Theorem drngmxidl 33454

Description: The zero ideal is the only ideal of a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
drngmxidl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngmxidl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})

Proof of Theorem drngmxidl

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20651	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	mxidlidl 33440	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4	3	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
5	4	ssrdv 3954	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
7		drngmxidl.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9	2, 7, 8	drngnidl 21159	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
10	6, 9	sseqtrd 3985	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
11	2	mxidlnr 33441	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ (Base‘𝑅))
12	1, 11	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ (Base‘𝑅))
13	12	nelrdva 3678	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ¬ (Base‘𝑅) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
14		ssdifsn 4754	. . . 4 ⊢ ((MaxIdeal‘𝑅) ⊆ ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) ↔ ((MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∧ ¬ (Base‘𝑅) ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))
15	10, 13, 14	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}))
16		drngnzr 20663	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
17	7, 2	drnglidl1ne0 33452	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Base‘𝑅) ≠ { 0 })
18	17	necomd 2981	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
19		difprsn2 4767	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ≠ (Base‘𝑅) → ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) = {{ 0 }})
20	16, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) = {{ 0 }})
21	15, 20	sseqtrd 3985	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }})
22	7	drng0mxidl 33453	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
23	22	snssd 4775	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {{ 0 }} ⊆ (MaxIdeal‘𝑅))
24	21, 23	eqssd 3966	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3913   ⊆ wss 3916  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6513  Basecbs 17185  0_gc0g 17408  Ringcrg 20148  NzRingcnzr 20427  DivRingcdr 20644  LIdealclidl 21122  MaxIdealcmxidl 33436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-subg 19061  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-nzr 20428  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-sra 21086  df-rgmod 21087  df-lidl 21124  df-mxidl 33437

This theorem is referenced by: (None)