Theorem mumul 26530

Description: The Möbius function is a multiplicative function. This is one of the primary interests of the Möbius function as an arithmetic function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mumul	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))

Proof of Theorem mumul

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
2		mucl 26490	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (μ‘𝐵) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘𝐵) ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12608	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘𝐵) ∈ ℂ)
5	4	mul02d 11353	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (0 · (μ‘𝐵)) = 0)
6		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘𝐴) = 0)
7	6	oveq1d 7372	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = (0 · (μ‘𝐵)))
8		mumullem1 26528	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
9	8	3adantl3 1168	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
10	5, 7, 9	3eqtr4rd 2787	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐴) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))
11		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → 𝐴 ∈ ℕ)
12		mucl 26490	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘𝐴) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12608	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘𝐴) ∈ ℂ)
15	14	mul01d 11354	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → ((μ‘𝐴) · 0) = 0)
16		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘𝐵) = 0)
17	16	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = ((μ‘𝐴) · 0))
18		nncn 12161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
19		nncn 12161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
20		mulcom 11137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
21	18, 19, 20	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
22	21	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (μ‘(𝐵 · 𝐴)))
23	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (μ‘(𝐵 · 𝐴)))
24		mumullem1 26528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐵 · 𝐴)) = 0)
25	24	ancom1s 651	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐵 · 𝐴)) = 0)
26	23, 25	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
27	26	3adantl3 1168	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
28	15, 17, 27	3eqtr4rd 2787	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ (μ‘𝐵) = 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))
29		simpl1 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℕ)
30		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℕ)
31	29, 30	nnmulcld 12206	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
32		mumullem2 26529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0)
33		muval2 26483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ ∧ (μ‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})))
34	31, 32, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})))
35		neg1cn 12267	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → -1 ∈ ℂ)
37		fzfi 13877	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝐵) ∈ Fin
38		prmssnn 16552	. . . . . . . . 9 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
39		rabss2 4035	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ⊆ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}
41		dvdsssfz1 16200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
42	30, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
43	40, 42	sstrid 3955	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
44		ssfi 9117	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
45	37, 43, 44	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
46		hashcl 14256	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) ∈ ℕ0)
47	45, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) ∈ ℕ0)
48		fzfi 13877	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝐴) ∈ Fin
49		rabss2 4035	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ⊆ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})
50	38, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}
51		dvdsssfz1 16200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))
52	29, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))
53	50, 52	sstrid 3955	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴))
54		ssfi 9117	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐴)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
55	48, 53, 54	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
56		hashcl 14256	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) ∈ ℕ0)
58	36, 47, 57	expaddd 14053	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (-1↑((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))) = ((-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) · (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))))
59		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
60		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
61	60	nnzd 12526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
62	61	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
63		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
65	64	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
66		euclemma 16589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)))
67	59, 62, 65, 66	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)))
68	67	rabbidva 3414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)})
69		unrab 4265	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∨ 𝑝 ∥ 𝐵)}
70	68, 69	eqtr4di 2794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)} = ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))
71	70	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)}) = (♯‘({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
72		inrab 4266	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∩ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)}
73		nprmdvds1 16582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
75		prmz 16551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
77		dvdsgcd 16425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
78	76, 62, 65, 77	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
79		simpll3 1214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
80	79	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑝 ∥ 1))
81	78, 80	sylibd 238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → 𝑝 ∥ 1))
82	74, 81	mtod 197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
83	82	ralrimiva 3143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
84		rabeq0 4344	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
85	83, 84	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)} = ∅)
86	72, 85	eqtrid 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∩ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = ∅)
87		hashun 14282	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∩ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) = ∅) → (♯‘({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})) = ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
88	55, 45, 86, 87	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴} ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})) = ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
89	71, 88	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)}) = ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
90	89	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})) = (-1↑((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴}) + (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))))
91		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐴) ≠ 0)
92		muval2 26483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
93	29, 91, 92	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐴) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})))
94		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐵) ≠ 0)
95		muval2 26483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0) → (μ‘𝐵) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
96	30, 94, 95	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘𝐵) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})))
97	93, 96	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = ((-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐴})) · (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}))))
98	58, 90, 97	3eqtr4rd 2787	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝐴 · 𝐵)})))
99	34, 98	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))
100	10, 28, 99	pm2.61da2ne 3033	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) = ((μ‘𝐴) · (μ‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  {crab 3407   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  ℂcc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  -cneg 11386  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ...cfz 13424  ↑cexp 13967  ♯chash 14230   ∥ cdvds 16136   gcd cgcd 16374  ℙcprime 16547  μcmu 26444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-mu 26450

This theorem is referenced by: (None)