Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl2 1193 |
. . . . . 6
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΄) = 0) β π΅ β β) |
2 | | mucl 26513 |
. . . . . 6
β’ (π΅ β β β
(ΞΌβπ΅) β
β€) |
3 | 1, 2 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΄) = 0) β (ΞΌβπ΅) β β€) |
4 | 3 | zcnd 12616 |
. . . 4
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΄) = 0) β (ΞΌβπ΅) β β) |
5 | 4 | mul02d 11361 |
. . 3
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΄) = 0) β (0 Β· (ΞΌβπ΅)) = 0) |
6 | | simpr 486 |
. . . 4
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΄) = 0) β (ΞΌβπ΄) = 0) |
7 | 6 | oveq1d 7376 |
. . 3
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΄) = 0) β ((ΞΌβπ΄) Β· (ΞΌβπ΅)) = (0 Β· (ΞΌβπ΅))) |
8 | | mumullem1 26551 |
. . . 4
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β) β§
(ΞΌβπ΄) = 0) β
(ΞΌβ(π΄ Β·
π΅)) = 0) |
9 | 8 | 3adantl3 1169 |
. . 3
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΄) = 0) β (ΞΌβ(π΄ Β· π΅)) = 0) |
10 | 5, 7, 9 | 3eqtr4rd 2784 |
. 2
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΄) = 0) β (ΞΌβ(π΄ Β· π΅)) = ((ΞΌβπ΄) Β· (ΞΌβπ΅))) |
11 | | simpl1 1192 |
. . . . . 6
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΅) = 0) β π΄ β β) |
12 | | mucl 26513 |
. . . . . 6
β’ (π΄ β β β
(ΞΌβπ΄) β
β€) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΅) = 0) β (ΞΌβπ΄) β β€) |
14 | 13 | zcnd 12616 |
. . . 4
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΅) = 0) β (ΞΌβπ΄) β β) |
15 | 14 | mul01d 11362 |
. . 3
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΅) = 0) β ((ΞΌβπ΄) Β· 0) = 0) |
16 | | simpr 486 |
. . . 4
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΅) = 0) β (ΞΌβπ΅) = 0) |
17 | 16 | oveq2d 7377 |
. . 3
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΅) = 0) β ((ΞΌβπ΄) Β· (ΞΌβπ΅)) = ((ΞΌβπ΄) Β· 0)) |
18 | | nncn 12169 |
. . . . . . . 8
β’ (π΄ β β β π΄ β
β) |
19 | | nncn 12169 |
. . . . . . . 8
β’ (π΅ β β β π΅ β
β) |
20 | | mulcom 11145 |
. . . . . . . 8
β’ ((π΄ β β β§ π΅ β β) β (π΄ Β· π΅) = (π΅ Β· π΄)) |
21 | 18, 19, 20 | syl2an 597 |
. . . . . . 7
β’ ((π΄ β β β§ π΅ β β) β (π΄ Β· π΅) = (π΅ Β· π΄)) |
22 | 21 | fveq2d 6850 |
. . . . . 6
β’ ((π΄ β β β§ π΅ β β) β
(ΞΌβ(π΄ Β·
π΅)) = (ΞΌβ(π΅ Β· π΄))) |
23 | 22 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β) β§
(ΞΌβπ΅) = 0) β
(ΞΌβ(π΄ Β·
π΅)) = (ΞΌβ(π΅ Β· π΄))) |
24 | | mumullem1 26551 |
. . . . . 6
β’ (((π΅ β β β§ π΄ β β) β§
(ΞΌβπ΅) = 0) β
(ΞΌβ(π΅ Β·
π΄)) = 0) |
25 | 24 | ancom1s 652 |
. . . . 5
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β) β§
(ΞΌβπ΅) = 0) β
(ΞΌβ(π΅ Β·
π΄)) = 0) |
26 | 23, 25 | eqtrd 2773 |
. . . 4
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β) β§
(ΞΌβπ΅) = 0) β
(ΞΌβ(π΄ Β·
π΅)) = 0) |
27 | 26 | 3adantl3 1169 |
. . 3
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΅) = 0) β (ΞΌβ(π΄ Β· π΅)) = 0) |
