Theorem muval1 27263

Description: The value of the Möbius function at a non-squarefree number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muval1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem muval1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muval 27262	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
2	1	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
3		exprmfct 16763	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃)
4	3	3ad2ant2 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃)
5		prmnn 16732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
6		simpl2 1209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eluz2b2 12945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
8	6, 7	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
9	8	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		dvdssqlem 16624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝑃 ↔ (𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2)))
11	5, 9, 10	syl2an2 698	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑃 ↔ (𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2)))
12		simpl3 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑2) ∥ 𝐴)
13		prmz 16733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
14	13	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
15		zsqcl 14165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
17		eluzelz 12872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
18		zsqcl 14165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
19	6, 17, 18	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
20		simpl1 1208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
21	20	nnzd 12617	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		dvdstr 16352	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
23	16, 19, 21, 22	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
24	12, 23	mpan2d 706	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
25	11, 24	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑃 → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
26	25	reximdva 3184	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
27	4, 26	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴)
28	27	iftrued 4500	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0)
29	2, 28	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  {crab 3423  ifcif 4492   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101   < clt 11243  -cneg 11442  ℕcn 12233  2c2 12295  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ↑cexp 14097  ♯chash 14366   ∥ cdvds 16310  ℙcprime 16729  μcmu 27225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-gcd 16553  df-prm 16730  df-mu 27231

This theorem is referenced by: (None)