MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem musum 25130
Description: The sum of the Möbius function over the divisors of 𝑁 gives one if 𝑁 = 1, but otherwise always sums to zero. Theorem 2.1 in [ApostolNT] p. 25. This makes the Möbius function useful for inverting divisor sums; see also muinv 25132. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
musum (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} (μ‘𝑘) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑁

Proof of Theorem musum
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑞 𝑠 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6404 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (μ‘𝑛) = (μ‘𝑘))
21neeq1d 3037 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ↔ (μ‘𝑘) ≠ 0))
3 breq1 4847 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑁𝑘𝑁))
42, 3anbi12d 618 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) ↔ ((μ‘𝑘) ≠ 0 ∧ 𝑘𝑁)))
54elrab 3559 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑘) ≠ 0 ∧ 𝑘𝑁)))
6 muval2 25073 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝑘) ≠ 0) → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
76adantrr 699 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑘) ≠ 0 ∧ 𝑘𝑁)) → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
85, 7sylbi 208 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
98adantl 469 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
109sumeq2dv 14652 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (μ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
11 simpr 473 . . . . 5 (((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁))
1312ss2rabdv 3880 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
14 ssrab2 3884 . . . . . 6 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ⊆ ℕ
15 simpr 473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)})
1614, 15sseldi 3796 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
17 mucl 25080 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
1918zcnd 11745 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
20 difrab 4102 . . . . . . 7 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁))}
21 pm3.21 459 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑁 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
2221necon1bd 2996 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑁 → (¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) → (μ‘𝑛) = 0))
2322imp 395 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)) → (μ‘𝑛) = 0)
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)) → (μ‘𝑛) = 0))
2524ss2rabi 3881 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁))} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0}
2620, 25eqsstri 3832 . . . . . 6 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0}
2726sseli 3794 . . . . 5 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0})
28 fveqeq2 6413 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((μ‘𝑛) = 0 ↔ (μ‘𝑘) = 0))
2928elrab 3559 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝑘) = 0))
3029simprbi 486 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0} → (μ‘𝑘) = 0)
3127, 30syl 17 . . . 4 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) = 0)
3231adantl 469 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)})) → (μ‘𝑘) = 0)
33 fzfid 12992 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
34 dvdsssfz1 15259 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ⊆ (1...𝑁))
35 ssfi 8415 . . . 4 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ⊆ (1...𝑁)) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∈ Fin)
3633, 34, 35syl2anc 575 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∈ Fin)
3713, 19, 32, 36fsumss 14675 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (μ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} (μ‘𝑘))
38 fveq2 6404 . . . . 5 (𝑥 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘}))
3938oveq2d 6886 . . . 4 (𝑥 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘} → (-1↑(♯‘𝑥)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
40 ssfi 8415 . . . . 5 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁}) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ∈ Fin)
4136, 13, 40syl2anc 575 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ∈ Fin)
42 eqid 2806 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}
43 eqid 2806 . . . . 5 (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚}) = (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚})
44 oveq1 6877 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 pCnt 𝑥) = (𝑝 pCnt 𝑥))
4544cbvmptv 4944 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑞 pCnt 𝑥)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑥))
46 oveq2 6878 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → (𝑝 pCnt 𝑥) = (𝑝 pCnt 𝑚))
4746mpteq2dv 4939 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑥)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑚)))
4845, 47syl5eq 2852 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑞 pCnt 𝑥)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑚)))
4948cbvmptv 4944 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑞 pCnt 𝑥))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑚)))
5042, 43, 49sqff1o 25121 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚}):{𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}–1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
51 breq2 4848 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → (𝑝𝑚𝑝𝑘))
5251rabbidv 3379 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})
53 zex 11648 . . . . . . . 8 ℤ ∈ V
54 prmz 15603 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
5554ssriv 3802 . . . . . . . 8 ℙ ⊆ ℤ
5653, 55ssexi 4998 . . . . . . 7 ℙ ∈ V
5756rabex 5007 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘} ∈ V
5852, 43, 57fvmpt 6499 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} → ((𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚})‘𝑘) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})
