HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocval 31027
Description: Value of orthogonal complement of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocval (๐ป โІ โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ป

Proof of Theorem ocval
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 30746 . . 3 โ„‹ โˆˆ V
21elpw2 5336 . 2 (๐ป โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โ†” ๐ป โІ โ„‹)
3 raleq 3314 . . . 4 (๐‘ง = ๐ป โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0 โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0))
43rabbidv 3432 . . 3 (๐‘ง = ๐ป โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
5 df-oc 30999 . . 3 โŠฅ = (๐‘ง โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
61rabex 5323 . . 3 {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0} โˆˆ V
74, 5, 6fvmpt 6989 . 2 (๐ป โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
82, 7sylbir 234 1 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  {crab 3424   โІ wss 3941  ๐’ซ cpw 4595  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107   โ„‹chba 30666   ยทih csp 30669  โŠฅcort 30677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-hilex 30746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-oc 30999
This theorem is referenced by:  ocel  31028  ocsh  31030  occon  31034  chocvali  31046
  Copyright terms: Public domain W3C validator