MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mule1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mule1 27125
Description: The Möbius function takes on values in magnitude at most 1. (Together with mucl 27118, this implies that it takes a value in {-1, 0, 1} for every positive integer.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
mule1 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)

Proof of Theorem mule1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 muval 27109 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
2 iftrue 4536 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 0)
31, 2sylan9eq 2785 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)
43fveq2d 6900 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘0))
5 abs0 15268 . . . 4 (abs‘0) = 0
6 0le1 11769 . . . 4 0 ≤ 1
75, 6eqbrtri 5170 . . 3 (abs‘0) ≤ 1
84, 7eqbrtrdi 5188 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
9 iffalse 4539 . . . . . 6 (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
101, 9sylan9eq 2785 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
1110fveq2d 6900 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
12 neg1cn 12359 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
13 prmdvdsfi 27084 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin)
14 hashcl 14351 . . . . . . . 8 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0)
16 absexp 15287 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
1712, 15, 16sylancr 585 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
18 ax-1cn 11198 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
1918absnegi 15383 . . . . . . . . 9 (abs‘-1) = (abs‘1)
20 abs1 15280 . . . . . . . . 9 (abs‘1) = 1
2119, 20eqtri 2753 . . . . . . . 8 (abs‘-1) = 1
2221oveq1i 7429 . . . . . . 7 ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))
2315nn0zd 12617 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ)
24 1exp 14092 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ → (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = 1)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = 1)
2622, 25eqtrid 2777 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = 1)
2717, 26eqtrd 2765 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 1)
2827adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 1)
2911, 28eqtrd 2765 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = 1)
30 1le1 11874 . . 3 1 ≤ 1
3129, 30eqbrtrdi 5188 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
328, 31pm2.61dan 811 1 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059  {crab 3418  ifcif 4530   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141  cle 11281  -cneg 11477  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  cz 12591  cexp 14062  chash 14325  abscabs 15217  cdvds 16234  cprime 16645  μcmu 27072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-prm 16646  df-mu 27078
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27472  dchrvmasumlem3  27477  mudivsum  27508  mulogsumlem  27509  mulog2sumlem2  27513  selberglem2  27524
  Copyright terms: Public domain W3C validator