5958adantl 469 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → ((𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚})‘𝑘) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})
60 neg1cn 11402 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
61 prmdvdsfi 25046 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
62 elpwi 4361 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑥 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
63 ssfi 8415 . . . . . . 7 (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑥 ∈ Fin)
6461, 62, 63syl2an 585 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑥 ∈ Fin)
65 hashcl 13361 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
6664, 65syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
67 expcl 13097 . . . . 5 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0) → (-1↑(♯‘𝑥)) ∈ ℂ)
6860, 66, 67sylancr 577 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (-1↑(♯‘𝑥)) ∈ ℂ)
6939, 41, 50, 59, 68fsumf1o 14673 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
70 fzfid 12992 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∈ Fin)
7161adantr 468 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
72 pwfi 8496 . . . . . . 7 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
7371, 72sylib 209 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
74 ssrab2 3884 . . . . . 6 {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ⊆ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}
75 ssfi 8415 . . . . . 6 ((𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ⊆ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ∈ Fin)
7673, 74, 75sylancl 576 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ∈ Fin)
77 simprr 780 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})
78 fveqeq2 6413 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑥 → ((♯‘𝑠) = 𝑧 ↔ (♯‘𝑥) = 𝑧))
7978elrab 3559 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∧ (♯‘𝑥) = 𝑧))
8079simprbi 486 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} → (♯‘𝑥) = 𝑧)
8177, 80syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → (♯‘𝑥) = 𝑧)
8281ralrimivva 3159 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))∀𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (♯‘𝑥) = 𝑧)
83 invdisj 4830 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))∀𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (♯‘𝑥) = 𝑧Disj 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})
8482, 83syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Disj 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})
8561adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
8674, 77sseldi 3796 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
8786, 62syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
8885, 87, 63syl2anc 575 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ∈ Fin)
8988, 65syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
9060, 89, 67sylancr 577 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → (-1↑(♯‘𝑥)) ∈ ℂ)
9170, 76, 84, 90fsumiun 14771 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)))
9261adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
93 elpwi 4361 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
9493adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
95 ssdomg 8234 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin → (𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
9692, 94, 95sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
97 ssfi 8415 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ∈ Fin)
9861, 93, 97syl2an 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ∈ Fin)
99 hashdom 13382 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin) → ((♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ↔ 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
10098, 92, 99syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ↔ 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
10196, 100mpbird 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
102 hashcl 13361 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ Fin → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
10398, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
104 nn0uz 11936 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
105103, 104syl6eleq 2895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘0))
106 hashcl 13361 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0)
10761, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0)
108107adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0)
109108nn0zd 11742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℤ)
110 elfz5 12553 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ↔ (♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})))
111105, 109, 110syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ↔ (♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})))
112101, 111mpbird 248 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})))
113 eqidd 2807 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑠))
114 eqeq2 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (♯‘𝑠) → ((♯‘𝑠) = 𝑧 ↔ (♯‘𝑠) = (♯‘𝑠)))
115114rspcev 3502 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ (♯‘𝑠) = (♯‘𝑠)) → ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
116112, 113, 115syl2anc 575 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
117116ralrimiva 3154 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
118 rabid2 3307 . . . . . . 7 (𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧} ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
119117, 118sylibr 225 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧})
120 iunrab 4759 . . . . . 6 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} = {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧}
121119, 120syl6reqr 2859 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} = 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
122121sumeq1d 14650 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} (-1↑(♯‘𝑥)))
123 elfznn0 12652 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ ℕ0)
