MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem musum 27234
Description: The sum of the Möbius function over the divisors of 𝑁 gives one if 𝑁 = 1, but otherwise always sums to zero. Theorem 2.1 in [ApostolNT] p. 25. This makes the Möbius function useful for inverting divisor sums; see also muinv 27236. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
musum (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} (μ‘𝑘) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑁

Proof of Theorem musum
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑞 𝑠 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (μ‘𝑛) = (μ‘𝑘))
21neeq1d 3000 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ↔ (μ‘𝑘) ≠ 0))
3 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑁𝑘𝑁))
42, 3anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) ↔ ((μ‘𝑘) ≠ 0 ∧ 𝑘𝑁)))
54elrab 3692 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑘) ≠ 0 ∧ 𝑘𝑁)))
6 muval2 27177 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝑘) ≠ 0) → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
76adantrr 717 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑘) ≠ 0 ∧ 𝑘𝑁)) → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
85, 7sylbi 217 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
98adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
109sumeq2dv 15738 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (μ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
11 simpr 484 . . . . 5 (((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁))
1312ss2rabdv 4076 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
14 ssrab2 4080 . . . . . 6 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ⊆ ℕ
15 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)})
1614, 15sselid 3981 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
17 mucl 27184 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
1918zcnd 12723 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
20 difrab 4318 . . . . . . 7 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁))}
21 pm3.21 471 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑁 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
2221necon1bd 2958 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑁 → (¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) → (μ‘𝑛) = 0))
2322imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)) → (μ‘𝑛) = 0)
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)) → (μ‘𝑛) = 0))
2524ss2rabi 4077 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁))} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0}
2620, 25eqsstri 4030 . . . . . 6 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0}
2726sseli 3979 . . . . 5 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0})
28 fveqeq2 6915 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((μ‘𝑛) = 0 ↔ (μ‘𝑘) = 0))
2928elrab 3692 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝑘) = 0))
3029simprbi 496 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0} → (μ‘𝑘) = 0)
3127, 30syl 17 . . . 4 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) = 0)
3231adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)})) → (μ‘𝑘) = 0)
33 dvdsfi 16826 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∈ Fin)
3413, 19, 32, 33fsumss 15761 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (μ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} (μ‘𝑘))
35 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑥 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘}))
3635oveq2d 7447 . . . 4 (𝑥 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘} → (-1↑(♯‘𝑥)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
3733, 13ssfid 9301 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ∈ Fin)
38 eqid 2737 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}
39 eqid 2737 . . . . 5 (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚}) = (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚})
40 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 pCnt 𝑥) = (𝑝 pCnt 𝑥))
4140cbvmptv 5255 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑞 pCnt 𝑥)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑥))
42 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → (𝑝 pCnt 𝑥) = (𝑝 pCnt 𝑚))
4342mpteq2dv 5244 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑥)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑚)))
4441, 43eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑞 pCnt 𝑥)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑚)))
4544cbvmptv 5255 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑞 pCnt 𝑥))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑚)))
4638, 39, 45sqff1o 27225 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚}):{𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}–1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
47 breq2 5147 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → (𝑝𝑚𝑝𝑘))
4847rabbidv 3444 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})
49 prmex 16714 . . . . . . 7 ℙ ∈ V
5049rabex 5339 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘} ∈ V
5148, 39, 50fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} → ((𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚})‘𝑘) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})
5251adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → ((𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚})‘𝑘) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})
53 neg1cn 12380 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
54 prmdvdsfi 27150 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
55 elpwi 4607 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑥 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
56 ssfi 9213 . . . . . . 7 (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑥 ∈ Fin)
5754, 55, 56syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑥 ∈ Fin)
58 hashcl 14395 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
5957, 58syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
60 expcl 14120 . . . . 5 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0) → (-1↑(♯‘𝑥)) ∈ ℂ)
6153, 59, 60sylancr 587 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (-1↑(♯‘𝑥)) ∈ ℂ)
6236, 37, 46, 52, 61fsumf1o 15759 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
63 fzfid 14014 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∈ Fin)
6454adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
65 pwfi 9357 . . . . . . 7 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
6664, 65sylib 218 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
67 ssrab2 4080 . . . . . 6 {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ⊆ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}
68 ssfi 9213 . . . . . 6 ((𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ⊆ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ∈ Fin)
6966, 67, 68sylancl 586 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ∈ Fin)
70 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})
71 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑥 → ((♯‘𝑠) = 𝑧 ↔ (♯‘𝑥) = 𝑧))
7271elrab 3692 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∧ (♯‘𝑥) = 𝑧))
7372simprbi 496 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} → (♯‘𝑥) = 𝑧)
7470, 73syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → (♯‘𝑥) = 𝑧)
7574ralrimivva 3202 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))∀𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (♯‘𝑥) = 𝑧)
76 invdisj 5129 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))∀𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (♯‘𝑥) = 𝑧Disj 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})
7775, 76syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Disj 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})
7854adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
7967, 70sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
8079, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
8178, 80ssfid 9301 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ∈ Fin)
8281, 58syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
8353, 82, 60sylancr 587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → (-1↑(♯‘𝑥)) ∈ ℂ)
