Theorem mumul 27113

Description: The Möbius function is a multiplicative function. This is one of the primary interests of the Möbius function as an arithmetic function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mumul	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))

Proof of Theorem mumul

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
2		mucl 27073	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (μ‘𝐵) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘𝐵) ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12573	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘𝐵) ∈ ℂ)
5	4	mul02d 11306	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (0 · (μ‘𝐵)) = 0)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘𝐴) = 0)
7	6	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = (0 · (μ‘𝐵)))
8		mumullem1 27111	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
9	8	3adantl3 1169	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
10	5, 7, 9	3eqtr4rd 2777	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))
11		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → 𝐴 ∈ ℕ)
12		mucl 27073	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘𝐴) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12573	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘𝐴) ∈ ℂ)
15	14	mul01d 11307	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → ((μ‘𝐴) · 0) = 0)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘𝐵) = 0)
17	16	oveq2d 7357	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = ((μ‘𝐴) · 0))
18		nncn 12128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
19		nncn 12128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
20		mulcom 11087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
21	18, 19, 20	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
22	21	fveq2d 6821	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (μ‘(𝐵 · 𝐴)))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (μ‘(𝐵 · 𝐴)))
24		mumullem1 27111	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐵 · 𝐴)) = 0)
25	24	ancom1s 653	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐵 · 𝐴)) = 0)
26	23, 25	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
27	26	3adantl3 1169	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
28	15, 17, 27	3eqtr4rd 2777	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))
29		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℕ)
30		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℕ)
31	29, 30	nnmulcld 12173	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
32		mumullem2 27112	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0)
33		muval2 27066	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ ∧ (μ‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})))
34	31, 32, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})))
35		neg1cn 12105	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → -1 ∈ ℂ)
37		fzfi 13874	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝐵) ∈ Fin
38		prmssnn 16582	. . . . . . . . 9 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
39		rabss2 4023	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ⊆ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}
41		dvdsssfz1 16224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
42	30, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
43	40, 42	sstrid 3941	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
44		ssfi 9077	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
45	37, 43, 44	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
46		hashcl 14258	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) ∈ ℕ0)
47	45, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) ∈ ℕ0)
48		fzfi 13874	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝐴) ∈ Fin
49		rabss2 4023	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ⊆ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})
50	38, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}
51		dvdsssfz1 16224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))
52	29, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))
53	50, 52	sstrid 3941	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))
54		ssfi 9077	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
55	48, 53, 54	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
56		hashcl 14258	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
58	36, 47, 57	expaddd 14050	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (-1↑((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))) = ((-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) · (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))))
59		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
60		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
61	60	nnzd 12490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
62	61	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
63		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
65	64	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
66		euclemma 16619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)))
67	59, 62, 65, 66	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)))
68	67	rabbidva 3401	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)})
69		unrab 4260	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)}
70	68, 69	eqtr4di 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)} = ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))
71	70	fveq2d 6821	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)}) = (♯‘({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
72		inrab 4261	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∩ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)}
73		nprmdvds1 16612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
75		prmz 16581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
77		dvdsgcd 16450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
78	76, 62, 65, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
79		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
80	79	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑝 ∥ 1))
81	78, 80	sylibd 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → 𝑝 ∥ 1))
82	74, 81	mtod 198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
83	82	ralrimiva 3124	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
84		rabeq0 4333	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
85	83, 84	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)} = ∅)
86	72, 85	eqtrid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∩ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = ∅)
87		hashun 14284	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∩ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = ∅) → (♯‘({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})) = ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
88	55, 45, 86, 87	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})) = ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
89	71, 88	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)}) = ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
90	89	oveq2d 7357	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})) = (-1↑((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))))
91		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐴) ≠ 0)
92		muval2 27066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
93	29, 91, 92	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
94		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐵) ≠ 0)
95		muval2 27066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0) → (μ‘𝐵) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
96	30, 94, 95	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐵) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
97	93, 96	oveq12d 7359	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = ((-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) · (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))))
98	58, 90, 97	3eqtr4rd 2777	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})))
99	34, 98	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))
100	10, 28, 99	pm2.61da2ne 3016	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  {crab 3395   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  ℂcc 10999  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   · cmul 11006  -cneg 11340  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ...cfz 13402  ↑cexp 13963  ♯chash 14232   ∥ cdvds 16158   gcd cgcd 16400  ℙcprime 16577  μcmu 27027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-dvds 16159  df-gcd 16401  df-prm 16578  df-pc 16744  df-mu 27033

This theorem is referenced by: (None)