MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnsqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnsqf 27018
Description: Two ways to say that a number is not squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
isnsqf (𝐴 ∈ β„• β†’ ((ΞΌβ€˜π΄) = 0 ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem isnsqf
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12327 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
2 neg1ne0 12329 . . . . . 6 -1 β‰  0
3 prmdvdsfi 26990 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„• β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴} ∈ Fin)
4 hashcl 14319 . . . . . . . 8 ({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴} ∈ Fin β†’ (β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}) ∈ β„•0)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}) ∈ β„•0)
65nn0zd 12585 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}) ∈ β„€)
7 expne0i 14063 . . . . . 6 ((-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0 ∧ (β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}) ∈ β„€) β†’ (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴})) β‰  0)
81, 2, 6, 7mp3an12i 1461 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„• β†’ (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴})) β‰  0)
9 iffalse 4532 . . . . . 6 (Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴 β†’ if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))) = (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴})))
109neeq1d 2994 . . . . 5 (Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴 β†’ (if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))) β‰  0 ↔ (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴})) β‰  0))
118, 10syl5ibrcom 246 . . . 4 (𝐴 ∈ β„• β†’ (Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴 β†’ if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))) β‰  0))
12 muval 27015 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π΄) = if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))))
1312neeq1d 2994 . . . 4 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((ΞΌβ€˜π΄) β‰  0 ↔ if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))) β‰  0))
1411, 13sylibrd 259 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ (Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴 β†’ (ΞΌβ€˜π΄) β‰  0))
1514necon4bd 2954 . 2 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((ΞΌβ€˜π΄) = 0 β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴))
16 iftrue 4529 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴 β†’ if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))) = 0)
1712eqeq1d 2728 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((ΞΌβ€˜π΄) = 0 ↔ if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))) = 0))
1816, 17imbitrrid 245 . 2 (𝐴 ∈ β„• β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴 β†’ (ΞΌβ€˜π΄) = 0))
1915, 18impbid 211 1 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((ΞΌβ€˜π΄) = 0 ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  ifcif 4523   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110  -cneg 11446  β„•cn 12213  2c2 12268  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  β†‘cexp 14030  β™―chash 14293   βˆ₯ cdvds 16202  β„™cprime 16613  ΞΌcmu 26978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-dvds 16203  df-prm 16614  df-mu 26984
This theorem is referenced by:  issqf  27019  dvdssqf  27021  mumullem1  27062
  Copyright terms: Public domain W3C validator