HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocval 30520
Description: Value of orthogonal complement of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocval (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ป

Proof of Theorem ocval
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 30239 . . 3 โ„‹ โˆˆ V
21elpw2 5344 . 2 (๐ป โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โ†” ๐ป โŠ† โ„‹)
3 raleq 3322 . . . 4 (๐‘ง = ๐ป โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0 โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0))
43rabbidv 3440 . . 3 (๐‘ง = ๐ป โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
5 df-oc 30492 . . 3 โŠฅ = (๐‘ง โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ง (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
61rabex 5331 . . 3 {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0} โˆˆ V
74, 5, 6fvmpt 6995 . 2 (๐ป โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
82, 7sylbir 234 1 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ป) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  {crab 3432   โŠ† wss 3947  ๐’ซ cpw 4601  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106   โ„‹chba 30159   ยทih csp 30162  โŠฅcort 30170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-hilex 30239
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-oc 30492
This theorem is referenced by:  ocel  30521  ocsh  30523  occon  30527  chocvali  30539
  Copyright terms: Public domain W3C validator