HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocsh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocsh 30531
Description: The orthogonal complement of a subspace is a subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocsh (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ )

Proof of Theorem ocsh
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocval 30528 . . . 4 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0})
2 ssrab2 4077 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) = 0} โŠ† โ„‹
31, 2eqsstrdi 4036 . . 3 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โŠ† โ„‹)
4 ssel 3975 . . . . . . 7 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹))
5 hi01 30344 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฆ) = 0)
64, 5syl6 35 . . . . . 6 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ (0โ„Ž ยทih ๐‘ฆ) = 0))
76ralrimiv 3145 . . . . 5 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (0โ„Ž ยทih ๐‘ฆ) = 0)
8 ax-hv0cl 30251 . . . . 5 0โ„Ž โˆˆ โ„‹
97, 8jctil 520 . . . 4 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (0โ„Ž โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (0โ„Ž ยทih ๐‘ฆ) = 0))
10 ocel 30529 . . . 4 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (0โ„Ž โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โ†” (0โ„Ž โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (0โ„Ž ยทih ๐‘ฆ) = 0)))
119, 10mpbird 256 . . 3 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ 0โ„Ž โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
123, 11jca 512 . 2 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((โŠฅโ€˜๐ด) โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)))
13 ssel2 3977 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
14 ax-his2 30331 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)))
15143expa 1118 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)))
16 oveq12 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = (0 + 0))
17 00id 11388 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 0) = 0
1816, 17eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = 0)
1915, 18sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โˆง ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)
2019ex 413 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
2120ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
2213, 21sylan 580 . . . . . . . . 9 (((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
2322an32s 650 . . . . . . . 8 (((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
2423ralimdva 3167 . . . . . . 7 ((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
2524imdistanda 572 . . . . . 6 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)))
26 hvaddcl 30260 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2726anim1i 615 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
2825, 27syl6 35 . . . . 5 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)) โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)))
29 ocel 30529 . . . . . . 7 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0)))
30 ocel 30529 . . . . . . 7 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)))
3129, 30anbi12d 631 . . . . . 6 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0))))
32 an4 654 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)))
33 r19.26 3111 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0))
3433anbi2i 623 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)))
3532, 34bitr4i 277 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)))
3631, 35bitrdi 286 . . . . 5 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ง) = 0 โˆง (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0))))
37 ocel 30529 . . . . 5 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โ†” ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)))
3828, 36, 373imtr4d 293 . . . 4 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)))
3938ralrimivv 3198 . . 3 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
40 mul01 11392 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ ยท 0) = 0)
41 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = (๐‘ฅ ยท 0))
4241eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = 0 โ†” (๐‘ฅ ยท 0) = 0))
4340, 42syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = 0))
4443ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = 0))
45 ax-his3 30332 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)))
4645eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0 โ†” (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = 0))
47463expa 1118 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0 โ†” (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = 0))
4847ancoms 459 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0 โ†” (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง)) = 0))
4944, 48sylibrd 258 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
5013, 49sylan 580 . . . . . . . . 9 (((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
5150an32s 650 . . . . . . . 8 (((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
5251ralimdva 3167 . . . . . . 7 ((๐ด โŠ† โ„‹ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0 โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
5352imdistanda 572 . . . . . 6 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)))
54 hvmulcl 30261 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
5554anim1i 615 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0))
5653, 55syl6 35 . . . . 5 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)))
5730anbi2d 629 . . . . . 6 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0))))
58 anass 469 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)))
5957, 58bitr4di 288 . . . . 5 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด (๐‘ฆ ยทih ๐‘ง) = 0)))
60 ocel 30529 . . . . 5 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โ†” ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ด ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) ยทih ๐‘ง) = 0)))
6156, 59, 603imtr4d 293 . . . 4 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)))
6261ralrimivv 3198 . . 3 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))
6339, 62jca 512 . 2 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)))
64 issh2 30457 . 2 ((โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ โ†” (((โŠฅโ€˜๐ด) โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด)(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ (โŠฅโ€˜๐ด))))
6512, 63, 64sylanbrc 583 1 (๐ด โŠ† โ„‹ โ†’ (โŠฅโ€˜๐ด) โˆˆ Sโ„‹ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  {crab 3432   โŠ† wss 3948  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โ„‹chba 30167   +โ„Ž cva 30168   ยทโ„Ž csm 30169   ยทih csp 30170  0โ„Žc0v 30172   Sโ„‹ csh 30176  โŠฅcort 30178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hv0cl 30251  ax-hfvmul 30253  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his2 30331  ax-his3 30332
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sh 30455  df-oc 30500
This theorem is referenced by:  shocsh  30532  ocss  30533  occl  30552  spanssoc  30597  ssjo  30695  chscllem2  30886
  Copyright terms: Public domain W3C validator