![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > ocval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of orthogonal complement of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
ocval | โข (๐ป โ โ โ (โฅโ๐ป) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-hilex 29983 | . . 3 โข โ โ V | |
2 | 1 | elpw2 5307 | . 2 โข (๐ป โ ๐ซ โ โ ๐ป โ โ) |
3 | raleq 3312 | . . . 4 โข (๐ง = ๐ป โ (โ๐ฆ โ ๐ง (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0 โ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0)) | |
4 | 3 | rabbidv 3418 | . . 3 โข (๐ง = ๐ป โ {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ง (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0} = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
5 | df-oc 30236 | . . 3 โข โฅ = (๐ง โ ๐ซ โ โฆ {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ง (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) | |
6 | 1 | rabex 5294 | . . 3 โข {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0} โ V |
7 | 4, 5, 6 | fvmpt 6953 | . 2 โข (๐ป โ ๐ซ โ โ (โฅโ๐ป) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
8 | 2, 7 | sylbir 234 | 1 โข (๐ป โ โ โ (โฅโ๐ป) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ป (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwral 3065 {crab 3410 โ wss 3915 ๐ซ cpw 4565 โcfv 6501 (class class class)co 7362 0cc0 11058 โchba 29903 ยทih csp 29906 โฅcort 29914 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pr 5389 ax-hilex 29983 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rab 3411 df-v 3450 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-id 5536 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fv 6509 df-oc 30236 |
This theorem is referenced by: ocel 30265 ocsh 30267 occon 30271 chocvali 30283 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |