ℙcprime 15756  μcmu 25233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pr 5126  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-mulcl 10313  ax-i2m1 10319

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fv 6130  df-ov 6907  df-mu 25239

This theorem is referenced by:  mumul  25319  musum  25329