HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem occon 30807
Description: Contraposition law for orthogonal complement. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
occon ((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง ๐ต โŠ† โ„‹) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ (โŠฅโ€˜๐ต) โŠ† (โŠฅโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem occon
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssralv 4049 . . . . . 6 (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0 โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0))
21adantr 479 . . . . 5 ((๐ด โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0 โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0))
32ss2rabdv 4072 . . . 4 (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0} โŠ† {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
43adantl 480 . . 3 (((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง ๐ต โŠ† โ„‹) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0} โŠ† {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
5 ocval 30800 . . . 4 (๐ต โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ต) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
65ad2antlr 723 . . 3 (((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง ๐ต โŠ† โ„‹) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต) โ†’ (โŠฅโ€˜๐ต) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
7 ocval 30800 . . . 4 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
87ad2antrr 722 . . 3 (((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง ๐ต โŠ† โ„‹) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต) โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
94, 6, 83sstr4d 4028 . 2 (((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง ๐ต โŠ† โ„‹) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต) โ†’ (โŠฅโ€˜๐ต) โŠ† (โŠฅโ€˜๐ด))
109ex 411 1 ((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง ๐ต โŠ† โ„‹) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ (โŠฅโ€˜๐ต) โŠ† (โŠฅโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  {crab 3430   โŠ† wss 3947  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112   โ„‹chba 30439   ยทih csp 30442  โŠฅcort 30450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-hilex 30519
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-oc 30772
This theorem is referenced by:  occon2  30808  occon3  30817  ococin  30928  ssjo  30967  chsscon3i  30981  shjshsi  31012
  Copyright terms: Public domain W3C validator