Theorem muval1 27460

Description: The value of the Möbius function at a non-squarefree number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muval1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem muval1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muval 27459	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, ( -1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
2	1	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, ( -1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
3		exprmfct 16880	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃)
4	3	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃)
5		prmnn 16849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
6		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eluz2b2 13048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
8	6, 7	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
9	8	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		dvdssqnn 16741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝑃 ↔ (𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2)))
11	5, 9, 10	syl2an2 699	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑃 ↔ (𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2)))
12		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑2) ∥ 𝐴)
13		prmz 16850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
14	13	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
15		zsqcl 14272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
17		eluzelz 12975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
18		zsqcl 14272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
19	6, 17, 18	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
20		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
21	20	nnzd 12719	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		dvdstr 16464	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
23	16, 19, 21, 22	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
24	12, 23	mpan2d 707	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
25	11, 24	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑃 → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
26	25	reximdva 3176	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
27	4, 26	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴)
28	27	iftrued 4490	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, ( -1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0)
29	2, 28	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  {crab 3413  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   < clt 11343   -cneg 11542  ℕcn 12335  2c2 12397  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ↑cexp 14204  ♯chash 14474   ∥ cdvds 16422  ℙcprime 16846  μcmu 27422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-mu 27428

This theorem is used by: (None)