HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocval 30264
Description: Value of orthogonal complement of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocval (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ป

Proof of Theorem ocval
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 29983 . . 3 โ„‹ โˆˆ V
21elpw2 5307 . 2 (๐ป โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โ†” ๐ป โŠ† โ„‹)
3 raleq 3312 . . . 4 (๐‘ง = ๐ป โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0 โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0))
43rabbidv 3418 . . 3 (๐‘ง = ๐ป โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
5 df-oc 30236 . . 3 โŠฅ = (๐‘ง โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
61rabex 5294 . . 3 {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0} โˆˆ V
74, 5, 6fvmpt 6953 . 2 (๐ป โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
82, 7sylbir 234 1 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  {crab 3410   โŠ† wss 3915  ๐’ซ cpw 4565  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058   โ„‹chba 29903   ยทih csp 29906  โŠฅcort 29914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-hilex 29983
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-oc 30236
This theorem is referenced by:  ocel  30265  ocsh  30267  occon  30271  chocvali  30283
  Copyright terms: Public domain W3C validator