Theorem mxidlprmALT 33205

Description: Every maximal ideal is prime - alternative proof. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mxidlprmALT.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mxidlprmALT.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
mxidlprmALT	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem mxidlprmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mxidlprmALT.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
2		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
3		mxidlprmALT.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	crngringd 20180	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	5	mxidlnzr 33175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
7	4, 1, 6	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
8	5	mxidlidl 33171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
9	4, 1, 8	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10	2, 3, 7, 9	qsfld 33204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ Field ↔ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))
11	1, 10	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ Field)
12		fldidom 21252	. . 3 ⊢ ((𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ Field → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ IDomn)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ IDomn)
14	2	qsidom 33165	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ IDomn ↔ 𝑀 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
15	3, 9, 14	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)) ∈ IDomn ↔ 𝑀 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
16	13, 15	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174   /_s cqus 17481   ~_QG cqg 19071  Ringcrg 20167  CRingccrg 20168  NzRingcnzr 20445  Fieldcfield 20619  LIdealclidl 21096  IDomncidom 21222  PrmIdealcprmidl 33146  MaxIdealcmxidl 33167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-tpos 8226  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-map 8841  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-imas 17484  df-qus 17485  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-mulg 19018  df-subg 19072  df-nsg 19073  df-eqg 19074  df-ghm 19162  df-cntz 19262  df-oppg 19291  df-lsm 19585  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-cring 20170  df-oppr 20267  df-dvdsr 20290  df-unit 20291  df-invr 20321  df-nzr 20446  df-subrg 20502  df-drng 20620  df-field 20621  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lsp 20850  df-lmhm 20901  df-lbs 20954  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-lidl 21098  df-rsp 21099  df-2idl 21138  df-rlreg 21224  df-domn 21225  df-idom 21226  df-dsmm 21660  df-frlm 21675  df-uvc 21711  df-prmidl 33147  df-mxidl 33168

This theorem is referenced by: (None)