Theorem mule1 27392

Description: The Möbius function takes on values in magnitude at most 1. (Together with mucl 27385, this implies that it takes a value in {-1, 0, 1} for every positive integer.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mule1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)

Proof of Theorem mule1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muval 27376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
2		iftrue 4491	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0)
3	1, 2	sylan9eq 2817	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)
4	3	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘0))
5		abs0 15376	. . . 4 ⊢ (abs‘0) = 0
6		0le1 11765	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
7	5, 6	eqbrtri 5130	. . 3 ⊢ (abs‘0) ≤ 1
8	4, 7	eqbrtrdi 5148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
9		iffalse 4494	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
10	1, 9	sylan9eq 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
11	10	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
12		neg1cn 12231	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
13		prmdvdsfi 27351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
14		hashcl 14424	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
16		absexp 15395	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
17	12, 15, 16	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
18		ax-1cn 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	18	absnegi 15492	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
20		abs1 15388	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
21	19, 20	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-1) = 1
22	21	oveq1i 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))
23	15	nn0zd 12644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℤ)
24		1exp 14159	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℤ → (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
26	22, 25	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
27	17, 26	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 1)
28	27	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 1)
29	11, 28	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = 1)
30		1le1 11870	. . 3 ⊢ 1 ≤ 1
31	29, 30	eqbrtrdi 5148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
32	8, 31	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  {crab 3414  ifcif 4485   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129   ≤ cle 11272  -cneg 11470  ℕcn 12261  2c2 12323  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ↑cexp 14129  ♯chash 14398  abscabs 15325   ∥ cdvds 16348  ℙcprime 16767  μcmu 27339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349  df-prm 16768  df-mu 27345

This theorem is used by:  dchrmusum2  27738  dchrvmasumlem3  27743  mudivsum  27774  mulogsumlem  27775  mulog2sumlem2  27779  selberglem2  27790