Theorem mxidlidl 33553

Description: A maximal ideal is an ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
mxidlval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mxidlidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem mxidlidl

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mxidlval.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	ismxidl 33552	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑀 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑀 ∨ 𝑗 = 𝐵)))))
3	2	biimpa 477	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑀 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑀 ∨ 𝑗 = 𝐵))))
4	3	simp1d 1148	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  Basecbs 17177  Ringcrg 20212  LIdealclidl 21206  MaxIdealcmxidl 33549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-mxidl 33550

This theorem is referenced by:  mxidln1  33556  mxidlnzr  33557  mxidlprm  33560  drngmxidl  33567  opprmxidlabs  33577  qsdrngilem  33584  qsdrngi  33585  mxidlprmALT  33589  zarclssn  34064  zarmxt1  34071