MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  musum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem musum 26675
Description: The sum of the Möbius function over the divisors of 𝑁 gives one if 𝑁 = 1, but otherwise always sums to zero. Theorem 2.1 in [ApostolNT] p. 25. This makes the Möbius function useful for inverting divisor sums; see also muinv 26677. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
musum (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} (μ‘𝑘) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑁

Proof of Theorem musum
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑞 𝑠 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (μ‘𝑛) = (μ‘𝑘))
21neeq1d 3001 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ↔ (μ‘𝑘) ≠ 0))
3 breq1 5150 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑁𝑘𝑁))
42, 3anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) ↔ ((μ‘𝑘) ≠ 0 ∧ 𝑘𝑁)))
54elrab 3682 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑘) ≠ 0 ∧ 𝑘𝑁)))
6 muval2 26618 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝑘) ≠ 0) → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
76adantrr 716 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑘) ≠ 0 ∧ 𝑘𝑁)) → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
85, 7sylbi 216 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
98adantl 483 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
109sumeq2dv 15645 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (μ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
11 simpr 486 . . . . 5 (((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁))
1312ss2rabdv 4072 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
14 ssrab2 4076 . . . . . 6 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ⊆ ℕ
15 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)})
1614, 15sselid 3979 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
17 mucl 26625 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) ∈ ℤ)
1918zcnd 12663 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) ∈ ℂ)
20 difrab 4307 . . . . . . 7 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁))}
21 pm3.21 473 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑁 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
2221necon1bd 2959 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑁 → (¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁) → (μ‘𝑛) = 0))
2322imp 408 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)) → (μ‘𝑛) = 0)
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)) → (μ‘𝑛) = 0))
2524ss2rabi 4073 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑛𝑁 ∧ ¬ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁))} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0}
2620, 25eqsstri 4015 . . . . . 6 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0}
2726sseli 3977 . . . . 5 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0})
28 fveqeq2 6897 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((μ‘𝑛) = 0 ↔ (μ‘𝑘) = 0))
2928elrab 3682 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝑘) = 0))
3029simprbi 498 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (μ‘𝑛) = 0} → (μ‘𝑘) = 0)
3127, 30syl 17 . . . 4 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → (μ‘𝑘) = 0)
3231adantl 483 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∖ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)})) → (μ‘𝑘) = 0)
33 fzfid 13934 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
34 dvdsssfz1 16257 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ⊆ (1...𝑁))
3533, 34ssfid 9263 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ∈ Fin)
3613, 19, 32, 35fsumss 15667 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (μ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} (μ‘𝑘))
37 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑥 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘}))
3837oveq2d 7420 . . . 4 (𝑥 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘} → (-1↑(♯‘𝑥)) = (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
3935, 13ssfid 9263 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ∈ Fin)
40 eqid 2733 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}
41 eqid 2733 . . . . 5 (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚}) = (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚})
42 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 pCnt 𝑥) = (𝑝 pCnt 𝑥))
4342cbvmptv 5260 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑞 pCnt 𝑥)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑥))
44 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → (𝑝 pCnt 𝑥) = (𝑝 pCnt 𝑚))
4544mpteq2dv 5249 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑥)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑚)))
4643, 45eqtrid 2785 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑞 pCnt 𝑥)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑚)))
4746cbvmptv 5260 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑞 pCnt 𝑥))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑚)))
4840, 41, 47sqff1o 26666 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚}):{𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}–1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
49 breq2 5151 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → (𝑝𝑚𝑝𝑘))
5049rabbidv 3441 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})
51 prmex 16610 . . . . . . 7 ℙ ∈ V
5251rabex 5331 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘} ∈ V
5350, 41, 52fvmpt 6994 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} → ((𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚})‘𝑘) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})
5453adantl 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)}) → ((𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑚})‘𝑘) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})
55 neg1cn 12322 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
56 prmdvdsfi 26591 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
57 elpwi 4608 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑥 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
58 ssfi 9169 . . . . . . 7 (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑥 ∈ Fin)
5956, 57, 58syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑥 ∈ Fin)
60 hashcl 14312 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
6159, 60syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
62 expcl 14041 . . . . 5 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0) → (-1↑(♯‘𝑥)) ∈ ℂ)
6355, 61, 62sylancr 588 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (-1↑(♯‘𝑥)) ∈ ℂ)
6438, 39, 48, 54, 63fsumf1o 15665 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})))
65 fzfid 13934 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∈ Fin)
6656adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
67 pwfi 9174 . . . . . . 7 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
6866, 67sylib 217 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
69 ssrab2 4076 . . . . . 6 {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ⊆ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}
70 ssfi 9169 . . . . . 6 ((𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ⊆ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ∈ Fin)
7168, 69, 70sylancl 587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ∈ Fin)
72 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})
73 fveqeq2 6897 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑥 → ((♯‘𝑠) = 𝑧 ↔ (♯‘𝑥) = 𝑧))
7473elrab 3682 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∧ (♯‘𝑥) = 𝑧))
7574simprbi 498 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} → (♯‘𝑥) = 𝑧)
7672, 75syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → (♯‘𝑥) = 𝑧)
7776ralrimivva 3201 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))∀𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (♯‘𝑥) = 𝑧)
78 invdisj 5131 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))∀𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (♯‘𝑥) = 𝑧Disj 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})
7977, 78syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Disj 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})
8056adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
8169, 72sselid 3979 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
8281, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
8380, 82ssfid 9263 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → 𝑥 ∈ Fin)
8483, 60syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
8555, 84, 62sylancr 588 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧})) → (-1↑(♯‘𝑥)) ∈ ℂ)
8665, 71, 79, 85fsumiun 15763 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)))
87 iunrab 5054 . . . . . 6 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} = {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧}
8856adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