8463, 69, 77, 83fsumiun 15857 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)))
85 iunrab 5052 . . . . . 6 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} = {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧}
8654adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
87 elpwi 4607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
89 ssdomg 9040 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin → (𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
9086, 88, 89sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
91 ssfi 9213 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ∈ Fin)
9254, 87, 91syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ∈ Fin)
93 hashdom 14418 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin) → ((♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ↔ 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
9492, 86, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ↔ 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
9590, 94mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
96 hashcl 14395 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ Fin → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
9792, 96syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
98 nn0uz 12920 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
9997, 98eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘0))
100 hashcl 14395 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0)
10154, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0)
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0)
103102nn0zd 12639 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℤ)
104 elfz5 13556 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ↔ (♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})))
10599, 103, 104syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ↔ (♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})))
10695, 105mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})))
107 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑠))
108 eqeq2 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (♯‘𝑠) → ((♯‘𝑠) = 𝑧 ↔ (♯‘𝑠) = (♯‘𝑠)))
109108rspcev 3622 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ (♯‘𝑠) = (♯‘𝑠)) → ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
110106, 107, 109syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
111110ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
112 rabid2 3470 . . . . . . 7 (𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧} ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
113111, 112sylibr 234 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧})
11485, 113eqtr4id 2796 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} = 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
115114sumeq1d 15736 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} (-1↑(♯‘𝑥)))
116 elfznn0 13660 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ ℕ0)
117116adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → 𝑧 ∈ ℕ0)
118 expcl 14120 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑧) ∈ ℂ)
11953, 117, 118sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → (-1↑𝑧) ∈ ℂ)
120 fsumconst 15826 . . . . . . . 8 (({𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ∈ Fin ∧ (-1↑𝑧) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑𝑧) = ((♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) · (-1↑𝑧)))
12169, 119, 120syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑𝑧) = ((♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) · (-1↑𝑧)))
12273adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) → (♯‘𝑥) = 𝑧)
123122oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) → (-1↑(♯‘𝑥)) = (-1↑𝑧))
124123sumeq2dv 15738 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑𝑧))
125 elfzelz 13564 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ ℤ)
126 hashbc 14492 . . . . . . . . 9 (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}))
12754, 125, 126syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}))
128127oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → (((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)) = ((♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) · (-1↑𝑧)))
129121, 124, 1283eqtr4d 2787 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = (((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
130129sumeq2dv 15738 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
131 1pneg1e0 12385 . . . . . . 7 (1 + -1) = 0
132131oveq1i 7441 . . . . . 6 ((1 + -1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
133 binom1p 15867 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0) → ((1 + -1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
13453, 101, 133sylancr 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
135132, 134eqtr3id 2791 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
136 eqeq2 2749 . . . . . 6 (1 = if(𝑁 = 1, 1, 0) → ((0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 1 ↔ (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = if(𝑁 = 1, 1, 0)))
137 eqeq2 2749 . . . . . 6 (0 = if(𝑁 = 1, 1, 0) → ((0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 0 ↔ (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = if(𝑁 = 1, 1, 0)))
138 nprmdvds1 16743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
139 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
140139breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (𝑝𝑁𝑝 ∥ 1))
141140notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (¬ 𝑝𝑁 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 1))
142138, 141imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝𝑁))
143142ralrimiv 3145 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ 𝑝𝑁)
144 rabeq0 4388 . . . . . . . . . . 11 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ 𝑝𝑁)
145143, 144sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = ∅)
146145fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) = (♯‘∅))
147 hash0 14406 . . . . . . . . 9 (♯‘∅) = 0
148146, 147eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) = 0)
149148oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = (0↑0))
150 0exp0e1 14107 . . . . . . 7 (0↑0) = 1
151149, 150eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 1)
152 df-ne 2941 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑁 = 1)
153 eluz2b3 12964 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
154153biimpri 228 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
155152, 154sylan2br 595 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
156 exprmfct 16741 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
157155, 156syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
158 rabn0 4389 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
159157, 158sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅)
16054adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
161 hashnncl 14405 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅))
162160, 161syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅))
163159, 162mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ)
1641630expd 14179 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 0)
165136, 137, 151, 164ifbothda 4564 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
166130, 135, 1653eqtr2d 2783 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
16784, 115, 1663eqtr3d 2785 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} (-1↑(♯‘𝑥)) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
16862, 167eqtr3d 2779 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
16910, 34, 1683eqtr3d 2785 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} (μ‘𝑘) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600   ciun 4991  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cdom 8983  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  -cneg 11493  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  cexp 14102  Ccbc 14341  chash 14369  Σcsu 15722  cdvds 16290  cprime 16708   pCnt cpc 16874  μcmu 27138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-mu 27144
This theorem is referenced by:  musumsum  27235  muinv  27236
  Copyright terms: Public domain W3C validator