Theorem mxidlprmALT 33804

Description: Every maximal ideal is prime - alternative proof. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mxidlprmALT.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mxidlprmALT.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
mxidlprmALT	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem mxidlprmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mxidlprmALT.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
3		mxidlprmALT.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	crngringd 20351	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	5	mxidlnzr 33773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
7	4, 1, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
8	5	mxidlidl 33769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
9	4, 1, 8	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10	2, 3, 7, 9	qsfld 33803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ Field ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))
11	1, 10	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ Field)
12		fldidom 20904	. . 3 ⊢ ((𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ Field → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ IDomn)
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ IDomn)
14	2	qsidom 21511	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ IDomn ↔ 𝑀 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
15	3, 9, 14	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ IDomn ↔ 𝑀 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
16	13, 15	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286   /_s cqus 17576   ~_QG cqg 19211  Ringcrg 20338  CRingccrg 20339  NzRingcnzr 20638  IDomncidom 20821  Fieldcfield 20857  LIdealclidl 21359  PrmIdealcprmidl 21489  MaxIdealcmxidl 33765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-hash 14380  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-hom 17351  df-cco 17352  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-prds 17517  df-pws 17519  df-imas 17579  df-qus 17580  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-nsg 19213  df-eqg 19214  df-ghm 19307  df-cntz 19410  df-oppg 19439  df-lsm 19729  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-cring 20341  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-nzr 20639  df-subrg 20698  df-rlreg 20822  df-domn 20823  df-idom 20824  df-drng 20858  df-field 20859  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-lmhm 21172  df-lbs 21225  df-sra 21323  df-rgmod 21324  df-lidl 21361  df-rsp 21362  df-2idl 21418  df-prmidl 21490  df-dsmm 21911  df-frlm 21926  df-uvc 21962  df-mxidl 33766

This theorem is used by: (None)