Theorem zarmxt1 33863

Description: The Zariski topology restricted to maximal ideals is T₁ . (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zartop.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
zartop.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
zarmxt1.1	⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
zarmxt1.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
zarmxt1	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ Fre)

Proof of Theorem zarmxt1

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zartop.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
2		zartop.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
3	1, 2	zartop 33859	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽 ∈ Top)
4		zarmxt1.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
5	4	fvexi 6854	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ V
6		zarmxt1.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t 𝑀)
7		resttop 23080	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝑀) ∈ Top)
8	6, 7	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ V) → 𝑇 ∈ Top)
9	3, 5, 8	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ Top)
10		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
11	10	mxidlprm 33434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
12	11	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
13	12	ssrdv 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
16	14, 4, 15	3sstr4g 3997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑀 ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
17		sseq2 3970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑖 ⊆ 𝑙))
18	17	cbvrabv 3413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑙}
19		sseq1 3969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ⊆ 𝑙 ↔ 𝑘 ⊆ 𝑙))
20	19	rabbidv 3410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑙} = {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑙})
21	18, 20	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑙})
22	21	cbvmptv 5206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑙})
23	1, 2, 15, 22	zartopn 33858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐽 ∈ (TopOn‘(PrmIdeal‘𝑅)) ∧ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (Clsd‘𝐽)))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → (𝐽 ∈ (TopOn‘(PrmIdeal‘𝑅)) ∧ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (Clsd‘𝐽)))
25	24	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(PrmIdeal‘𝑅)))
26		toponuni 22834	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(PrmIdeal‘𝑅)) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∪ 𝐽)
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∪ 𝐽)
28	16, 27	sseqtrd 3980	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑀 ⊆ ∪ 𝐽)
29		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑅 ∈ CRing)
30	29	crngringd 20166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑅 ∈ Ring)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑚 ∈ ∪ 𝑇)
32	6	unieqi 4879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑀)
33	31, 32	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑚 ∈ ∪ (𝐽 ↾t 𝑀))
34	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝐽 ∈ Top)
35		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
36	35	restuni 23082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝑀 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑀))
37	34, 28, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑀 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑀))
38	33, 37	eleqtrrd 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑚 ∈ 𝑀)
39	38, 4	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
40		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
41	40	mxidlidl 33427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅))
42	30, 39, 41	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅))
43		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
44	22, 43	zarclssn 33856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ({𝑚} = ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})‘𝑚) ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))
45	44	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → {𝑚} = ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})‘𝑚))
46	29, 42, 39, 45	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → {𝑚} = ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})‘𝑚))
47	22	funmpt2 6539	. . . . . . . 8 ⊢ Fun (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
48		fvex 6853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
49	48	rabex 5289	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑙} ∈ V
50	49, 22	dmmpti 6644	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (LIdeal‘𝑅)
51	42, 50	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑚 ∈ dom (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
52		fvelrn 7030	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) ∧ 𝑚 ∈ dom (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})) → ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})‘𝑚) ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
53	47, 51, 52	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})‘𝑚) ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
54	46, 53	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → {𝑚} ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
55	24	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (Clsd‘𝐽))
56	54, 55	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → {𝑚} ∈ (Clsd‘𝐽))
57	38	snssd 4769	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → {𝑚} ⊆ 𝑀)
58	35	restcldi 23093	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ {𝑚} ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ {𝑚} ⊆ 𝑀) → {𝑚} ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝑀)))
59	28, 56, 57, 58	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → {𝑚} ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝑀)))
60	6	fveq2i 6843	. . . 4 ⊢ (Clsd‘𝑇) = (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝑀))
61	59, 60	eleqtrrdi 2839	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → {𝑚} ∈ (Clsd‘𝑇))
62	61	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∀𝑚 ∈ ∪ 𝑇{𝑚} ∈ (Clsd‘𝑇))
63		eqid 2729	. . 3 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
64	63	ist1 23241	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ Fre ↔ (𝑇 ∈ Top ∧ ∀𝑚 ∈ ∪ 𝑇{𝑚} ∈ (Clsd‘𝑇)))
65	9, 62, 64	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ Fre)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3402  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631  ran crn 5632  Fun wfun 6493  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ↾_t crest 17359  TopOpenctopn 17360  LSSumclsm 19548  mulGrpcmgp 20060  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154  LIdealclidl 21148  Topctop 22813  TopOnctopon 22830  Clsdccld 22936  Frect1 23227  PrmIdealcprmidl 33399  MaxIdealcmxidl 33423  Speccrspec 33845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-ac2 10392  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-rpss 7679  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-dju 9830  df-card 9868  df-ac 10045  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-topgen 17382  df-mre 17523  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-subrg 20490  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-lidl 21150  df-rsp 21151  df-lpidl 21264  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22866  df-cld 22939  df-t1 23234  df-prmidl 33400  df-mxidl 33424  df-idlsrg 33465  df-rspec 33846

This theorem is referenced by: (None)