Theorem muval2 27198

Description: The value of the Möbius function at a squarefree number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem muval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2958	. . 3 ⊢ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ¬ (μ‘𝐴) = 0)
2		ifeqor 4532	. . . . 5 ⊢ (if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0 ∨ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
3		muval 27196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
4	3	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0))
5	3	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) ↔ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
6	4, 5	orbi12d 929	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((μ‘𝐴) = 0 ∨ (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) ↔ (if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0 ∨ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))))
7	2, 6	mpbiri 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ∨ (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
8	7	ord 875	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (¬ (μ‘𝐴) = 0 → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
9	1, 8	biimtrid 244	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
10	9	imp 410	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086  {crab 3414  ifcif 4480   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074  -cneg 11415  ℕcn 12210  2c2 12272  ↑cexp 14074  ♯chash 14343   ∥ cdvds 16286  ℙcprime 16705  μcmu 27159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-mulcl 11135  ax-i2m1 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-ov 7399  df-mu 27165

This theorem is referenced by:  mumul  27245  musum  27255