MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnsqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnsqf 27080
Description: Two ways to say that a number is not squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
isnsqf (𝐴 ∈ β„• β†’ ((ΞΌβ€˜π΄) = 0 ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem isnsqf
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12357 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
2 neg1ne0 12359 . . . . . 6 -1 β‰  0
3 prmdvdsfi 27052 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„• β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴} ∈ Fin)
4 hashcl 14348 . . . . . . . 8 ({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴} ∈ Fin β†’ (β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}) ∈ β„•0)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}) ∈ β„•0)
65nn0zd 12615 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}) ∈ β„€)
7 expne0i 14092 . . . . . 6 ((-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0 ∧ (β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}) ∈ β„€) β†’ (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴})) β‰  0)
81, 2, 6, 7mp3an12i 1462 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„• β†’ (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴})) β‰  0)
9 iffalse 4538 . . . . . 6 (Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴 β†’ if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))) = (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴})))
109neeq1d 2997 . . . . 5 (Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴 β†’ (if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))) β‰  0 ↔ (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴})) β‰  0))
118, 10syl5ibrcom 246 . . . 4 (𝐴 ∈ β„• β†’ (Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴 β†’ if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))) β‰  0))
12 muval 27077 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π΄) = if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))))
1312neeq1d 2997 . . . 4 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((ΞΌβ€˜π΄) β‰  0 ↔ if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))) β‰  0))
1411, 13sylibrd 259 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ (Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴 β†’ (ΞΌβ€˜π΄) β‰  0))
1514necon4bd 2957 . 2 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((ΞΌβ€˜π΄) = 0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴))
16 iftrue 4535 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴 β†’ if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))) = 0)
1712eqeq1d 2730 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((ΞΌβ€˜π΄) = 0 ↔ if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))) = 0))
1816, 17imbitrrid 245 . 2 (𝐴 ∈ β„• β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴 β†’ (ΞΌβ€˜π΄) = 0))
1915, 18impbid 211 1 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((ΞΌβ€˜π΄) = 0 ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067  {crab 3429  ifcif 4529   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  β„‚cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140  -cneg 11476  β„•cn 12243  2c2 12298  β„•0cn0 12503  β„€cz 12589  β†‘cexp 14059  β™―chash 14322   βˆ₯ cdvds 16231  β„™cprime 16642  ΞΌcmu 27040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-dvds 16232  df-prm 16643  df-mu 27046
This theorem is referenced by:  issqf  27081  dvdssqf  27083  mumullem1  27124
  Copyright terms: Public domain W3C validator