Theorem mule1 26297

Description: The Möbius function takes on values in magnitude at most 1. (Together with mucl 26290, this implies that it takes a value in {-1, 0, 1} for every positive integer.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mule1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)

Proof of Theorem mule1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muval 26281	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
2		iftrue 4465	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0)
3	1, 2	sylan9eq 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)
4	3	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘0))
5		abs0 14997	. . . 4 ⊢ (abs‘0) = 0
6		0le1 11498	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
7	5, 6	eqbrtri 5095	. . 3 ⊢ (abs‘0) ≤ 1
8	4, 7	eqbrtrdi 5113	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
9		iffalse 4468	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
10	1, 9	sylan9eq 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
11	10	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
12		neg1cn 12087	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
13		prmdvdsfi 26256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
14		hashcl 14071	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
16		absexp 15016	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
17	12, 15, 16	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
18		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	18	absnegi 15112	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
20		abs1 15009	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
21	19, 20	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-1) = 1
22	21	oveq1i 7285	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))
23	15	nn0zd 12424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℤ)
24		1exp 13812	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℤ → (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
26	22, 25	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
27	17, 26	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 1)
28	27	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 1)
29	11, 28	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = 1)
30		1le1 11603	. . 3 ⊢ 1 ≤ 1
31	29, 30	eqbrtrdi 5113	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
32	8, 31	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  {crab 3068  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   ≤ cle 11010  -cneg 11206  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ↑cexp 13782  ♯chash 14044  abscabs 14945   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376  μcmu 26244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377  df-mu 26250

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  26642  dchrvmasumlem3  26647  mudivsum  26678  mulogsumlem  26679  mulog2sumlem2  26683  selberglem2  26694