MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mule1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mule1 25226
Description: The Möbius function takes on values in magnitude at most 1. (Together with mucl 25219, this implies that it takes a value in {-1, 0, 1} for every positive integer.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
mule1 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)

Proof of Theorem mule1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 muval 25210 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
2 iftrue 4283 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 0)
31, 2sylan9eq 2853 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)
43fveq2d 6415 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘0))
5 abs0 14366 . . . 4 (abs‘0) = 0
6 0le1 10843 . . . 4 0 ≤ 1
75, 6eqbrtri 4864 . . 3 (abs‘0) ≤ 1
84, 7syl6eqbr 4882 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
9 iffalse 4286 . . . . . 6 (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
101, 9sylan9eq 2853 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
1110fveq2d 6415 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
12 neg1cn 11434 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
13 prmdvdsfi 25185 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin)
14 hashcl 13397 . . . . . . . 8 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0)
16 absexp 14385 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
1712, 15, 16sylancr 582 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
18 ax-1cn 10282 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
1918absnegi 14480 . . . . . . . . 9 (abs‘-1) = (abs‘1)
20 abs1 14378 . . . . . . . . 9 (abs‘1) = 1
2119, 20eqtri 2821 . . . . . . . 8 (abs‘-1) = 1
2221oveq1i 6888 . . . . . . 7 ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))
2315nn0zd 11770 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ)
24 1exp 13143 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ → (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = 1)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = 1)
2622, 25syl5eq 2845 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((abs‘-1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = 1)
2717, 26eqtrd 2833 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 1)
2827adantr 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 1)
2911, 28eqtrd 2833 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = 1)
30 1le1 10947 . . 3 1 ≤ 1
3129, 30syl6eqbr 4882 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
328, 31pm2.61dan 848 1 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3090  {crab 3093  ifcif 4277   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  cc 10222  0cc0 10224  1c1 10225  cle 10364  -cneg 10557  cn 11312  2c2 11368  0cn0 11580  cz 11666  cexp 13114  chash 13370  abscabs 14315  cdvds 15319  cprime 15719  μcmu 25173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-dvds 15320  df-prm 15720  df-mu 25179
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  25535  dchrvmasumlem3  25540  mudivsum  25571  mulogsumlem  25572  mulog2sumlem2  25576  selberglem2  25587
  Copyright terms: Public domain W3C validator