MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muval1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem muval1 26861
Description: The value of the MΓΆbius function at a non-squarefree number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
muval1 ((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) β†’ (ΞΌβ€˜π΄) = 0)
Proof of Theorem muval1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 muval 26860 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π΄) = if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))))
213ad2ant1 1133 . 2 ((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) β†’ (ΞΌβ€˜π΄) = if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))))
3 exprmfct 16645 . . . . 5 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝑝 βˆ₯ 𝑃)
433ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝑝 βˆ₯ 𝑃)
5 prmnn 16615 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
6 simpl2 1192 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
7 eluz2b2 12909 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑃 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑃))
86, 7sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑃 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑃))
98simpld 495 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
10 dvdssqlem 16507 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„•) β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑃 ↔ (𝑝↑2) βˆ₯ (𝑃↑2)))
115, 9, 10syl2an2 684 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑃 ↔ (𝑝↑2) βˆ₯ (𝑃↑2)))
12 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴)
13 prmz 16616 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
1413adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„€)
15 zsqcl 14098 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„€ β†’ (𝑝↑2) ∈ β„€)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝↑2) ∈ β„€)
17 eluzelz 12836 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
18 zsqcl 14098 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„€ β†’ (𝑃↑2) ∈ β„€)
196, 17, 183syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑃↑2) ∈ β„€)
20 simpl1 1191 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
2120nnzd 12589 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
22 dvdstr 16241 . . . . . . . 8 (((𝑝↑2) ∈ β„€ ∧ (𝑃↑2) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (((𝑝↑2) βˆ₯ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) β†’ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴))
2316, 19, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (((𝑝↑2) βˆ₯ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) β†’ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴))
2412, 23mpan2d 692 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝↑2) βˆ₯ (𝑃↑2) β†’ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴))
2511, 24sylbid 239 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑃 β†’ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴))
2625reximdva 3168 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝑝 βˆ₯ 𝑃 β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴))
274, 26mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴)
2827iftrued 4536 . 2 ((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) β†’ if(βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑝↑2) βˆ₯ 𝐴, 0, (-1↑(β™―β€˜{𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝐴}))) = 0)
292, 28eqtrd 2772 1 ((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑃↑2) βˆ₯ 𝐴) β†’ (ΞΌβ€˜π΄) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  ifcif 4528   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252  -cneg 11449  β„•cn 12216  2c2 12271  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β†‘cexp 14031  β™―chash 14294   βˆ₯ cdvds 16201  β„™cprime 16612  ΞΌcmu 26823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-mu 26829
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator