MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem musum 27249
Description: The sum of the Möbius function over the divisors of 𝑁 gives one if 𝑁 = 1, but otherwise always sums to zero. Theorem 2.1 in [ApostolNT] p. 25. This makes the Möbius function useful for inverting divisor sums; see also muinv 27251. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
musum (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} (μ‘𝑘) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑁

Proof of Theorem musum
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑞 𝑠 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (μ‘𝑛) = (μ‘𝑘))
21neeq1d 2998 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ↔ (μ‘𝑘) ≠ 0))
3 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑁𝑘𝑁))
42, 3anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) ↔ ((μ‘𝑘) ≠ 0 ∧ 𝑘𝑁)))
54elrab 3695 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑘) ≠ 0 ∧ 𝑘𝑁)))
6 muval2 27192 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝑘) ≠ 0) → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
76adantrr 717 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑘) ≠ 0 ∧ 𝑘𝑁)) → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
85, 7sylbi 217 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
98adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
109sumeq2dv 15735 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (μ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
11 simpr 484 . . . . 5 (((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁))
1312ss2rabdv 4086 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
14 ssrab2 4090 . . . . . 6 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ⊆ ℕ
15 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)})
1614, 15sselid 3993 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
17 mucl 27199 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
1918zcnd 12721 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
20 difrab 4324 . . . . . . 7 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁))}
21 pm3.21 471 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑁 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
2221necon1bd 2956 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑁 → (¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) → (μ‘𝑛) = 0))
2322imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)) → (μ‘𝑛) = 0)
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)) → (μ‘𝑛) = 0))
2524ss2rabi 4087 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁))} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0}
2620, 25eqsstri 4030 . . . . . 6 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0}
2726sseli 3991 . . . . 5 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0})
28 fveqeq2 6916 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((μ‘𝑛) = 0 ↔ (μ‘𝑘) = 0))
2928elrab 3695 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝑘) = 0))
3029simprbi 496 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0} → (μ‘𝑘) = 0)
3127, 30syl 17 . . . 4 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) = 0)
3231adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)})) → (μ‘𝑘) = 0)
33 fzfid 14011 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
34 dvdsssfz1 16352 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ⊆ (1...𝑁))
3533, 34ssfid 9299 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∈ Fin)
3613, 19, 32, 35fsumss 15758 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (μ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} (μ‘𝑘))
37 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑥 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘}))
3837oveq2d 7447 . . . 4 (𝑥 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘} → (-1↑(♯‘𝑥)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
3935, 13ssfid 9299 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ∈ Fin)
40 eqid 2735 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}
41 eqid 2735 . . . . 5 (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚}) = (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚})
42 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 pCnt 𝑥) = (𝑝 pCnt 𝑥))
4342cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑞 pCnt 𝑥)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑥))
44 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → (𝑝 pCnt 𝑥) = (𝑝 pCnt 𝑚))
4544mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑥)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑚)))
4643, 45eqtrid 2787 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑞 pCnt 𝑥)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑚)))
4746cbvmptv 5261 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑞 pCnt 𝑥))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑚)))
4840, 41, 47sqff1o 27240 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚}):{𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}–1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
49 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → (𝑝𝑚𝑝𝑘))
5049rabbidv 3441 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})
51 prmex 16711 . . . . . . 7 ℙ ∈ V
5251rabex 5345 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘} ∈ V
5350, 41, 52fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} → ((𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚})‘𝑘) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})
5453adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → ((𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚})‘𝑘) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})
55 neg1cn 12378 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
56 prmdvdsfi 27165 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
57 elpwi 4612 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑥 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
58 ssfi 9212 . . . . . . 7 (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑥 ∈ Fin)
5956, 57, 58syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑥 ∈ Fin)
60 hashcl 14392 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
6159, 60syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
62 expcl 14117 . . . . 5 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0) → (-1↑(♯‘𝑥)) ∈ ℂ)
6355, 61, 62sylancr 587 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (-1↑(♯‘𝑥)) ∈ ℂ)
6438, 39, 48, 54, 63fsumf1o 15756 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
65 fzfid 14011 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∈ Fin)
6656adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
67 pwfi 9355 . . . . . . 7 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
6866, 67sylib 218 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
69 ssrab2 4090 . . . . . 6 {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ⊆ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}
70 ssfi 9212 . . . . . 6 ((𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ⊆ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ∈ Fin)
7168, 69, 70sylancl 586 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ∈ Fin)
72 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})
73 fveqeq2 6916 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑥 → ((♯‘𝑠) = 𝑧 ↔ (♯‘𝑥) = 𝑧))
7473elrab 3695 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∧ (♯‘𝑥) = 𝑧))
7574simprbi 496 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} → (♯‘𝑥) = 𝑧)
7672, 75syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → (♯‘𝑥) = 𝑧)
7776ralrimivva 3200 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))∀𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (♯‘𝑥) = 𝑧)
78 invdisj 5134 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))∀𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (♯‘𝑥) = 𝑧Disj 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})
7977, 78syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Disj 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})
8056adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
8169, 72sselid 3993 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
8281, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
8380, 82ssfid 9299 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ∈ Fin)
8483, 60syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
