Theorem drngmxidl 33882

Description: The zero ideal is the only ideal of a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
drngmxidl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngmxidl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})

Proof of Theorem drngmxidl

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20900	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	mxidlidl 33869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4	3	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
5	4	ssrdv 3937	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
6	1, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
7		drngmxidl.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9	2, 7, 8	drngnidl 21443	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
10	6, 9	sseqtrd 3967	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
11	2	mxidlnr 33870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ (Base‘𝑅))
12	1, 11	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ (Base‘𝑅))
13	12	nelrdva 3663	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ¬ (Base‘𝑅) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
14		ssdifsn 4751	. . . 4 ⊢ ((MaxIdeal‘𝑅) ⊆ ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) ↔ ((MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∧ ¬ (Base‘𝑅) ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))
15	10, 13, 14	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}))
16		drngnzr 20914	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
17	7, 2	drnglidl1ne0 20682	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Base‘𝑅) ≠ { 0 })
18	17	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
19		difprsn2 4764	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ≠ (Base‘𝑅) → ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) = {{ 0 }})
20	16, 18, 19	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) = {{ 0 }})
21	15, 20	sseqtrd 3967	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }})
22	7	drng0mxidl 33881	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
23	22	snssd 4747	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {{ 0 }} ⊆ (MaxIdeal‘𝑅))
24	21, 23	eqssd 3948	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6533  Basecbs 17304  0_gc0g 17527  Ringcrg 20375  NzRingcnzr 20675  DivRingcdr 20893  LIdealclidl 21396  MaxIdealcmxidl 33865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-nzr 20676  df-subrg 20735  df-drng 20895  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-lidl 21398  df-mxidl 33866

This theorem is used by:  fldlring  33912