HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocval 31089
Description: Value of orthogonal complement of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocval (๐ป โІ โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ป

Proof of Theorem ocval
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 30808 . . 3 โ„‹ โˆˆ V
21elpw2 5347 . 2 (๐ป โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โ†” ๐ป โІ โ„‹)
3 raleq 3319 . . . 4 (๐‘ง = ๐ป โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0 โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0))
43rabbidv 3437 . . 3 (๐‘ง = ๐ป โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
5 df-oc 31061 . . 3 โŠฅ = (๐‘ง โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
61rabex 5334 . . 3 {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0} โˆˆ V
74, 5, 6fvmpt 7005 . 2 (๐ป โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
82, 7sylbir 234 1 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058  {crab 3429   โІ wss 3947  ๐’ซ cpw 4603  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11138   โ„‹chba 30728   ยทih csp 30731  โŠฅcort 30739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-hilex 30808
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-oc 31061
This theorem is referenced by:  ocel  31090  ocsh  31092  occon  31096  chocvali  31108
  Copyright terms: Public domain W3C validator