Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oddpwdcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddpwdcv 34016
Description: Lemma for eulerpart 34043: value of the ๐น function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oddpwdc.j ๐ฝ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
oddpwdc.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
Assertion
Ref Expression
oddpwdcv (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ฝ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘Š,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐ฝ(๐‘ง)   ๐‘Š(๐‘ง)

Proof of Theorem oddpwdcv
StepHypRef Expression
1 1st2nd2 8040 . . 3 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ ๐‘Š = โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ)
21fveq2d 6906 . 2 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) = (๐นโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ))
3 df-ov 7429 . . 3 ((1st โ€˜๐‘Š)๐น(2nd โ€˜๐‘Š)) = (๐นโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ)
43a1i 11 . 2 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ ((1st โ€˜๐‘Š)๐น(2nd โ€˜๐‘Š)) = (๐นโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ))
5 elxp6 8035 . . . 4 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†” (๐‘Š = โŸจ(1st โ€˜๐‘Š), (2nd โ€˜๐‘Š)โŸฉ โˆง ((1st โ€˜๐‘Š) โˆˆ ๐ฝ โˆง (2nd โ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0)))
65simprbi 495 . . 3 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ ((1st โ€˜๐‘Š) โˆˆ ๐ฝ โˆง (2nd โ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0))
7 oveq2 7434 . . . 4 (๐‘ฅ = (1st โ€˜๐‘Š) โ†’ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ) = ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
8 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘Š) โ†’ (2โ†‘๐‘ฆ) = (2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)))
98oveq1d 7441 . . . 4 (๐‘ฆ = (2nd โ€˜๐‘Š) โ†’ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท (1st โ€˜๐‘Š)) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
10 oddpwdc.f . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
11 ovex 7459 . . . 4 ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)) โˆˆ V
127, 9, 10, 11ovmpo 7588 . . 3 (((1st โ€˜๐‘Š) โˆˆ ๐ฝ โˆง (2nd โ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1st โ€˜๐‘Š)๐น(2nd โ€˜๐‘Š)) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
136, 12syl 17 . 2 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ ((1st โ€˜๐‘Š)๐น(2nd โ€˜๐‘Š)) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
142, 4, 133eqtr2d 2774 1 (๐‘Š โˆˆ (๐ฝ ร— โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Š) = ((2โ†‘(2nd โ€˜๐‘Š)) ยท (1st โ€˜๐‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3430  โŸจcop 4638   class class class wbr 5152   ร— cxp 5680  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  1st c1st 7999  2nd c2nd 8000   ยท cmul 11153  โ„•cn 12252  2c2 12307  โ„•0cn0 12512  โ†‘cexp 14068   โˆฅ cdvds 16240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  34037  eulerpartlemgh  34039  eulerpartlemgs2  34041
  Copyright terms: Public domain W3C validator