![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > ocval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of orthogonal complement of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
ocval | โข (๐ป โ โ โ (โฅโ๐ป) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-hilex 30746 | . . 3 โข โ โ V | |
2 | 1 | elpw2 5336 | . 2 โข (๐ป โ ๐ซ โ โ ๐ป โ โ) |
3 | raleq 3314 | . . . 4 โข (๐ง = ๐ป โ (โ๐ฆ โ ๐ง (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0 โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0)) | |
4 | 3 | rabbidv 3432 | . . 3 โข (๐ง = ๐ป โ {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ง (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0} = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
5 | df-oc 30999 | . . 3 โข โฅ = (๐ง โ ๐ซ โ โฆ {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ง (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) | |
6 | 1 | rabex 5323 | . . 3 โข {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0} โ V |
7 | 4, 5, 6 | fvmpt 6989 | . 2 โข (๐ป โ ๐ซ โ โ (โฅโ๐ป) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
8 | 2, 7 | sylbir 234 | 1 โข (๐ป โ โ โ (โฅโ๐ป) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3053 {crab 3424 โ wss 3941 ๐ซ cpw 4595 โcfv 6534 (class class class)co 7402 0cc0 11107 โchba 30666 ยทih csp 30669 โฅcort 30677 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pr 5418 ax-hilex 30746 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rab 3425 df-v 3468 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-id 5565 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fv 6542 df-oc 30999 |
This theorem is referenced by: ocel 31028 ocsh 31030 occon 31034 chocvali 31046 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |