Theorem nacsacs 43325

Description: A closure system of Noetherian type is algebraic. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nacsacs	⊢ (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))

Proof of Theorem nacsacs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
2	1	isnacs2 43322	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ((mrCls‘𝐶) “ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) = 𝐶))
3	2	simplbi 501	1 ⊢ (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912  𝒫 cpw 4564   “ cima 5662  ‘cfv 6533  Fincfn 8939  mrClscmrc 17631  ACScacs 17633  NoeACScnacs 43318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-nacs 43319

This theorem is referenced by:  isnacs3  43326