Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oddpwdcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddpwdcv 32995
Description: Lemma for eulerpart 33022: value of the ๐น function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oddpwdc.j ๐ฝ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
oddpwdc.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
Assertion
Ref Expression
oddpwdcv (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ฝ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘Š,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐ฝ(๐‘ง)   ๐‘Š(๐‘ง)

Proof of Theorem oddpwdcv
StepHypRef Expression
1 1st2nd2 7965 . . 3 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ ๐‘Š = โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ)
21fveq2d 6851 . 2 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) = (๐นโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ))
3 df-ov 7365 . . 3 ((1st โ€˜๐‘Š)๐น(2nd โ€˜๐‘Š)) = (๐นโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ)
43a1i 11 . 2 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ ((1st โ€˜๐‘Š)๐น(2nd โ€˜๐‘Š)) = (๐นโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ))
5 elxp6 7960 . . . 4 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†” (๐‘Š = โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘Š) โˆˆ ๐ฝ โˆง (2nd โ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0)))
65simprbi 498 . . 3 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ ((1st โ€˜๐‘Š) โˆˆ ๐ฝ โˆง (2nd โ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0))
7 oveq2 7370 . . . 4 (๐‘ฅ = (1st โ€˜๐‘Š) โ†’ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ) = ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
8 oveq2 7370 . . . . 5 (๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘Š) โ†’ (2โ†‘๐‘ฆ) = (2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)))
98oveq1d 7377 . . . 4 (๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘Š) โ†’ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท (1st โ€˜๐‘Š)) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
10 oddpwdc.f . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
11 ovex 7395 . . . 4 ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)) โˆˆ V
127, 9, 10, 11ovmpo 7520 . . 3 (((1st โ€˜๐‘Š) โˆˆ ๐ฝ โˆง (2nd โ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1st โ€˜๐‘Š)๐น(2nd โ€˜๐‘Š)) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
136, 12syl 17 . 2 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ ((1st โ€˜๐‘Š)๐น(2nd โ€˜๐‘Š)) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
142, 4, 133eqtr2d 2783 1 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3410  โŸจcop 4597   class class class wbr 5110   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โˆˆ cmpo 7364  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925   ยท cmul 11063  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ†‘cexp 13974   โˆฅ cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  33016  eulerpartlemgh  33018  eulerpartlemgs2  33020
  Copyright terms: Public domain W3C validator