Theorem mumul 27376

Description: The Möbius function is a multiplicative function. This is one of the primary interests of the Möbius function as an arithmetic function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mumul	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))

Proof of Theorem mumul

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
2		mucl 27336	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (μ‘𝐵) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘𝐵) ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12713	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘𝐵) ∈ ℂ)
5	4	mul02d 11419	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (0 · (μ‘𝐵)) = 0)
6		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘𝐴) = 0)
7	6	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = (0 · (μ‘𝐵)))
8		mumullem1 27374	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
9	8	3adantl3 1187	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
10	5, 7, 9	3eqtr4rd 2811	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))
11		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → 𝐴 ∈ ℕ)
12		mucl 27336	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘𝐴) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12713	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘𝐴) ∈ ℂ)
15	14	mul01d 11420	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → ((μ‘𝐴) · 0) = 0)
16		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘𝐵) = 0)
17	16	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = ((μ‘𝐴) · 0))
18		nncn 12252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
19		nncn 12252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
20		mulcom 11197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
21	18, 19, 20	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
22	21	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (μ‘(𝐵 · 𝐴)))
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (μ‘(𝐵 · 𝐴)))
24		mumullem1 27374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐵 · 𝐴)) = 0)
25	24	ancom1s 666	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐵 · 𝐴)) = 0)
26	23, 25	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
27	26	3adantl3 1187	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
28	15, 17, 27	3eqtr4rd 2811	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))
29		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℕ)
30		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℕ)
31	29, 30	nnmulcld 12300	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
32		mumullem2 27375	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0)
33		muval2 27329	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ ∧ (μ‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})))
34	31, 32, 33	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})))
35		neg1cn 12214	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → -1 ∈ ℂ)
37		fzfi 14022	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝐵) ∈ Fin
38		prmssnn 16752	. . . . . . . . 9 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
39		rabss2 4032	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ⊆ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}
41		dvdsssfz1 16394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
42	30, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
43	40, 42	sstrid 3949	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
44		ssfi 9160	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
45	37, 43, 44	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
46		hashcl 14406	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) ∈ ℕ0)
47	45, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) ∈ ℕ0)
48		fzfi 14022	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝐴) ∈ Fin
49		rabss2 4032	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ⊆ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})
50	38, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}
51		dvdsssfz1 16394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))
52	29, 51	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))
53	50, 52	sstrid 3949	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))
54		ssfi 9160	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
55	48, 53, 54	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
56		hashcl 14406	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
57	55, 56	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
58	36, 47, 57	expaddd 14198	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (-1↑((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))) = ((-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) · (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))))
59		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
60		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
61	60	nnzd 12628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
62	61	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
63		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
65	64	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
66		euclemma 16790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)))
67	59, 62, 65, 66	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)))
68	67	rabbidva 3424	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)})
69		unrab 4268	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)}
70	68, 69	eqtr4di 2818	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)} = ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))
71	70	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)}) = (♯‘({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
72		inrab 4269	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∩ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)}
73		nprmdvds1 16783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
74	73	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
75		prmz 16751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
76	75	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
77		dvdsgcd 16620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
78	76, 62, 65, 77	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
79		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
80	79	breq2d 5123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑝 ∥ 1))
81	78, 80	sylibd 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → 𝑝 ∥ 1))
82	74, 81	mtod 201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
83	82	ralrimiva 3159	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
84		rabeq0 4345	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
85	83, 84	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)} = ∅)
86	72, 85	eqtrid 2812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∩ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = ∅)
87		hashun 14432	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∩ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = ∅) → (♯‘({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})) = ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
88	55, 45, 86, 87	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})) = ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
89	71, 88	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)}) = ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
90	89	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})) = (-1↑((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))))
91		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐴) ≠ 0)
92		muval2 27329	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
93	29, 91, 92	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
94		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐵) ≠ 0)
95		muval2 27329	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0) → (μ‘𝐵) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
96	30, 94, 95	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐵) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
97	93, 96	oveq12d 7434	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = ((-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) · (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))))
98	58, 90, 97	3eqtr4rd 2811	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})))
99	34, 98	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))
100	10, 28, 99	pm2.61da2ne 3048	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  {crab 3418   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  -cneg 11453  ℕcn 12244  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  ...cfz 13547  ↑cexp 14111  ♯chash 14380   ∥ cdvds 16328   gcd cgcd 16570  ℙcprime 16747  μcmu 27290

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-dvds 16329  df-gcd 16571  df-prm 16748  df-pc 16915  df-mu 27296

This theorem is used by: (None)