Theorem mule1 27114

Description: The Möbius function takes on values in magnitude at most 1. (Together with mucl 27107, this implies that it takes a value in {-1, 0, 1} for every positive integer.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mule1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)

Proof of Theorem mule1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muval 27098	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
2		iftrue 4485	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0)
3	1, 2	sylan9eq 2791	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)
4	3	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘0))
5		abs0 15208	. . . 4 ⊢ (abs‘0) = 0
6		0le1 11660	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
7	5, 6	eqbrtri 5119	. . 3 ⊢ (abs‘0) ≤ 1
8	4, 7	eqbrtrdi 5137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
9		iffalse 4488	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
10	1, 9	sylan9eq 2791	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
11	10	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
12		neg1cn 12130	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
13		prmdvdsfi 27073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
14		hashcl 14279	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
16		absexp 15227	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
17	12, 15, 16	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
18		ax-1cn 11084	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	18	absnegi 15324	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
20		abs1 15220	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
21	19, 20	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-1) = 1
22	21	oveq1i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))
23	15	nn0zd 12513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℤ)
24		1exp 14014	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℤ → (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
26	22, 25	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) = 1)
27	17, 26	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 1)
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 1)
29	11, 28	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = 1)
30		1le1 11765	. . 3 ⊢ 1 ≤ 1
31	29, 30	eqbrtrdi 5137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
32	8, 31	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  {crab 3399  ifcif 4479   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   ≤ cle 11167  -cneg 11365  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ↑cexp 13984  ♯chash 14253  abscabs 15157   ∥ cdvds 16179  ℙcprime 16598  μcmu 27061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-prm 16599  df-mu 27067

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27461  dchrvmasumlem3  27466  mudivsum  27497  mulogsumlem  27498  mulog2sumlem2  27502  selberglem2  27513