Theorem drngmxidl 33410

Description: The zero ideal is the only ideal of a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
drngmxidl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngmxidl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})

Proof of Theorem drngmxidl

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20605	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	mxidlidl 33396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4	3	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
5	4	ssrdv 3937	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
7		drngmxidl.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9	2, 7, 8	drngnidl 21134	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
10	6, 9	sseqtrd 3968	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
11	2	mxidlnr 33397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ (Base‘𝑅))
12	1, 11	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ (Base‘𝑅))
13	12	nelrdva 3661	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ¬ (Base‘𝑅) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
14		ssdifsn 4737	. . . 4 ⊢ ((MaxIdeal‘𝑅) ⊆ ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) ↔ ((MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∧ ¬ (Base‘𝑅) ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))
15	10, 13, 14	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}))
16		drngnzr 20617	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
17	7, 2	drnglidl1ne0 33408	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Base‘𝑅) ≠ { 0 })
18	17	necomd 2980	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
19		difprsn2 4750	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ≠ (Base‘𝑅) → ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) = {{ 0 }})
20	16, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) = {{ 0 }})
21	15, 20	sseqtrd 3968	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }})
22	7	drng0mxidl 33409	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
23	22	snssd 4758	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {{ 0 }} ⊆ (MaxIdeal‘𝑅))
24	21, 23	eqssd 3949	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4573  {cpr 4575  ‘cfv 6476  Basecbs 17107  0_gc0g 17330  Ringcrg 20105  NzRingcnzr 20381  DivRingcdr 20598  LIdealclidl 21097  MaxIdealcmxidl 33392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-tpos 8150  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-0g 17332  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-sbg 18804  df-subg 18989  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-rng 20025  df-ur 20054  df-ring 20107  df-oppr 20209  df-dvdsr 20229  df-unit 20230  df-invr 20260  df-nzr 20382  df-subrg 20439  df-drng 20600  df-lmod 20749  df-lss 20819  df-sra 21061  df-rgmod 21062  df-lidl 21099  df-mxidl 33393

This theorem is referenced by: (None)