![]() |
Hilbert Space Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > occon | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Contraposition law for orthogonal complement. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
occon | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โ ๐ต โ (โฅโ๐ต) โ (โฅโ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ssralv 4049 | . . . . . 6 โข (๐ด โ ๐ต โ (โ๐ฆ โ ๐ต (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0 โ โ๐ฆ โ ๐ด (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0)) | |
2 | 1 | adantr 479 | . . . . 5 โข ((๐ด โ ๐ต โง ๐ฅ โ โ) โ (โ๐ฆ โ ๐ต (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0 โ โ๐ฆ โ ๐ด (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0)) |
3 | 2 | ss2rabdv 4072 | . . . 4 โข (๐ด โ ๐ต โ {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ต (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0} โ {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ด (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
4 | 3 | adantl 480 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง ๐ด โ ๐ต) โ {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ต (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0} โ {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ด (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
5 | ocval 30800 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ (โฅโ๐ต) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ต (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) | |
6 | 5 | ad2antlr 723 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง ๐ด โ ๐ต) โ (โฅโ๐ต) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ต (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
7 | ocval 30800 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (โฅโ๐ด) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ด (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) | |
8 | 7 | ad2antrr 722 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง ๐ด โ ๐ต) โ (โฅโ๐ด) = {๐ฅ โ โ โฃ โ๐ฆ โ ๐ด (๐ฅ ยทih ๐ฆ) = 0}) |
9 | 4, 6, 8 | 3sstr4d 4028 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง ๐ด โ ๐ต) โ (โฅโ๐ต) โ (โฅโ๐ด)) |
10 | 9 | ex 411 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โ ๐ต โ (โฅโ๐ต) โ (โฅโ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1539 โ wcel 2104 โwral 3059 {crab 3430 โ wss 3947 โcfv 6542 (class class class)co 7411 0cc0 11112 โchba 30439 ยทih csp 30442 โฅcort 30450 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pr 5426 ax-hilex 30519 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rab 3431 df-v 3474 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fv 6550 df-oc 30772 |
This theorem is referenced by: occon2 30808 occon3 30817 ococin 30928 ssjo 30967 chsscon3i 30981 shjshsi 31012 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |