Theorem muval1 27113

Description: The value of the Möbius function at a non-squarefree number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muval1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem muval1

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muval 27112	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
2	1	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))))
3		exprmfct 16668	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃)
4	3	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃)
5		prmnn 16637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
6		simpl2 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eluz2b2 12865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
8	6, 7	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
9	8	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		dvdssqlem 16529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝑃 ↔ (𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2)))
11	5, 9, 10	syl2an2 687	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑃 ↔ (𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2)))
12		simpl3 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑2) ∥ 𝐴)
13		prmz 16638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
15		zsqcl 14085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
17		eluzelz 12792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
18		zsqcl 14085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
19	6, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
20		simpl1 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
21	20	nnzd 12544	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		dvdstr 16257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
23	16, 19, 21, 22	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
24	12, 23	mpan2d 695	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑2) ∥ (𝑃↑2) → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
25	11, 24	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑃 → (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
26	25	reximdva 3151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑃 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
27	4, 26	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴)
28	27	iftrued 4475	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}))) = 0)
29	2, 28	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑃↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3390  ifcif 4467   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032  1c1 11033   < clt 11173  -cneg 11372  ℕcn 12168  2c2 12230  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ↑cexp 14017  ♯chash 14286   ∥ cdvds 16215  ℙcprime 16634  μcmu 27075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-gcd 16458  df-prm 16635  df-mu 27081

This theorem is referenced by: (None)