124123adantl 469 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → 𝑧 ∈ ℕ0)
125 expcl 13097 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑧) ∈ ℂ)
12660, 124, 125sylancr 577 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → (-1↑𝑧) ∈ ℂ)
127 fsumconst 14740 . . . . . . . 8 (({𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ∈ Fin ∧ (-1↑𝑧) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑𝑧) = ((♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) · (-1↑𝑧)))
12876, 126, 127syl2anc 575 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑𝑧) = ((♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) · (-1↑𝑧)))
12980adantl 469 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) → (♯‘𝑥) = 𝑧)
130129oveq2d 6886 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) → (-1↑(♯‘𝑥)) = (-1↑𝑧))
131130sumeq2dv 14652 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑𝑧))
132 elfzelz 12561 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ ℤ)
133 hashbc 13450 . . . . . . . . 9 (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}))
13461, 132, 133syl2an 585 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}))
135134oveq1d 6885 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → (((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)) = ((♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) · (-1↑𝑧)))
136128, 131, 1353eqtr4d 2850 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = (((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
137136sumeq2dv 14652 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
138 1pneg1e0 11407 . . . . . . 7 (1 + -1) = 0
139138oveq1i 6880 . . . . . 6 ((1 + -1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
140 binom1p 14781 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0) → ((1 + -1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
14160, 107, 140sylancr 577 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
142139, 141syl5eqr 2854 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
143 eqeq2 2817 . . . . . 6 (1 = if(𝑁 = 1, 1, 0) → ((0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 1 ↔ (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = if(𝑁 = 1, 1, 0)))
144 eqeq2 2817 . . . . . 6 (0 = if(𝑁 = 1, 1, 0) → ((0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 0 ↔ (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = if(𝑁 = 1, 1, 0)))
145 nprmdvds1 15631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
146 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
147146breq2d 4856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (𝑝𝑁𝑝 ∥ 1))
148147notbid 309 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (¬ 𝑝𝑁 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 1))
149145, 148syl5ibr 237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝𝑁))
150149ralrimiv 3153 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ 𝑝𝑁)
151 rabeq0 4157 . . . . . . . . . . 11 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ 𝑝𝑁)
152150, 151sylibr 225 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = ∅)
153152fveq2d 6408 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) = (♯‘∅))
154 hash0 13372 . . . . . . . . 9 (♯‘∅) = 0
155153, 154syl6eq 2856 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) = 0)
156155oveq2d 6886 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = (0↑0))
157 0exp0e1 13084 . . . . . . 7 (0↑0) = 1
158156, 157syl6eq 2856 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 1)
159 df-ne 2979 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑁 = 1)
160 eluz2b3 11977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
161160biimpri 219 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
162159, 161sylan2br 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
163 exprmfct 15629 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
164162, 163syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
165 rabn0 4158 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
166164, 165sylibr 225 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅)
16761adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
168 hashnncl 13371 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅))
169167, 168syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅))
170166, 169mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ)
1711700expd 13243 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 0)
172143, 144, 158, 171ifbothda 4316 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
173137, 142, 1723eqtr2d 2846 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
17491, 122, 1733eqtr3d 2848 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} (-1↑(♯‘𝑥)) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
17569, 174eqtr3d 2842 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
17610, 37, 1753eqtr3d 2848 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} (μ‘𝑘) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  {crab 3100  cdif 3766  wss 3769  c0 4116  ifcif 4279  𝒫 cpw 4351   ciun 4712  Disj wdisj 4812   class class class wbr 4844  cmpt 4923  cfv 6097  (class class class)co 6870  cdom 8186  Fincfn 8188  cc 10215  0cc0 10217  1c1 10218   + caddc 10220   · cmul 10222  cle 10356  -cneg 10548  cn 11301  2c2 11352  0cn0 11555  cz 11639  cuz 11900  ...cfz 12545  cexp 13079  Ccbc 13305  chash 13333  Σcsu 14635  cdvds 15199  cprime 15599   pCnt cpc 15754  μcmu 25034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-disj 4813  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-er 7975  df-map 8090  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-sup 8583  df-inf 8584  df-oi 8650  df-card 9044  df-cda 9271  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-n0 11556  df-xnn0 11626  df-z 11640  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-mod 12889  df-seq 13021  df-exp 13080  df-fac 13277  df-bc 13306  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-dvds 15200  df-gcd 15432  df-prm 15600  df-pc 15755  df-mu 25040
This theorem is referenced by:  musumsum  25131  muinv  25132
  Copyright terms: Public domain W3C validator