Theorem muval1 27297

Description: The value of the Möbius function at a non-squarefree number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muval1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem muval1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muval 27296	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
2	1	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
3		exprmfct 16758	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃)
4	3	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃)
5		prmnn 16727	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
6		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eluz2b2 12940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
8	6, 7	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
9	8	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		dvdssqlem 16619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝑃 ↔ (𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2)))
11	5, 9, 10	syl2an2 698	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑃 ↔ (𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2)))
12		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑2) ∥ 𝐴)
13		prmz 16728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
14	13	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
15		zsqcl 14161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
17		eluzelz 12867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
18		zsqcl 14161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
19	6, 17, 18	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
20		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
21	20	nnzd 12612	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		dvdstr 16347	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
23	16, 19, 21, 22	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
24	12, 23	mpan2d 706	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
25	11, 24	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑃 → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
26	25	reximdva 3178	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
27	4, 26	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴)
28	27	iftrued 4495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0)
29	2, 28	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  {crab 3416  ifcif 4487   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   < clt 11238  -cneg 11437  ℕcn 12228  2c2 12290  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ↑cexp 14093  ♯chash 14362   ∥ cdvds 16305  ℙcprime 16724  μcmu 27259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725  df-mu 27265

This theorem is referenced by: (None)