Theorem zarmxt1 31336

Description: The Zariski topology restricted to maximal ideals is T₁ . (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zartop.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
zartop.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
zarmxt1.1	⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
zarmxt1.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
zarmxt1	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ Fre)

Proof of Theorem zarmxt1

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zartop.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
2		zartop.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑆)
3	1, 2	zartop 31332	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽 ∈ Top)
4		zarmxt1.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
5	4	fvexi 6665	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ V
6		zarmxt1.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t 𝑀)
7		resttop 21845	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝑀) ∈ Top)
8	6, 7	eqeltrid 2855	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ V) → 𝑇 ∈ Top)
9	3, 5, 8	sylancl 590	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ Top)
10		eqid 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
11	10	mxidlprm 31146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
12	11	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
13	12	ssrdv 3894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
14	13	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
15		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
16	14, 4, 15	3sstr4g 3933	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑀 ⊆ (PrmIdeal‘𝑅))
17		sseq2 3914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝑖 ⊆ 𝑙))
18	17	cbvrabv 3402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑙}
19		sseq1 3913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ⊆ 𝑙 ↔ 𝑘 ⊆ 𝑙))
20	19	rabbidv 3390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑙} = {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑙})
21	18, 20	syl5eq 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑙})
22	21	cbvmptv 5128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑙})
23	1, 2, 15, 22	zartopn 31331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐽 ∈ (TopOn‘(PrmIdeal‘𝑅)) ∧ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (Clsd‘𝐽)))
24	23	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → (𝐽 ∈ (TopOn‘(PrmIdeal‘𝑅)) ∧ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (Clsd‘𝐽)))
25	24	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(PrmIdeal‘𝑅)))
26		toponuni 21599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(PrmIdeal‘𝑅)) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∪ 𝐽)
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∪ 𝐽)
28	16, 27	sseqtrd 3928	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑀 ⊆ ∪ 𝐽)
29		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑅 ∈ CRing)
30	29	crngringd 19363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑅 ∈ Ring)
31		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑚 ∈ ∪ 𝑇)
32	6	unieqi 4804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑀)
33	31, 32	eleqtrdi 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑚 ∈ ∪ (𝐽 ↾t 𝑀))
34	3	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝐽 ∈ Top)
35		eqid 2759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
36	35	restuni 21847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ⊆ ∪ 𝐽) → 𝑀 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑀))
37	34, 28, 36	syl2anc 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑀 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑀))
38	33, 37	eleqtrrd 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑚 ∈ 𝑀)
39	38, 4	eleqtrdi 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
40		eqid 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
41	40	mxidlidl 31141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅))
42	30, 39, 41	syl2anc 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅))
43		eqid 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
44	22, 43	zarclssn 31329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ({𝑚} = ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})‘𝑚) ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))
45	44	biimpar 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → {𝑚} = ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})‘𝑚))
46	29, 42, 39, 45	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → {𝑚} = ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})‘𝑚))
47	22	funmpt2 6367	. . . . . . . 8 ⊢ Fun (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
48		fvex 6664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
49	48	rabex 5195	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑙 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑘 ⊆ 𝑙} ∈ V
50	49, 22	dmmpti 6468	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (LIdeal‘𝑅)
51	42, 50	eleqtrrdi 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑚 ∈ dom (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
52		fvelrn 6828	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) ∧ 𝑚 ∈ dom (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})) → ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})‘𝑚) ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
53	47, 51, 52	sylancr 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → ((𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})‘𝑚) ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
54	46, 53	eqeltrd 2851	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → {𝑚} ∈ ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
55	24	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → ran (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}) = (Clsd‘𝐽))
56	54, 55	eleqtrd 2853	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → {𝑚} ∈ (Clsd‘𝐽))
57	38	snssd 4692	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → {𝑚} ⊆ 𝑀)
58	35	restcldi 21858	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ {𝑚} ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ {𝑚} ⊆ 𝑀) → {𝑚} ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝑀)))
59	28, 56, 57, 58	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → {𝑚} ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝑀)))
60	6	fveq2i 6654	. . . 4 ⊢ (Clsd‘𝑇) = (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝑀))
61	59, 60	eleqtrrdi 2862	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ ∪ 𝑇) → {𝑚} ∈ (Clsd‘𝑇))
62	61	ralrimiva 3111	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ∀𝑚 ∈ ∪ 𝑇{𝑚} ∈ (Clsd‘𝑇))
63		eqid 2759	. . 3 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
64	63	ist1 22006	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ Fre ↔ (𝑇 ∈ Top ∧ ∀𝑚 ∈ ∪ 𝑇{𝑚} ∈ (Clsd‘𝑇)))
65	9, 62, 64	sylanbrc 587	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ Fre)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3068  {crab 3072  Vcvv 3407   ⊆ wss 3854  {csn 4515  ∪ cuni 4791   ↦ cmpt 5105  dom cdm 5517  ran crn 5518  Fun wfun 6322  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  Basecbs 16526   ↾_t crest 16737  TopOpenctopn 16738  LSSumclsm 18811  mulGrpcmgp 19292  Ringcrg 19350  CRingccrg 19351  LIdealclidl 19995  Topctop 21578  TopOnctopon 21595  Clsdccld 21701  Frect1 21992  PrmIdealcprmidl 31116  MaxIdealcmxidl 31137  Speccrspec 31318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-ac2 9908  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-iin 4879  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-se 5477  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-rpss 7440  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-fi 8893  df-dju 9348  df-card 9386  df-ac 9561  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-fz 12925  df-struct 16528  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-ip 16626  df-tset 16627  df-ple 16628  df-rest 16739  df-topn 16740  df-0g 16758  df-topgen 16760  df-mre 16900  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-submnd 18008  df-grp 18157  df-minusg 18158  df-sbg 18159  df-subg 18328  df-cntz 18499  df-lsm 18813  df-cmn 18960  df-abl 18961  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ring 19352  df-cring 19353  df-subrg 19586  df-lmod 19689  df-lss 19757  df-lsp 19797  df-sra 19997  df-rgmod 19998  df-lidl 19999  df-rsp 20000  df-lpidl 20069  df-top 21579  df-topon 21596  df-bases 21631  df-cld 21704  df-t1 21999  df-prmidl 31117  df-mxidl 31138  df-idlsrg 31152  df-rspec 31319

This theorem is referenced by: (None)