28 | 15, 17, 27 | 3eqtr4rd 2784 |
. 2
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ (ΞΌβπ΅) = 0) β (ΞΌβ(π΄ Β· π΅)) = ((ΞΌβπ΄) Β· (ΞΌβπ΅))) |
29 | | simpl1 1192 |
. . . . 5
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β π΄ β β) |
30 | | simpl2 1193 |
. . . . 5
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β π΅ β β) |
31 | 29, 30 | nnmulcld 12214 |
. . . 4
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β (π΄ Β· π΅) β β) |
32 | | mumullem2 26552 |
. . . 4
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β (ΞΌβ(π΄ Β· π΅)) β 0) |
33 | | muval2 26506 |
. . . 4
β’ (((π΄ Β· π΅) β β β§ (ΞΌβ(π΄ Β· π΅)) β 0) β (ΞΌβ(π΄ Β· π΅)) = (-1β(β―β{π β β β£ π β₯ (π΄ Β· π΅)}))) |
34 | 31, 32, 33 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β (ΞΌβ(π΄ Β· π΅)) = (-1β(β―β{π β β β£ π β₯ (π΄ Β· π΅)}))) |
35 | | neg1cn 12275 |
. . . . . 6
β’ -1 β
β |
36 | 35 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β -1 β
β) |
37 | | fzfi 13886 |
. . . . . . 7
β’
(1...π΅) β
Fin |
38 | | prmssnn 16560 |
. . . . . . . . 9
β’ β
β β |
39 | | rabss2 4039 |
. . . . . . . . 9
β’ (β
β β β {π
β β β£ π
β₯ π΅} β {π β β β£ π β₯ π΅}) |
40 | 38, 39 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
β’ {π β β β£ π β₯ π΅} β {π β β β£ π β₯ π΅} |
41 | | dvdsssfz1 16208 |
. . . . . . . . 9
β’ (π΅ β β β {π β β β£ π β₯ π΅} β (1...π΅)) |
42 | 30, 41 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β {π β β β£ π β₯ π΅} β (1...π΅)) |
43 | 40, 42 | sstrid 3959 |
. . . . . . 7
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β {π β β β£ π β₯ π΅} β (1...π΅)) |
44 | | ssfi 9123 |
. . . . . . 7
β’
(((1...π΅) β Fin
β§ {π β β
β£ π β₯ π΅} β (1...π΅)) β {π β β β£ π β₯ π΅} β Fin) |
45 | 37, 43, 44 | sylancr 588 |
. . . . . 6
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β {π β β β£ π β₯ π΅} β Fin) |
46 | | hashcl 14265 |
. . . . . 6
β’ ({π β β β£ π β₯ π΅} β Fin β (β―β{π β β β£ π β₯ π΅}) β
β0) |
47 | 45, 46 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β (β―β{π β β β£ π β₯ π΅}) β
β0) |
48 | | fzfi 13886 |
. . . . . . 7
β’
(1...π΄) β
Fin |
49 | | rabss2 4039 |
. . . . . . . . 9
β’ (β
β β β {π
β β β£ π
β₯ π΄} β {π β β β£ π β₯ π΄}) |
50 | 38, 49 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
β’ {π β β β£ π β₯ π΄} β {π β β β£ π β₯ π΄} |
51 | | dvdsssfz1 16208 |
. . . . . . . . 9
β’ (π΄ β β β {π β β β£ π β₯ π΄} β (1...π΄)) |
52 | 29, 51 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β {π β β β£ π β₯ π΄} β (1...π΄)) |
53 | 50, 52 | sstrid 3959 |
. . . . . . 7
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β {π β β β£ π β₯ π΄} β (1...π΄)) |
54 | | ssfi 9123 |
. . . . . . 7
β’
(((1...π΄) β Fin
β§ {π β β
β£ π β₯ π΄} β (1...π΄)) β {π β β β£ π β₯ π΄} β Fin) |
55 | 48, 53, 54 | sylancr 588 |
. . . . . 6
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β {π β β β£ π β₯ π΄} β Fin) |
56 | | hashcl 14265 |
