Theorem mumul 27224

Description: The Möbius function is a multiplicative function. This is one of the primary interests of the Möbius function as an arithmetic function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mumul	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))

Proof of Theorem mumul

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
2		mucl 27184	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (μ‘𝐵) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘𝐵) ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12723	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘𝐵) ∈ ℂ)
5	4	mul02d 11459	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (0 · (μ‘𝐵)) = 0)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘𝐴) = 0)
7	6	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = (0 · (μ‘𝐵)))
8		mumullem1 27222	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
9	8	3adantl3 1169	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
10	5, 7, 9	3eqtr4rd 2788	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))
11		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → 𝐴 ∈ ℕ)
12		mucl 27184	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘𝐴) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12723	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘𝐴) ∈ ℂ)
15	14	mul01d 11460	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → ((μ‘𝐴) · 0) = 0)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘𝐵) = 0)
17	16	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = ((μ‘𝐴) · 0))
18		nncn 12274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
19		nncn 12274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
20		mulcom 11241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
21	18, 19, 20	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
22	21	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (μ‘(𝐵 · 𝐴)))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (μ‘(𝐵 · 𝐴)))
24		mumullem1 27222	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐵 · 𝐴)) = 0)
25	24	ancom1s 653	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐵 · 𝐴)) = 0)
26	23, 25	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
27	26	3adantl3 1169	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
28	15, 17, 27	3eqtr4rd 2788	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))
29		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℕ)
30		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℕ)
31	29, 30	nnmulcld 12319	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
32		mumullem2 27223	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0)
33		muval2 27177	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ ∧ (μ‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})))
34	31, 32, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})))
35		neg1cn 12380	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → -1 ∈ ℂ)
37		fzfi 14013	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝐵) ∈ Fin
38		prmssnn 16713	. . . . . . . . 9 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
39		rabss2 4078	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ⊆ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}
41		dvdsssfz1 16355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
42	30, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
43	40, 42	sstrid 3995	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
44		ssfi 9213	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
45	37, 43, 44	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
46		hashcl 14395	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) ∈ ℕ0)
47	45, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) ∈ ℕ0)
48		fzfi 14013	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝐴) ∈ Fin
49		rabss2 4078	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ⊆ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})
50	38, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}
51		dvdsssfz1 16355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))
52	29, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))
53	50, 52	sstrid 3995	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))
54		ssfi 9213	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
55	48, 53, 54	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
56		hashcl 14395	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
58	36, 47, 57	expaddd 14188	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (-1↑((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))) = ((-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) · (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))))
59		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
60		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
61	60	nnzd 12640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
62	61	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
63		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
65	64	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
66		euclemma 16750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)))
67	59, 62, 65, 66	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)))
68	67	rabbidva 3443	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)})
69		unrab 4315	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)}
70	68, 69	eqtr4di 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)} = ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))
71	70	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)}) = (♯‘({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
72		inrab 4316	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∩ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)}
73		nprmdvds1 16743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
75		prmz 16712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
77		dvdsgcd 16581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
78	76, 62, 65, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
79		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
80	79	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑝 ∥ 1))
81	78, 80	sylibd 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → 𝑝 ∥ 1))
82	74, 81	mtod 198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
83	82	ralrimiva 3146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
84		rabeq0 4388	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
85	83, 84	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)} = ∅)
86	72, 85	eqtrid 2789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∩ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = ∅)
87		hashun 14421	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∩ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = ∅) → (♯‘({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})) = ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
88	55, 45, 86, 87	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})) = ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
89	71, 88	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)}) = ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
90	89	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})) = (-1↑((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))))
91		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐴) ≠ 0)
92		muval2 27177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
93	29, 91, 92	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
94		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐵) ≠ 0)
95		muval2 27177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0) → (μ‘𝐵) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
96	30, 94, 95	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐵) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
97	93, 96	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = ((-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) · (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))))
98	58, 90, 97	3eqtr4rd 2788	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})))
99	34, 98	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))
100	10, 28, 99	pm2.61da2ne 3030	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3436   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  -cneg 11493  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ...cfz 13547  ↑cexp 14102  ♯chash 14369   ∥ cdvds 16290   gcd cgcd 16531  ℙcprime 16708  μcmu 27138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-mu 27144

This theorem is referenced by: (None)