Theorem nacsacs 43155

Description: A closure system of Noetherian type is algebraic. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nacsacs	⊢ (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))

Proof of Theorem nacsacs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
2	1	isnacs2 43152	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ((mrCls‘𝐶) “ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) = 𝐶))
3	2	simplbi 496	1 ⊢ (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889  𝒫 cpw 4542   “ cima 5627  ‘cfv 6492  Fincfn 8886  mrClscmrc 17536  ACScacs 17538  NoeACScnacs 43148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-nacs 43149

This theorem is referenced by:  isnacs3  43156