. . . . . 6
β’ ({π β β β£ π β₯ π΄} β Fin β (β―β{π β β β£ π β₯ π΄}) β
β0) |
57 | 55, 56 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β (β―β{π β β β£ π β₯ π΄}) β
β0) |
58 | 36, 47, 57 | expaddd 14062 |
. . . 4
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β
(-1β((β―β{π
β β β£ π
β₯ π΄}) +
(β―β{π β
β β£ π β₯
π΅}))) =
((-1β(β―β{π
β β β£ π
β₯ π΄})) Β·
(-1β(β―β{π
β β β£ π
β₯ π΅})))) |
59 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β§ π β β) β π β β) |
60 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ π β β) β π΄ β β) |
61 | 60 | nnzd 12534 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ π β β) β π΄ β β€) |
62 | 61 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β§ π β β) β π΄ β β€) |
63 | | simpl2 1193 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ π β β) β π΅ β β) |
64 | 63 | nnzd 12534 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ π β β) β π΅ β β€) |
65 | 64 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β§ π β β) β π΅ β β€) |
66 | | euclemma 16597 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β β β§ π΄ β β€ β§ π΅ β β€) β (π β₯ (π΄ Β· π΅) β (π β₯ π΄ β¨ π β₯ π΅))) |
67 | 59, 62, 65, 66 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β§ π β β) β (π β₯ (π΄ Β· π΅) β (π β₯ π΄ β¨ π β₯ π΅))) |
68 | 67 | rabbidva 3413 |
. . . . . . . 8
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β {π β β β£ π β₯ (π΄ Β· π΅)} = {π β β β£ (π β₯ π΄ β¨ π β₯ π΅)}) |
69 | | unrab 4269 |
. . . . . . . 8
β’ ({π β β β£ π β₯ π΄} βͺ {π β β β£ π β₯ π΅}) = {π β β β£ (π β₯ π΄ β¨ π β₯ π΅)} |
70 | 68, 69 | eqtr4di 2791 |
. . . . . . 7
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β {π β β β£ π β₯ (π΄ Β· π΅)} = ({π β β β£ π β₯ π΄} βͺ {π β β β£ π β₯ π΅})) |
71 | 70 | fveq2d 6850 |
. . . . . 6
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β (β―β{π β β β£ π β₯ (π΄ Β· π΅)}) = (β―β({π β β β£ π β₯ π΄} βͺ {π β β β£ π β₯ π΅}))) |
72 | | inrab 4270 |
. . . . . . . 8
β’ ({π β β β£ π β₯ π΄} β© {π β β β£ π β₯ π΅}) = {π β β β£ (π β₯ π΄ β§ π β₯ π΅)} |
73 | | nprmdvds1 16590 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β Β¬
π β₯
1) |
74 | 73 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β§ π β β) β Β¬ π β₯ 1) |
75 | | prmz 16559 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β π β
β€) |
76 | 75 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β§ π β β) β π β β€) |
77 | | dvdsgcd 16433 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β β€ β§ π΄ β β€ β§ π΅ β β€) β ((π β₯ π΄ β§ π β₯ π΅) β π β₯ (π΄ gcd π΅))) |
78 | 76, 62, 65, 77 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β§ π β β) β ((π β₯ π΄ β§ π β₯ π΅) β π β₯ (π΄ gcd π΅))) |
79 | | simpll3 1215 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β§ π β β) β (π΄ gcd π΅) = 1) |
80 | 79 | breq2d 5121 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β§ π β β) β (π β₯ (π΄ gcd π΅) β π β₯ 1)) |