89 elpwi 4608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
9089adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
91 ssdomg 8992 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin → (𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
9288, 90, 91sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
93 ssfi 9169 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ∈ Fin)
9456, 89, 93syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑠 ∈ Fin)
95 hashdom 14335 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin) → ((♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ↔ 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
9694, 88, 95syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ↔ 𝑠 ≼ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
9792, 96mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
98 hashcl 14312 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ Fin → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
9994, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
100 nn0uz 12860 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
10199, 100eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘0))
102 hashcl 14312 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0)
10356, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0)
104103adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0)
105104nn0zd 12580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℤ)
106 elfz5 13489 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ↔ (♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})))
107101, 105, 106syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ↔ (♯‘𝑠) ≤ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})))
10897, 107mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})))
109 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑠))
110 eqeq2 2745 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (♯‘𝑠) → ((♯‘𝑠) = 𝑧 ↔ (♯‘𝑠) = (♯‘𝑠)))
111110rspcev 3612 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑠) ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) ∧ (♯‘𝑠) = (♯‘𝑠)) → ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
112108, 109, 111syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
113112ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
114 rabid2 3465 . . . . . . 7 (𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧} ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧)
115113, 114sylibr 233 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ ∃𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(♯‘𝑠) = 𝑧})
11687, 115eqtr4id 2792 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} = 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
117116sumeq1d 15643 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})){𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} (-1↑(♯‘𝑥)))
118 elfznn0 13590 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ ℕ0)
119118adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → 𝑧 ∈ ℕ0)
120 expcl 14041 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑧) ∈ ℂ)
12155, 119, 120sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → (-1↑𝑧) ∈ ℂ)
122 fsumconst 15732 . . . . . . . 8 (({𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} ∈ Fin ∧ (-1↑𝑧) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑𝑧) = ((♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) · (-1↑𝑧)))
12371, 121, 122syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑𝑧) = ((♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) · (-1↑𝑧)))
12475adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) → (♯‘𝑥) = 𝑧)
125124oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) → (-1↑(♯‘𝑥)) = (-1↑𝑧))
126125sumeq2dv 15645 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑𝑧))
127 elfzelz 13497 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ ℤ)
128 hashbc 14408 . . . . . . . . 9 (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}))
12956, 127, 128syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}))
130129oveq1d 7419 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → (((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)) = ((♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧}) · (-1↑𝑧)))
131123, 126, 1303eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))) → Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = (((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
132131sumeq2dv 15645 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
133 1pneg1e0 12327 . . . . . . 7 (1 + -1) = 0
134133oveq1i 7414 . . . . . 6 ((1 + -1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))
135 binom1p 15773 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ0) → ((1 + -1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
13655, 103, 135sylancr 588 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + -1)↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
137134, 136eqtr3id 2787 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))(((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})C𝑧) · (-1↑𝑧)))
138 eqeq2 2745 . . . . . 6 (1 = if(𝑁 = 1, 1, 0) → ((0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 1 ↔ (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = if(𝑁 = 1, 1, 0)))
139 eqeq2 2745 . . . . . 6 (0 = if(𝑁 = 1, 1, 0) → ((0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 0 ↔ (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = if(𝑁 = 1, 1, 0)))
140 nprmdvds1 16639 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
141 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
142141breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (𝑝𝑁𝑝 ∥ 1))
143142notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (¬ 𝑝𝑁 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 1))
144140, 143imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝𝑁))
145144ralrimiv 3146 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ 𝑝𝑁)
146 rabeq0 4383 . . . . . . . . . . 11 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ 𝑝𝑁)
147145, 146sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} = ∅)
148147fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) = (♯‘∅))
149 hash0 14323 . . . . . . . . 9 (♯‘∅) = 0
150148, 149eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) = 0)
151150oveq2d 7420 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = (0↑0))
152 0exp0e1 14028 . . . . . . 7 (0↑0) = 1
153151, 152eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = 1) → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 1)
154 df-ne 2942 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑁 = 1)
155 eluz2b3 12902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
156155biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
157154, 156sylan2br 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
158 exprmfct 16637 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
159157, 158syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
160 rabn0 4384 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑁)
161159, 160sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅)
16256adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin)
163 hashnncl 14322 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∈ Fin → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅))
164162, 163syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ≠ ∅))
165161, 164mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∈ ℕ)
1661650expd 14100 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = 0)
167138, 139, 153, 166ifbothda 4565 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
168132, 137, 1673eqtr2d 2779 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑧 ∈ (0...(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}))Σ𝑥 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ∣ (♯‘𝑠) = 𝑧} (-1↑(♯‘𝑥)) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
16986, 117, 1683eqtr3d 2781 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} (-1↑(♯‘𝑥)) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
17064, 169eqtr3d 2775 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)} (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑘})) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
17110, 36, 1703eqtr3d 2781 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} (μ‘𝑘) = if(𝑁 = 1, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  {crab 3433  cdif 3944  wss 3947  c0 4321  ifcif 4527  𝒫 cpw 4601   ciun 4996  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6540  (class class class)co 7404  cdom 8933  Fincfn 8935  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cle 11245  -cneg 11441  cn 12208  2c2 12263  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818  ...cfz 13480  cexp 14023  Ccbc 14258  chash 14286  Σcsu 15628  cdvds 16193  cprime 16604   pCnt cpc 16765  μcmu 26579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-mu 26585
This theorem is referenced by:  musumsum  26676  muinv  26677
  Copyright terms: Public domain W3C validator