Theorem drngmxidl 33448

Description: The zero ideal is the only ideal of a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
drngmxidl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngmxidl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})

Proof of Theorem drngmxidl

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20734	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	mxidlidl 33434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4	3	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
5	4	ssrdv 4001	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ (LIdeal‘𝑅))
7		drngmxidl.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9	2, 7, 8	drngnidl 21252	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑅) = {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
10	6, 9	sseqtrd 4036	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, (Base‘𝑅)})
11	2	mxidlnr 33435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ (Base‘𝑅))
12	1, 11	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ≠ (Base‘𝑅))
13	12	nelrdva 3714	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ¬ (Base‘𝑅) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
14		ssdifsn 4795	. . . 4 ⊢ ((MaxIdeal‘𝑅) ⊆ ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) ↔ ((MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∧ ¬ (Base‘𝑅) ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))
15	10, 13, 14	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}))
16		drngnzr 20746	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
17	7, 2	drnglidl1ne0 33446	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Base‘𝑅) ≠ { 0 })
18	17	necomd 2992	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ≠ (Base‘𝑅))
19		difprsn2 4808	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ≠ (Base‘𝑅) → ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) = {{ 0 }})
20	16, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ({{ 0 }, (Base‘𝑅)} ∖ {(Base‘𝑅)}) = {{ 0 }})
21	15, 20	sseqtrd 4036	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) ⊆ {{ 0 }})
22	7	drng0mxidl 33447	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → { 0 } ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
23	22	snssd 4816	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → {{ 0 }} ⊆ (MaxIdeal‘𝑅))
24	21, 23	eqssd 4013	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (MaxIdeal‘𝑅) = {{ 0 }})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1535   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2936   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  {csn 4630  {cpr 4632  ‘cfv 6558  Basecbs 17234  0_gc0g 17475  Ringcrg 20236  NzRingcnzr 20514  DivRingcdr 20727  LIdealclidl 21215  MaxIdealcmxidl 33430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-tpos 8244  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-0g 17477  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-sbg 18954  df-subg 19139  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20156  df-ur 20185  df-ring 20238  df-oppr 20336  df-dvdsr 20359  df-unit 20360  df-invr 20390  df-nzr 20515  df-subrg 20573  df-drng 20729  df-lmod 20858  df-lss 20929  df-sra 21171  df-rgmod 21172  df-lidl 21217  df-mxidl 33431

This theorem is referenced by: (None)