![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > ocval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of orthogonal complement of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
ocval | โข (๐ป โ โ โ (โฅโ๐ป) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-hilex 30808 | . . 3 โข โ โ V | |
2 | 1 | elpw2 5347 | . 2 โข (๐ป โ ๐ซ โ โ ๐ป โ โ) |
3 | raleq 3319 | . . . 4 โข (๐ง = ๐ป โ (โ๐ฆ โ ๐ง (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0 โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0)) | |
4 | 3 | rabbidv 3437 | . . 3 โข (๐ง = ๐ป โ {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ง (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0} = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
5 | df-oc 31061 | . . 3 โข โฅ = (๐ง โ ๐ซ โ โฆ {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ง (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) | |
6 | 1 | rabex 5334 | . . 3 โข {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0} โ V |
7 | 4, 5, 6 | fvmpt 7005 | . 2 โข (๐ป โ ๐ซ โ โ (โฅโ๐ป) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
8 | 2, 7 | sylbir 234 | 1 โข (๐ป โ โ โ (โฅโ๐ป) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1534 โ wcel 2099 โwral 3058 {crab 3429 โ wss 3947 ๐ซ cpw 4603 โcfv 6548 (class class class)co 7420 0cc0 11138 โchba 30728 ยทih csp 30731 โฅcort 30739 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5429 ax-hilex 30808 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rab 3430 df-v 3473 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5576 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fv 6556 df-oc 31061 |
This theorem is referenced by: ocel 31090 ocsh 31092 occon 31096 chocvali 31108 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |