Theorem nacsacs 42006

Description: A closure system of Noetherian type is algebraic. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nacsacs	⊢ (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))

Proof of Theorem nacsacs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . 3 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
2	1	isnacs2 42003	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ((mrCls‘𝐶) “ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) = 𝐶))
3	2	simplbi 497	1 ⊢ (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942  𝒫 cpw 4597   “ cima 5672  ‘cfv 6536  Fincfn 8938  mrClscmrc 17534  ACScacs 17536  NoeACScnacs 41999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-nacs 42000

This theorem is referenced by:  isnacs3  42007