Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opprmxidlabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprmxidlabs 32447
Description: The maximal ideal of the opposite ring's opposite ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
oppreqg.o 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
oppr2idl.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
opprmxidl.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
opprmxidlabs (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)))

Proof of Theorem opprmxidlabs
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppr2idl.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 oppreqg.o . . . 4 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
32opprring 20113 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑂 ∈ Ring)
4 eqid 2731 . . . 4 (opprβ€˜π‘‚) = (opprβ€˜π‘‚)
54opprring 20113 . . 3 (𝑂 ∈ Ring β†’ (opprβ€˜π‘‚) ∈ Ring)
61, 3, 53syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (opprβ€˜π‘‚) ∈ Ring)
7 opprmxidl.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
8 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
98mxidlidl 32430 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
101, 7, 9syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
112, 1opprlidlabs 32445 . . 3 (πœ‘ β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)))
1210, 11eleqtrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)))
138mxidlnr 32431 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 β‰  (Baseβ€˜π‘…))
141, 7, 13syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  (Baseβ€˜π‘…))
151ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
167ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
17 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)))
1811ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗) β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)))
1917, 18eleqtrrd 2835 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
20 simpr 485 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑀 βŠ† 𝑗)
218mxidlmax 32432 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗)) β†’ (𝑗 = 𝑀 ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…)))
2215, 16, 19, 20, 21syl22anc 837 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗) β†’ (𝑗 = 𝑀 ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…)))
2322ex 413 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) β†’ (𝑀 βŠ† 𝑗 β†’ (𝑗 = 𝑀 ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…))))
2423ralrimiva 3145 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))(𝑀 βŠ† 𝑗 β†’ (𝑗 = 𝑀 ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…))))
252, 8opprbas 20109 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘‚)
264, 25opprbas 20109 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘‚))
2726ismxidl 32429 . . 3 ((opprβ€˜π‘‚) ∈ Ring β†’ (𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)) ↔ (𝑀 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)) ∧ 𝑀 β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))(𝑀 βŠ† 𝑗 β†’ (𝑗 = 𝑀 ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…))))))
2827biimpar 478 . 2 (((opprβ€˜π‘‚) ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)) ∧ 𝑀 β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))(𝑀 βŠ† 𝑗 β†’ (𝑗 = 𝑀 ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…))))) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)))
296, 12, 14, 24, 28syl13anc 1372 1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3944  β€˜cfv 6532  Basecbs 17126  Ringcrg 20014  opprcoppr 20101  LIdealclidl 20732  MaxIdealcmxidl 32426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-oppr 20102  df-lss 20492  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-lidl 20736  df-mxidl 32427
This theorem is referenced by:  qsdrngi  32455
  Copyright terms: Public domain W3C validator