Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opprmxidlabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprmxidlabs 33070
Description: The maximal ideal of the opposite ring's opposite ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
oppreqg.o 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
oppr2idl.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
opprmxidl.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
opprmxidlabs (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)))

Proof of Theorem opprmxidlabs
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppr2idl.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 oppreqg.o . . . 4 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
32opprring 20239 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑂 ∈ Ring)
4 eqid 2724 . . . 4 (opprβ€˜π‘‚) = (opprβ€˜π‘‚)
54opprring 20239 . . 3 (𝑂 ∈ Ring β†’ (opprβ€˜π‘‚) ∈ Ring)
61, 3, 53syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (opprβ€˜π‘‚) ∈ Ring)
7 opprmxidl.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
8 eqid 2724 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
98mxidlidl 33048 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
101, 7, 9syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
112, 1opprlidlabs 33068 . . 3 (πœ‘ β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)))
1210, 11eleqtrd 2827 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)))
138mxidlnr 33049 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 β‰  (Baseβ€˜π‘…))
141, 7, 13syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  (Baseβ€˜π‘…))
151ad2antrr 723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
167ad2antrr 723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
17 simplr 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)))
1811ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗) β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)))
1917, 18eleqtrrd 2828 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
20 simpr 484 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑀 βŠ† 𝑗)
218mxidlmax 33050 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗)) β†’ (𝑗 = 𝑀 ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…)))
2215, 16, 19, 20, 21syl22anc 836 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑗) β†’ (𝑗 = 𝑀 ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…)))
2322ex 412 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))) β†’ (𝑀 βŠ† 𝑗 β†’ (𝑗 = 𝑀 ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…))))
2423ralrimiva 3138 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))(𝑀 βŠ† 𝑗 β†’ (𝑗 = 𝑀 ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…))))
252, 8opprbas 20233 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘‚)
264, 25opprbas 20233 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘‚))
2726ismxidl 33047 . . 3 ((opprβ€˜π‘‚) ∈ Ring β†’ (𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)) ↔ (𝑀 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)) ∧ 𝑀 β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))(𝑀 βŠ† 𝑗 β†’ (𝑗 = 𝑀 ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…))))))
2827biimpar 477 . 2 (((opprβ€˜π‘‚) ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)) ∧ 𝑀 β‰  (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘— ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚))(𝑀 βŠ† 𝑗 β†’ (𝑗 = 𝑀 ∨ 𝑗 = (Baseβ€˜π‘…))))) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)))
296, 12, 14, 24, 28syl13anc 1369 1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜(opprβ€˜π‘‚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053   βŠ† wss 3940  β€˜cfv 6533  Basecbs 17143  Ringcrg 20128  opprcoppr 20225  LIdealclidl 21055  MaxIdealcmxidl 33044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-lss 20769  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-lidl 21057  df-mxidl 33045
This theorem is referenced by:  qsdrngi  33078
  Copyright terms: Public domain W3C validator