Theorem mule1 27125

Description: The Möbius function takes on values in magnitude at most 1. (Together with mucl 27118, this implies that it takes a value in {-1, 0, 1} for every positive integer.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mule1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)

Proof of Theorem mule1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muval 27109	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
2		iftrue 4536	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0)
3	1, 2	sylan9eq 2785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)
4	3	fveq2d 6900	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘0))
5		abs0 15268	. . . 4 ⊢ (abs‘0) = 0
6		0le1 11769	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
7	5, 6	eqbrtri 5170	. . 3 ⊢ (abs‘0) ≤ 1
8	4, 7	eqbrtrdi 5188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
9		iffalse 4539	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
10	1, 9	sylan9eq 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
11	10	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
12		neg1cn 12359	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
13		prmdvdsfi 27084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
14		hashcl 14351	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
16		absexp 15287	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
17	12, 15, 16	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
18		ax-1cn 11198	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	18	absnegi 15383	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
20		abs1 15280	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
21	19, 20	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-1) = 1
22	21	oveq1i 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))
23	15	nn0zd 12617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℤ)
24		1exp 14092	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℤ → (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
26	22, 25	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
27	17, 26	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 1)
28	27	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 1)
29	11, 28	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = 1)
30		1le1 11874	. . 3 ⊢ 1 ≤ 1
31	29, 30	eqbrtrdi 5188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
32	8, 31	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059  {crab 3418  ifcif 4530   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  ℂcc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   ≤ cle 11281  -cneg 11477  ℕcn 12245  2c2 12300  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12591  ↑cexp 14062  ♯chash 14325  abscabs 15217   ∥ cdvds 16234  ℙcprime 16645  μcmu 27072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-prm 16646  df-mu 27078

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27472  dchrvmasumlem3  27477  mudivsum  27508  mulogsumlem  27509  mulog2sumlem2  27513  selberglem2  27524