![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > ocval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of orthogonal complement of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
ocval | โข (๐ป โ โ โ (โฅโ๐ป) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-hilex 30239 | . . 3 โข โ โ V | |
2 | 1 | elpw2 5344 | . 2 โข (๐ป โ ๐ซ โ โ ๐ป โ โ) |
3 | raleq 3322 | . . . 4 โข (๐ง = ๐ป โ (โ๐ฆ โ ๐ง (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0 โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0)) | |
4 | 3 | rabbidv 3440 | . . 3 โข (๐ง = ๐ป โ {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ง (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0} = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
5 | df-oc 30492 | . . 3 โข โฅ = (๐ง โ ๐ซ โ โฆ {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ง (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) | |
6 | 1 | rabex 5331 | . . 3 โข {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0} โ V |
7 | 4, 5, 6 | fvmpt 6995 | . 2 โข (๐ป โ ๐ซ โ โ (โฅโ๐ป) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
8 | 2, 7 | sylbir 234 | 1 โข (๐ป โ โ โ (โฅโ๐ป) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1541 โ wcel 2106 โwral 3061 {crab 3432 โ wss 3947 ๐ซ cpw 4601 โcfv 6540 (class class class)co 7405 0cc0 11106 โchba 30159 ยทih csp 30162 โฅcort 30170 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pr 5426 ax-hilex 30239 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3433 df-v 3476 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fv 6548 df-oc 30492 |
This theorem is referenced by: ocel 30521 ocsh 30523 occon 30527 chocvali 30539 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |