Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarmxt1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem zarmxt1 32855
Description: The Zariski topology restricted to maximal ideals is T1 . (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zartop.1 𝑆 = (Specβ€˜π‘…)
zartop.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
zarmxt1.1 𝑀 = (MaxIdealβ€˜π‘…)
zarmxt1.2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt 𝑀)
Assertion
Ref Expression
zarmxt1 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑇 ∈ Fre)
Proof of Theorem zarmxt1
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑙 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zartop.1 . . . 4 𝑆 = (Specβ€˜π‘…)
2 zartop.2 . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
31, 2zartop 32851 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 zarmxt1.1 . . . 4 𝑀 = (MaxIdealβ€˜π‘…)
54fvexi 6905 . . 3 𝑀 ∈ V
6 zarmxt1.2 . . . 4 𝑇 = (𝐽 β†Ύt 𝑀)
7 resttop 22663 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑀) ∈ Top)
86, 7eqeltrid 2837 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ V) β†’ 𝑇 ∈ Top)
93, 5, 8sylancl 586 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑇 ∈ Top)
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
1110mxidlprm 32581 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ π‘š ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
1211ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ (π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) β†’ π‘š ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)))
1312ssrdv 3988 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ (MaxIdealβ€˜π‘…) βŠ† (PrmIdealβ€˜π‘…))
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ (MaxIdealβ€˜π‘…) βŠ† (PrmIdealβ€˜π‘…))
15 eqid 2732 . . . . . . 7 (PrmIdealβ€˜π‘…) = (PrmIdealβ€˜π‘…)
1614, 4, 153sstr4g 4027 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑀 βŠ† (PrmIdealβ€˜π‘…))
17 sseq2 4008 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑙 β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ↔ 𝑖 βŠ† 𝑙))
1817cbvrabv 3442 . . . . . . . . . . . 12 {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑙}
19 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖 βŠ† 𝑙 ↔ π‘˜ βŠ† 𝑙))
2019rabbidv 3440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘˜ β†’ {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑙} = {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑙})
2118, 20eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘˜ β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑙})
2221cbvmptv 5261 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) = (π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑙})
231, 2, 15, 22zartopn 32850 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ ran (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) = (Clsdβ€˜π½)))
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ ran (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) = (Clsdβ€˜π½)))
2524simpld 495 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(PrmIdealβ€˜π‘…)))
26 toponuni 22415 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ (PrmIdealβ€˜π‘…) = βˆͺ 𝐽)
2725, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ (PrmIdealβ€˜π‘…) = βˆͺ 𝐽)
2816, 27sseqtrd 4022 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
29 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
3029crngringd 20068 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇)
326unieqi 4921 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑀)
3331, 32eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ π‘š ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑀))
343adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝐽 ∈ Top)
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
3635restuni 22665 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝑀 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑀))
3734, 28, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑀 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑀))
3833, 37eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ π‘š ∈ 𝑀)
3938, 4eleqtrdi 2843 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
40 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4140mxidlidl 32574 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ π‘š ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
4230, 39, 41syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ π‘š ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
43 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
4422, 43zarclssn 32848 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ({π‘š} = ((𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})β€˜π‘š) ↔ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)))
4544biimpar 478 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ {π‘š} = ((𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})β€˜π‘š))
4629, 42, 39, 45syl21anc 836 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ {π‘š} = ((𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})β€˜π‘š))
4722funmpt2 6587 . . . . . . . 8 Fun (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
48 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (PrmIdealβ€˜π‘…) ∈ V
4948rabex 5332 . . . . . . . . . 10 {𝑙 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ π‘˜ βŠ† 𝑙} ∈ V
5049, 22dmmpti 6694 . . . . . . . . 9 dom (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) = (LIdealβ€˜π‘…)
5142, 50eleqtrrdi 2844 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ π‘š ∈ dom (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
52 fvelrn 7078 . . . . . . . 8 ((Fun (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) ∧ π‘š ∈ dom (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})) β†’ ((𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})β€˜π‘š) ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
5347, 51, 52sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ ((𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})β€˜π‘š) ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
5446, 53eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ {π‘š} ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
5524simprd 496 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ ran (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) = (Clsdβ€˜π½))
5654, 55eleqtrd 2835 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ {π‘š} ∈ (Clsdβ€˜π½))
5738snssd 4812 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ {π‘š} βŠ† 𝑀)
5835restcldi 22676 . . . . 5 ((𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ {π‘š} ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ {π‘š} βŠ† 𝑀) β†’ {π‘š} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑀)))
5928, 56, 57, 58syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ {π‘š} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑀)))
606fveq2i 6894 . . . 4 (Clsdβ€˜π‘‡) = (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑀))
6159, 60eleqtrrdi 2844 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ {π‘š} ∈ (Clsdβ€˜π‘‡))
6261ralrimiva 3146 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ βˆ€π‘š ∈ βˆͺ 𝑇{π‘š} ∈ (Clsdβ€˜π‘‡))
63 eqid 2732 . . 3 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
6463ist1 22824 . 2 (𝑇 ∈ Fre ↔ (𝑇 ∈ Top ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆͺ 𝑇{π‘š} ∈ (Clsdβ€˜π‘‡)))
659, 62, 64sylanbrc 583 1 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑇 ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  LSSumclsm 19501  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056  LIdealclidl 20782  Topctop 22394  TopOnctopon 22411  Clsdccld 22519  Frect1 22810  PrmIdealcprmidl 32548  MaxIdealcmxidl 32570  Speccrspec 32837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-rpss 7712  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-dju 9895  df-card 9933  df-ac 10110  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mre 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-lpidl 20880  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cld 22522  df-t1 22817  df-prmidl 32549  df-mxidl 32571  df-idlsrg 32610  df-rspec 32838
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator