Theorem hhssbnOLD 30800

Description: Obsolete version of cssbn 25124: Banach space property of a closed subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhssbnOLD.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssbnOLD.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssbnOLD	⊢ 𝑊 ∈ CBan

Proof of Theorem hhssbnOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssbnOLD.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
2		hhssbnOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	2	chshii 30748	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
4	1, 3	hhssnv 30785	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
6	1, 5, 2	hhsscms 30799	. 2 ⊢ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝐻)
7	1, 3	hhssba 30792	. . 3 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
8	7, 5	iscbn 30385	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ CBan ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝐻)))
9	4, 6, 8	mpbir2an 708	1 ⊢ 𝑊 ∈ CBan

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ⟨cop 4634   × cxp 5674   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  ℂcc 11112  CMetccmet 25003  NrmCVeccnv 30105  IndMetcims 30112  CBanccbn 30383   +_ℎ cva 30441   ·_ℎ csm 30442  norm_ℎcno 30444   C_ℋ cch 30450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194  ax-hilex 30520  ax-hfvadd 30521  ax-hvcom 30522  ax-hvass 30523  ax-hv0cl 30524  ax-hvaddid 30525  ax-hfvmul 30526  ax-hvmulid 30527  ax-hvmulass 30528  ax-hvdistr1 30529  ax-hvdistr2 30530  ax-hvmul0 30531  ax-hfi 30600  ax-his1 30603  ax-his2 30604  ax-his3 30605  ax-his4 30606  ax-hcompl 30723

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-ntr 22745  df-nei 22823  df-lm 22954  df-haus 23040  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-cfil 25004  df-cau 25005  df-cmet 25006  df-grpo 30014  df-gid 30015  df-ginv 30016  df-gdiv 30017  df-ablo 30066  df-vc 30080  df-nv 30113  df-va 30116  df-ba 30117  df-sm 30118  df-0v 30119  df-vs 30120  df-nmcv 30121  df-ims 30122  df-ssp 30243  df-cbn 30384  df-hnorm 30489  df-hba 30490  df-hvsub 30492  df-hlim 30493  df-hcau 30494  df-sh 30728  df-ch 30742  df-ch0 30774

This theorem is referenced by:  pjhthlem2  30913