![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > oddpwdcv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for eulerpart 33022: value of the ๐น function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
oddpwdc.j | โข ๐ฝ = {๐ง โ โ โฃ ยฌ 2 โฅ ๐ง} |
oddpwdc.f | โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ฝ, ๐ฆ โ โ0 โฆ ((2โ๐ฆ) ยท ๐ฅ)) |
Ref | Expression |
---|---|
oddpwdcv | โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ (๐นโ๐) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1st2nd2 7965 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ ๐ = โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) | |
2 | 1 | fveq2d 6851 | . 2 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ (๐นโ๐) = (๐นโโจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ)) |
3 | df-ov 7365 | . . 3 โข ((1st โ๐)๐น(2nd โ๐)) = (๐นโโจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) | |
4 | 3 | a1i 11 | . 2 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ ((1st โ๐)๐น(2nd โ๐)) = (๐นโโจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ)) |
5 | elxp6 7960 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ (๐ = โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ โง ((1st โ๐) โ ๐ฝ โง (2nd โ๐) โ โ0))) | |
6 | 5 | simprbi 498 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ ((1st โ๐) โ ๐ฝ โง (2nd โ๐) โ โ0)) |
7 | oveq2 7370 | . . . 4 โข (๐ฅ = (1st โ๐) โ ((2โ๐ฆ) ยท ๐ฅ) = ((2โ๐ฆ) ยท (1st โ๐))) | |
8 | oveq2 7370 | . . . . 5 โข (๐ฆ = (2nd โ๐) โ (2โ๐ฆ) = (2โ(2nd โ๐))) | |
9 | 8 | oveq1d 7377 | . . . 4 โข (๐ฆ = (2nd โ๐) โ ((2โ๐ฆ) ยท (1st โ๐)) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
10 | oddpwdc.f | . . . 4 โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ฝ, ๐ฆ โ โ0 โฆ ((2โ๐ฆ) ยท ๐ฅ)) | |
11 | ovex 7395 | . . . 4 โข ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐)) โ V | |
12 | 7, 9, 10, 11 | ovmpo 7520 | . . 3 โข (((1st โ๐) โ ๐ฝ โง (2nd โ๐) โ โ0) โ ((1st โ๐)๐น(2nd โ๐)) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
13 | 6, 12 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ ((1st โ๐)๐น(2nd โ๐)) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
14 | 2, 4, 13 | 3eqtr2d 2783 | 1 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ (๐นโ๐) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 {crab 3410 โจcop 4597 class class class wbr 5110 ร cxp 5636 โcfv 6501 (class class class)co 7362 โ cmpo 7364 1st c1st 7924 2nd c2nd 7925 ยท cmul 11063 โcn 12160 2c2 12215 โ0cn0 12420 โcexp 13974 โฅ cdvds 16143 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pr 5389 ax-un 7677 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-id 5536 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fv 6509 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-1st 7926 df-2nd 7927 |
This theorem is referenced by: eulerpartlemgvv 33016 eulerpartlemgh 33018 eulerpartlemgs2 33020 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |