Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nacsacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nacsacs 42132
Description: A closure system of Noetherian type is algebraic. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
nacsacs (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))

Proof of Theorem nacsacs
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . 3 (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
21isnacs2 42129 . 2 (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ((mrCls‘𝐶) “ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) = 𝐶))
32simplbi 496 1 (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3946  𝒫 cpw 4604  cima 5683  cfv 6551  Fincfn 8968  mrClscmrc 17568  ACScacs 17570  NoeACScnacs 42125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-fv 6559  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-nacs 42126
This theorem is referenced by:  isnacs3  42133
  Copyright terms: Public domain W3C validator