Theorem muval1 27050

Description: The value of the Möbius function at a non-squarefree number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muval1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem muval1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muval 27049	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
3		exprmfct 16681	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃)
5		prmnn 16651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
6		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eluz2b2 12887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
8	6, 7	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
9	8	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		dvdssqlem 16543	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝑃 ↔ (𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2)))
11	5, 9, 10	syl2an2 686	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑃 ↔ (𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2)))
12		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑2) ∥ 𝐴)
13		prmz 16652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
15		zsqcl 14101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
17		eluzelz 12810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
18		zsqcl 14101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
19	6, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
20		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
21	20	nnzd 12563	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		dvdstr 16271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
23	16, 19, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
24	12, 23	mpan2d 694	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
25	11, 24	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑃 → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
26	25	reximdva 3147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
27	4, 26	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴)
28	27	iftrued 4499	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0)
29	2, 28	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  {crab 3408  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   < clt 11215  -cneg 11413  ℕcn 12193  2c2 12248  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ↑cexp 14033  ♯chash 14302   ∥ cdvds 16229  ℙcprime 16648  μcmu 27012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649  df-mu 27018

This theorem is referenced by: (None)