Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oddpwdcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddpwdcv 33884
Description: Lemma for eulerpart 33911: value of the ๐น function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oddpwdc.j ๐ฝ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
oddpwdc.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
Assertion
Ref Expression
oddpwdcv (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ฝ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘Š,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐ฝ(๐‘ง)   ๐‘Š(๐‘ง)

Proof of Theorem oddpwdcv
StepHypRef Expression
1 1st2nd2 8013 . . 3 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ ๐‘Š = โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ)
21fveq2d 6889 . 2 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) = (๐นโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ))
3 df-ov 7408 . . 3 ((1st โ€˜๐‘Š)๐น(2nd โ€˜๐‘Š)) = (๐นโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ)
43a1i 11 . 2 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ ((1st โ€˜๐‘Š)๐น(2nd โ€˜๐‘Š)) = (๐นโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ))
5 elxp6 8008 . . . 4 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†” (๐‘Š = โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘Š) โˆˆ ๐ฝ โˆง (2nd โ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0)))
65simprbi 496 . . 3 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ ((1st โ€˜๐‘Š) โˆˆ ๐ฝ โˆง (2nd โ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0))
7 oveq2 7413 . . . 4 (๐‘ฅ = (1st โ€˜๐‘Š) โ†’ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ) = ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
8 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘Š) โ†’ (2โ†‘๐‘ฆ) = (2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)))
98oveq1d 7420 . . . 4 (๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘Š) โ†’ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท (1st โ€˜๐‘Š)) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
10 oddpwdc.f . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
11 ovex 7438 . . . 4 ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)) โˆˆ V
127, 9, 10, 11ovmpo 7564 . . 3 (((1st โ€˜๐‘Š) โˆˆ ๐ฝ โˆง (2nd โ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1st โ€˜๐‘Š)๐น(2nd โ€˜๐‘Š)) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
136, 12syl 17 . 2 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ ((1st โ€˜๐‘Š)๐น(2nd โ€˜๐‘Š)) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
142, 4, 133eqtr2d 2772 1 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3426  โŸจcop 4629   class class class wbr 5141   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ†‘cexp 14032   โˆฅ cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  33905  eulerpartlemgh  33907  eulerpartlemgs2  33909
  Copyright terms: Public domain W3C validator