MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muval1 27191
Description: The value of the Möbius function at a non-squarefree number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
muval1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem muval1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 muval 27190 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
213ad2ant1 1132 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
3 exprmfct 16738 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑃)
433ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑃)
5 prmnn 16708 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
6 simpl2 1191 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
7 eluz2b2 12961 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
86, 7sylib 218 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
98simpld 494 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
10 dvdssqlem 16600 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑝𝑃 ↔ (𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2)))
115, 9, 10syl2an2 686 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑃 ↔ (𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2)))
12 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑2) ∥ 𝐴)
13 prmz 16709 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
1413adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
15 zsqcl 14166 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
17 eluzelz 12886 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
18 zsqcl 14166 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
196, 17, 183syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
20 simpl1 1190 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
2120nnzd 12638 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
22 dvdstr 16328 . . . . . . . 8 (((𝑝↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
2316, 19, 21, 22syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
2412, 23mpan2d 694 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
2511, 24sylbid 240 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑃 → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
2625reximdva 3166 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑃 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
274, 26mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴)
2827iftrued 4539 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 0)
292, 28eqtrd 2775 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  -cneg 11491  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  cuz 12876  cexp 14099  chash 14366  cdvds 16287  cprime 16705  μcmu 27153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-mu 27159
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator