Theorem drngmxidl 33035

Description: The zero ideal is the only ideal of a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
drngmxidl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngmxidl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})

Proof of Theorem drngmxidl

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20590	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	mxidlidl 33021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4	3	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
5	4	ssrdv 3988	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
7		drngmxidl.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9	2, 7, 8	drngnidl 21097	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
10	6, 9	sseqtrd 4022	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
11	2	mxidlnr 33022	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ (Base‘𝑅))
12	1, 11	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ (Base‘𝑅))
13	12	nelrdva 3701	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ¬ (Base‘𝑅) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
14		ssdifsn 4791	. . . 4 ⊢ ((MaxIdeal‘𝑅) ⊆ ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) ↔ ((MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∧ ¬ (Base‘𝑅) ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))
15	10, 13, 14	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}))
16		drngnzr 20603	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
17	7, 2	drnglidl1ne0 33033	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Base‘𝑅) ≠ { 0 })
18	17	necomd 2995	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
19		difprsn2 4804	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ≠ (Base‘𝑅) → ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) = {{ 0 }})
20	16, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) = {{ 0 }})
21	15, 20	sseqtrd 4022	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }})
22	7	drng0mxidl 33034	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
23	22	snssd 4812	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {{ 0 }} ⊆ (MaxIdeal‘𝑅))
24	21, 23	eqssd 3999	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  ‘cfv 6543  Basecbs 17151  0_gc0g 17392  Ringcrg 20134  NzRingcnzr 20410  DivRingcdr 20583  LIdealclidl 21061  MaxIdealcmxidl 33017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-nzr 20411  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-lidl 21063  df-mxidl 33018

This theorem is referenced by: (None)