Theorem nacsacs 42690

Description: A closure system of Noetherian type is algebraic. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nacsacs	⊢ (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))

Proof of Theorem nacsacs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
2	1	isnacs2 42687	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ((mrCls‘𝐶) “ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) = 𝐶))
3	2	simplbi 497	1 ⊢ (𝐶 ∈ (NoeACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3915  𝒫 cpw 4565   “ cima 5643  ‘cfv 6513  Fincfn 8920  mrClscmrc 17550  ACScacs 17552  NoeACScnacs 42683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-fv 6521  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-nacs 42684

This theorem is referenced by:  isnacs3  42691