8555, 84, 62sylancr 587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → (-1↑(♯‘𝑥)) ∈ ℂ)
8665, 71, 79, 85fsumiun 15854 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)))
87 iunrab 5057 . . . . . 6 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} = {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧}
8856adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
89 elpwi 4612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
91 ssdomg 9039 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin → (𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
9288, 90, 91sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
93 ssfi 9212 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ∈ Fin)
9456, 89, 93syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ∈ Fin)
95 hashdom 14415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin) → ((♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ↔ 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
9694, 88, 95syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ↔ 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
9792, 96mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
98 hashcl 14392 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ Fin → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
9994, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
100 nn0uz 12918 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
10199, 100eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘0))
102 hashcl 14392 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0)
10356, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0)
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0)
105104nn0zd 12637 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℤ)
106 elfz5 13553 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ↔ (♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})))
107101, 105, 106syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ↔ (♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})))
10897, 107mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})))
109 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑠))
110 eqeq2 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (♯‘𝑠) → ((♯‘𝑠) = 𝑧 ↔ (♯‘𝑠) = (♯‘𝑠)))
111110rspcev 3622 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ (♯‘𝑠) = (♯‘𝑠)) → ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
112108, 109, 111syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
113112ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
114 rabid2 3468 . . . . . . 7 (𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧} ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
115113, 114sylibr 234 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧})
11687, 115eqtr4id 2794 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} = 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
117116sumeq1d 15733 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} (-1↑(♯‘𝑥)))
118 elfznn0 13657 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ ℕ0)
119118adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → 𝑧 ∈ ℕ0)
120 expcl 14117 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑧) ∈ ℂ)
12155, 119, 120sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → (-1↑𝑧) ∈ ℂ)
122 fsumconst 15823 . . . . . . . 8 (({𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ∈ Fin ∧ (-1↑𝑧) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑𝑧) = ((♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) · (-1↑𝑧)))
12371, 121, 122syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑𝑧) = ((♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) · (-1↑𝑧)))
12475adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) → (♯‘𝑥) = 𝑧)
125124oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) → (-1↑(♯‘𝑥)) = (-1↑𝑧))
126125sumeq2dv 15735 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑𝑧))
127 elfzelz 13561 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ ℤ)
128 hashbc 14489 . . . . . . . . 9 (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}))
12956, 127, 128syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}))
130129oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → (((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)) = ((♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) · (-1↑𝑧)))
131123, 126, 1303eqtr4d 2785 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = (((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
132131sumeq2dv 15735 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
133 1pneg1e0 12383 . . . . . . 7 (1 + -1) = 0
134133oveq1i 7441 . . . . . 6 ((1 + -1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
135 binom1p 15864 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0) → ((1 + -1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
13655, 103, 135sylancr 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
137134, 136eqtr3id 2789 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
138 eqeq2 2747 . . . . . 6 (1 = if(𝑁 = 1, 1, 0) → ((0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 1 ↔ (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = if(𝑁 = 1, 1, 0)))
139 eqeq2 2747 . . . . . 6 (0 = if(𝑁 = 1, 1, 0) → ((0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 0 ↔ (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = if(𝑁 = 1, 1, 0)))
140 nprmdvds1 16740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
141 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
142141breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (𝑝𝑁𝑝 ∥ 1))
143142notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (¬ 𝑝𝑁 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 1))
144140, 143imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝𝑁))
145144ralrimiv 3143 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ 𝑝𝑁)
146 rabeq0 4394 . . . . . . . . . . 11 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ 𝑝𝑁)
147145, 146sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = ∅)
148147fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) = (♯‘∅))
149 hash0 14403 . . . . . . . . 9 (♯‘∅) = 0
150148, 149eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) = 0)
151150oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = (0↑0))
152 0exp0e1 14104 . . . . . . 7 (0↑0) = 1
153151, 152eqtrdi 2791 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 1)
154 df-ne 2939 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑁 = 1)
155 eluz2b3 12962 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
156155biimpri 228 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
157154, 156sylan2br 595 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
158 exprmfct 16738 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
159157, 158syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
160 rabn0 4395 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
161159, 160sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅)
16256adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
163 hashnncl 14402 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅))
164162, 163syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅))
165161, 164mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ)
1661650expd 14176 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 0)
167138, 139, 153, 166ifbothda 4569 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
168132, 137, 1673eqtr2d 2781 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
16986, 117, 1683eqtr3d 2783 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} (-1↑(♯‘𝑥)) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
17064, 169eqtr3d 2777 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
17110, 36, 1703eqtr3d 2783 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} (μ‘𝑘) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  cdif 3960  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605   ciun 4996  Disj wdisj 5115   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cdom 8982  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  -cneg 11491  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  cexp 14099  Ccbc 14338  chash 14366  Σcsu 15719  cdvds 16287  cprime 16705   pCnt cpc 16870  μcmu 27153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871  df-mu 27159
This theorem is referenced by:  musumsum  27250  muinv  27251
  Copyright terms: Public domain W3C validator