81 | 78, 80 | sylibd 238 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β§ π β β) β ((π β₯ π΄ β§ π β₯ π΅) β π β₯ 1)) |
82 | 74, 81 | mtod 197 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β§ π β β) β Β¬ (π β₯ π΄ β§ π β₯ π΅)) |
83 | 82 | ralrimiva 3140 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β βπ β β Β¬ (π β₯ π΄ β§ π β₯ π΅)) |
84 | | rabeq0 4348 |
. . . . . . . . 9
β’ ({π β β β£ (π β₯ π΄ β§ π β₯ π΅)} = β
β βπ β β Β¬ (π β₯ π΄ β§ π β₯ π΅)) |
85 | 83, 84 | sylibr 233 |
. . . . . . . 8
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β {π β β β£ (π β₯ π΄ β§ π β₯ π΅)} = β
) |
86 | 72, 85 | eqtrid 2785 |
. . . . . . 7
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β ({π β β β£ π β₯ π΄} β© {π β β β£ π β₯ π΅}) = β
) |
87 | | hashun 14291 |
. . . . . . 7
β’ (({π β β β£ π β₯ π΄} β Fin β§ {π β β β£ π β₯ π΅} β Fin β§ ({π β β β£ π β₯ π΄} β© {π β β β£ π β₯ π΅}) = β
) β (β―β({π β β β£ π β₯ π΄} βͺ {π β β β£ π β₯ π΅})) = ((β―β{π β β β£ π β₯ π΄}) + (β―β{π β β β£ π β₯ π΅}))) |
88 | 55, 45, 86, 87 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β (β―β({π β β β£ π β₯ π΄} βͺ {π β β β£ π β₯ π΅})) = ((β―β{π β β β£ π β₯ π΄}) + (β―β{π β β β£ π β₯ π΅}))) |
89 | 71, 88 | eqtrd 2773 |
. . . . 5
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β (β―β{π β β β£ π β₯ (π΄ Β· π΅)}) = ((β―β{π β β β£ π β₯ π΄}) + (β―β{π β β β£ π β₯ π΅}))) |
90 | 89 | oveq2d 7377 |
. . . 4
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β
(-1β(β―β{π
β β β£ π
β₯ (π΄ Β· π΅)})) =
(-1β((β―β{π
β β β£ π
β₯ π΄}) +
(β―β{π β
β β£ π β₯
π΅})))) |
91 | | simprl 770 |
. . . . . 6
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β (ΞΌβπ΄) β 0) |
92 | | muval2 26506 |
. . . . . 6
β’ ((π΄ β β β§
(ΞΌβπ΄) β 0)
β (ΞΌβπ΄) =
(-1β(β―β{π
β β β£ π
β₯ π΄}))) |
93 | 29, 91, 92 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β (ΞΌβπ΄) =
(-1β(β―β{π
β β β£ π
β₯ π΄}))) |
94 | | simprr 772 |
. . . . . 6
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β (ΞΌβπ΅) β 0) |
95 | | muval2 26506 |
. . . . . 6
β’ ((π΅ β β β§
(ΞΌβπ΅) β 0)
β (ΞΌβπ΅) =
(-1β(β―β{π
β β β£ π
β₯ π΅}))) |
96 | 30, 94, 95 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β (ΞΌβπ΅) =
(-1β(β―β{π
β β β£ π
β₯ π΅}))) |
97 | 93, 96 | oveq12d 7379 |
. . . 4
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β ((ΞΌβπ΄) Β· (ΞΌβπ΅)) =
((-1β(β―β{π
β β β£ π
β₯ π΄})) Β·
(-1β(β―β{π
β β β£ π
β₯ π΅})))) |
98 | 58, 90, 97 | 3eqtr4rd 2784 |
. . 3
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β ((ΞΌβπ΄) Β· (ΞΌβπ΅)) =
(-1β(β―β{π
β β β£ π
β₯ (π΄ Β· π΅)}))) |
99 | 34, 98 | eqtr4d 2776 |
. 2
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β§ ((ΞΌβπ΄) β 0 β§ (ΞΌβπ΅) β 0)) β (ΞΌβ(π΄ Β· π΅)) = ((ΞΌβπ΄) Β· (ΞΌβπ΅))) |
100 | 10, 28, 99 | pm2.61da2ne 3030 |
1
β’ ((π΄ β β β§ π΅ β β β§ (π΄ gcd π΅) = 1) β (ΞΌβ(π΄ Β· π΅)) = ((ΞΌβπ΄) Β· (ΞΌβπ΅))) |