![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > oddpwdcv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for eulerpart 34043: value of the ๐น function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
oddpwdc.j | โข ๐ฝ = {๐ง โ โ โฃ ยฌ 2 โฅ ๐ง} |
oddpwdc.f | โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ฝ, ๐ฆ โ โ0 โฆ ((2โ๐ฆ) ยท ๐ฅ)) |
Ref | Expression |
---|---|
oddpwdcv | โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ (๐นโ๐) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1st2nd2 8040 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ ๐ = โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) | |
2 | 1 | fveq2d 6906 | . 2 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ (๐นโ๐) = (๐นโโจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ)) |
3 | df-ov 7429 | . . 3 โข ((1st โ๐)๐น(2nd โ๐)) = (๐นโโจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) | |
4 | 3 | a1i 11 | . 2 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ ((1st โ๐)๐น(2nd โ๐)) = (๐นโโจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ)) |
5 | elxp6 8035 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ (๐ = โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ โง ((1st โ๐) โ ๐ฝ โง (2nd โ๐) โ โ0))) | |
6 | 5 | simprbi 495 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ ((1st โ๐) โ ๐ฝ โง (2nd โ๐) โ โ0)) |
7 | oveq2 7434 | . . . 4 โข (๐ฅ = (1st โ๐) โ ((2โ๐ฆ) ยท ๐ฅ) = ((2โ๐ฆ) ยท (1st โ๐))) | |
8 | oveq2 7434 | . . . . 5 โข (๐ฆ = (2nd โ๐) โ (2โ๐ฆ) = (2โ(2nd โ๐))) | |
9 | 8 | oveq1d 7441 | . . . 4 โข (๐ฆ = (2nd โ๐) โ ((2โ๐ฆ) ยท (1st โ๐)) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
10 | oddpwdc.f | . . . 4 โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ฝ, ๐ฆ โ โ0 โฆ ((2โ๐ฆ) ยท ๐ฅ)) | |
11 | ovex 7459 | . . . 4 โข ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐)) โ V | |
12 | 7, 9, 10, 11 | ovmpo 7588 | . . 3 โข (((1st โ๐) โ ๐ฝ โง (2nd โ๐) โ โ0) โ ((1st โ๐)๐น(2nd โ๐)) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
13 | 6, 12 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ ((1st โ๐)๐น(2nd โ๐)) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
14 | 2, 4, 13 | 3eqtr2d 2774 | 1 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ (๐นโ๐) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 {crab 3430 โจcop 4638 class class class wbr 5152 ร cxp 5680 โcfv 6553 (class class class)co 7426 โ cmpo 7428 1st c1st 7999 2nd c2nd 8000 ยท cmul 11153 โcn 12252 2c2 12307 โ0cn0 12512 โcexp 14068 โฅ cdvds 16240 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pr 5433 ax-un 7748 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fv 6561 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-1st 8001 df-2nd 8002 |
This theorem is referenced by: eulerpartlemgvv 34037 eulerpartlemgh 34039 eulerpartlemgs2 34041 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |