MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnsqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnsqf 25399
Description: Two ways to say that a number is not squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
isnsqf (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem isnsqf
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11604 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
2 neg1ne0 11606 . . . . . 6 -1 ≠ 0
3 prmdvdsfi 25371 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin)
4 hashcl 13572 . . . . . . . 8 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0)
65nn0zd 11939 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ)
7 expne0i 13316 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ) → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) ≠ 0)
81, 2, 6, 7mp3an12i 1457 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) ≠ 0)
9 iffalse 4394 . . . . . 6 (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
109neeq1d 3043 . . . . 5 (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) ≠ 0 ↔ (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) ≠ 0))
118, 10syl5ibrcom 248 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) ≠ 0))
12 muval 25396 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
1312neeq1d 3043 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) ≠ 0))
1411, 13sylibrd 260 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (μ‘𝐴) ≠ 0))
1514necon4bd 3004 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
16 iftrue 4391 . . 3 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 0)
1712eqeq1d 2797 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 0))
1816, 17syl5ibr 247 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → (μ‘𝐴) = 0))
1915, 18impbid 213 1 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wrex 3106  {crab 3109  ifcif 4385   class class class wbr 4966  cfv 6230  (class class class)co 7021  Fincfn 8362  cc 10386  0cc0 10388  1c1 10389  -cneg 10723  cn 11491  2c2 11545  0cn0 11750  cz 11834  cexp 13284  chash 13545  cdvds 15445  cprime 15849  μcmu 25359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-dvds 15446  df-prm 15850  df-mu 25365
This theorem is referenced by:  issqf  25400  dvdssqf  25402  mumullem1  25443
  Copyright terms: Public domain W3C validator