![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > oddpwdcv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for eulerpart 33911: value of the ๐น function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
oddpwdc.j | โข ๐ฝ = {๐ง โ โ โฃ ยฌ 2 โฅ ๐ง} |
oddpwdc.f | โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ฝ, ๐ฆ โ โ0 โฆ ((2โ๐ฆ) ยท ๐ฅ)) |
Ref | Expression |
---|---|
oddpwdcv | โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ (๐นโ๐) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1st2nd2 8013 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ ๐ = โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) | |
2 | 1 | fveq2d 6889 | . 2 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ (๐นโ๐) = (๐นโโจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ)) |
3 | df-ov 7408 | . . 3 โข ((1st โ๐)๐น(2nd โ๐)) = (๐นโโจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) | |
4 | 3 | a1i 11 | . 2 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ ((1st โ๐)๐น(2nd โ๐)) = (๐นโโจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ)) |
5 | elxp6 8008 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ (๐ = โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ โง ((1st โ๐) โ ๐ฝ โง (2nd โ๐) โ โ0))) | |
6 | 5 | simprbi 496 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ ((1st โ๐) โ ๐ฝ โง (2nd โ๐) โ โ0)) |
7 | oveq2 7413 | . . . 4 โข (๐ฅ = (1st โ๐) โ ((2โ๐ฆ) ยท ๐ฅ) = ((2โ๐ฆ) ยท (1st โ๐))) | |
8 | oveq2 7413 | . . . . 5 โข (๐ฆ = (2nd โ๐) โ (2โ๐ฆ) = (2โ(2nd โ๐))) | |
9 | 8 | oveq1d 7420 | . . . 4 โข (๐ฆ = (2nd โ๐) โ ((2โ๐ฆ) ยท (1st โ๐)) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
10 | oddpwdc.f | . . . 4 โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ฝ, ๐ฆ โ โ0 โฆ ((2โ๐ฆ) ยท ๐ฅ)) | |
11 | ovex 7438 | . . . 4 โข ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐)) โ V | |
12 | 7, 9, 10, 11 | ovmpo 7564 | . . 3 โข (((1st โ๐) โ ๐ฝ โง (2nd โ๐) โ โ0) โ ((1st โ๐)๐น(2nd โ๐)) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
13 | 6, 12 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ ((1st โ๐)๐น(2nd โ๐)) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
14 | 2, 4, 13 | 3eqtr2d 2772 | 1 โข (๐ โ (๐ฝ ร โ0) โ (๐นโ๐) = ((2โ(2nd โ๐)) ยท (1st โ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 {crab 3426 โจcop 4629 class class class wbr 5141 ร cxp 5667 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โ cmpo 7407 1st c1st 7972 2nd c2nd 7973 ยท cmul 11117 โcn 12216 2c2 12271 โ0cn0 12476 โcexp 14032 โฅ cdvds 16204 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pr 5420 ax-un 7722 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fv 6545 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-1st 7974 df-2nd 7975 |
This theorem is referenced by: eulerpartlemgvv 33905 eulerpartlemgh 33907 eulerpartlemgs2 33909 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |