Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarmxt1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem zarmxt1 33146
Description: The Zariski topology restricted to maximal ideals is T1 . (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zartop.1 𝑆 = (Specβ€˜π‘…)
zartop.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
zarmxt1.1 𝑀 = (MaxIdealβ€˜π‘…)
zarmxt1.2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt 𝑀)
Assertion
Ref Expression
zarmxt1 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑇 ∈ Fre)
Proof of Theorem zarmxt1
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑙 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zartop.1 . . . 4 𝑆 = (Specβ€˜π‘…)
2 zartop.2 . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
31, 2zartop 33142 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 zarmxt1.1 . . . 4 𝑀 = (MaxIdealβ€˜π‘…)
54fvexi 6905 . . 3 𝑀 ∈ V
6 zarmxt1.2 . . . 4 𝑇 = (𝐽 β†Ύt 𝑀)
7 resttop 22884 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑀) ∈ Top)
86, 7eqeltrid 2837 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ V) β†’ 𝑇 ∈ Top)
93, 5, 8sylancl 586 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑇 ∈ Top)
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
1110mxidlprm 32848 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ π‘š ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
1211ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ (π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) β†’ π‘š ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)))
1312ssrdv 3988 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ (MaxIdealβ€˜π‘…) βŠ† (PrmIdealβ€˜π‘…))
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ (MaxIdealβ€˜π‘…) βŠ† (PrmIdealβ€˜π‘…))
15 eqid 2732 . . . . . . 7 (PrmIdealβ€˜π‘…) = (PrmIdealβ€˜π‘…)
1614, 4, 153sstr4g 4027 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑀 βŠ† (PrmIdealβ€˜π‘…))
17 sseq2 4008 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑙 β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ↔ 𝑖 βŠ† 𝑙))
1817cbvrabv 3442 . . . . . . . . . . . 12 {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑙}
19 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖 βŠ† 𝑙 ↔ π‘˜ βŠ† 𝑙))
2019rabbidv 3440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘˜ β†’ {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑙} = {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑙})
2118, 20eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘˜ β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑙})
2221cbvmptv 5261 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) = (π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑙})
231, 2, 15, 22zartopn 33141 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ ran (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) = (Clsdβ€˜π½)))
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ ran (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) = (Clsdβ€˜π½)))
2524simpld 495 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(PrmIdealβ€˜π‘…)))
26 toponuni 22636 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ (PrmIdealβ€˜π‘…) = βˆͺ 𝐽)
2725, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ (PrmIdealβ€˜π‘…) = βˆͺ 𝐽)
2816, 27sseqtrd 4022 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
29 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
3029crngringd 20140 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇)
326unieqi 4921 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑀)
3331, 32eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ π‘š ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑀))
343adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝐽 ∈ Top)
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
3635restuni 22886 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑀 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑀))
3734, 28, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑀 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑀))
3833, 37eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ π‘š ∈ 𝑀)
3938, 4eleqtrdi 2843 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
40 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4140mxidlidl 32841 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ π‘š ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
4230, 39, 41syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ π‘š ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
43 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
4422, 43zarclssn 33139 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ({π‘š} = ((𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})β€˜π‘š) ↔ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)))
4544biimpar 478 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ {π‘š} = ((𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})β€˜π‘š))
4629, 42, 39, 45syl21anc 836 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ {π‘š} = ((𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})β€˜π‘š))
4722funmpt2 6587 . . . . . . . 8 Fun (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
48 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (PrmIdealβ€˜π‘…) ∈ V
4948rabex 5332 . . . . . . . . . 10 {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑙} ∈ V
5049, 22dmmpti 6694 . . . . . . . . 9 dom (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) = (LIdealβ€˜π‘…)
5142, 50eleqtrrdi 2844 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ π‘š ∈ dom (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
52 fvelrn 7078 . . . . . . . 8 ((Fun (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) ∧ π‘š ∈ dom (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})) β†’ ((𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})β€˜π‘š) ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
5347, 51, 52sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ ((𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})β€˜π‘š) ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
5446, 53eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ {π‘š} ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
5524simprd 496 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ ran (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) = (Clsdβ€˜π½))
5654, 55eleqtrd 2835 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ {π‘š} ∈ (Clsdβ€˜π½))
5738snssd 4812 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ {π‘š} βŠ† 𝑀)
5835restcldi 22897 . . . . 5 ((𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ {π‘š} ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ {π‘š} βŠ† 𝑀) β†’ {π‘š} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑀)))
5928, 56, 57, 58syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ {π‘š} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑀)))
606fveq2i 6894 . . . 4 (Clsdβ€˜π‘‡) = (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑀))
6159, 60eleqtrrdi 2844 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ {π‘š} ∈ (Clsdβ€˜π‘‡))
6261ralrimiva 3146 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ βˆ€π‘š ∈ βˆͺ 𝑇{π‘š} ∈ (Clsdβ€˜π‘‡))
63 eqid 2732 . . 3 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
6463ist1 23045 . 2 (𝑇 ∈ Fre ↔ (𝑇 ∈ Top ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆͺ 𝑇{π‘š} ∈ (Clsdβ€˜π‘‡)))
659, 62, 64sylanbrc 583 1 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑇 ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  LSSumclsm 19543  mulGrpcmgp 20028  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128  LIdealclidl 20928  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  Clsdccld 22740  Frect1 23031  PrmIdealcprmidl 32815  MaxIdealcmxidl 32837  Speccrspec 33128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-rpss 7715  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-dju 9898  df-card 9936  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-mre 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-rsp 20933  df-lpidl 21081  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-t1 23038  df-prmidl 32816  df-mxidl 32838  df-idlsrg 32877  df-rspec 33129
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator