HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocsh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocsh 30274
Description: The orthogonal complement of a subspace is a subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocsh (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ )

Proof of Theorem ocsh
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocval 30271 . . . 4 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
2 ssrab2 4041 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0} โŠ† โ„‹
31, 2eqsstrdi 4002 . . 3 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โŠ† โ„‹)
4 ssel 3941 . . . . . . 7 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹))
5 hi01 30087 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฆ) = 0)
64, 5syl6 35 . . . . . 6 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฆ) = 0))
76ralrimiv 3139 . . . . 5 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (0โ„Ž ยทih ๐‘ฆ) = 0)
8 ax-hv0cl 29994 . . . . 5 0โ„Ž โˆˆ โ„‹
97, 8jctil 521 . . . 4 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (0โ„Ž โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (0โ„Ž ยทih ๐‘ฆ) = 0))
10 ocel 30272 . . . 4 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (0โ„Ž โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โ†” (0โ„Ž โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (0โ„Ž ยทih ๐‘ฆ) = 0)))
119, 10mpbird 257 . . 3 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ 0โ„Ž โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
123, 11jca 513 . 2 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((โŠฅโ€˜๐ด) โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)))
13 ssel2 3943 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
14 ax-his2 30074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)))
15143expa 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)))
16 oveq12 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = (0 + 0))
17 00id 11338 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 0) = 0
1816, 17eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = 0)
1915, 18sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)
2019ex 414 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
2120ancoms 460 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
2213, 21sylan 581 . . . . . . . . 9 (((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
2322an32s 651 . . . . . . . 8 (((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
2423ralimdva 3161 . . . . . . 7 ((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
2524imdistanda 573 . . . . . 6 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)))
26 hvaddcl 30003 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2726anim1i 616 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
2825, 27syl6 35 . . . . 5 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)))
29 ocel 30272 . . . . . . 7 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0)))
30 ocel 30272 . . . . . . 7 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)))
3129, 30anbi12d 632 . . . . . 6 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0))))
32 an4 655 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)))
33 r19.26 3111 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0))
3433anbi2i 624 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)))
3532, 34bitr4i 278 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)))
3631, 35bitrdi 287 . . . . 5 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0))))
37 ocel 30272 . . . . 5 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โ†” ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)))
3828, 36, 373imtr4d 294 . . . 4 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)))
3938ralrimivv 3192 . . 3 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
40 mul01 11342 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ ยท 0) = 0)
41 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = (๐‘ฅ ยท 0))
4241eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = 0 โ†” (๐‘ฅ ยท 0) = 0))
4340, 42syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = 0))
4443ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = 0))
45 ax-his3 30075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)))
4645eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0 โ†” (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = 0))
47463expa 1119 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0 โ†” (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = 0))
4847ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0 โ†” (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = 0))
4944, 48sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
5013, 49sylan 581 . . . . . . . . 9 (((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
5150an32s 651 . . . . . . . 8 (((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
5251ralimdva 3161 . . . . . . 7 ((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
5352imdistanda 573 . . . . . 6 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)))
54 hvmulcl 30004 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
5554anim1i 616 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
5653, 55syl6 35 . . . . 5 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)))
5730anbi2d 630 . . . . . 6 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0))))
58 anass 470 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)))
5957, 58bitr4di 289 . . . . 5 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)))
60 ocel 30272 . . . . 5 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โ†” ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)))
6156, 59, 603imtr4d 294 . . . 4 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)))
6261ralrimivv 3192 . . 3 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
6339, 62jca 513 . 2 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)))
64 issh2 30200 . 2 ((โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ โ†” (((โŠฅโ€˜๐ด) โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))))
6512, 63, 64sylanbrc 584 1 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  {crab 3406   โŠ† wss 3914  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  0cc0 11059   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โ„‹chba 29910   +โ„Ž cva 29911   ยทโ„Ž csm 29912   ยทih csp 29913  0โ„Žc0v 29915   Sโ„‹ csh 29919  โŠฅcort 29921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hv0cl 29994  ax-hfvmul 29996  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his2 30074  ax-his3 30075
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sh 30198  df-oc 30243
This theorem is referenced by:  shocsh  30275  ocss  30276  occl  30295  spanssoc  30340  ssjo  30438  chscllem2  30629
  Copyright terms: Public domain W3C validator