Theorem 1st2nd2 7355

Description: Reconstruction of a member of a Cartesian product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1st2nd2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Proof of Theorem 1st2nd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp6 7350	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∧ ((1st ‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (2nd ‘𝐴) ∈ 𝐶)))
2	1	simplbi 481	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4323   × cxp 5248  ‘cfv 6032  1^st c1st 7314  2^nd c2nd 7315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fv 6040  df-1st 7316  df-2nd 7317

This theorem is referenced by:  1st2ndb  7356  xpopth  7357  eqop  7358  2nd1st  7363  1st2nd  7364  opiota  7379  disjen  8274  xpmapenlem  8284  mapunen  8286  djulf1o  8939  djurf1o  8940  djur  8946  r0weon  9036  enqbreq2  9945  nqereu  9954  lterpq  9995  elreal2  10156  cnref1o  12031  ruclem6  15171  ruclem8  15173  ruclem9  15174  ruclem12  15177  eucalgval  15504  eucalginv  15506  eucalglt  15507  eucalg  15509  qnumdenbi  15660  isstruct2  16075  xpsff1o  16437  comfffval2  16569  comfeq  16574  idfucl  16749  funcpropd  16768  coapm  16929  xpccatid  17037  1stfcl  17046  2ndfcl  17047  1st2ndprf  17055  xpcpropd  17057  evlfcl  17071  hofcl  17108  hofpropd  17116  yonedalem3  17129  gsum2dlem2  18578  mdetunilem9  20645  tx1cn  21634  tx2cn  21635  txdis  21657  txlly  21661  txnlly  21662  txhaus  21672  txkgen  21677  txconn  21714  utop3cls  22276  ucnima  22306  fmucndlem  22316  psmetxrge0  22339  imasdsf1olem  22399  cnheiborlem  22974  caublcls  23327  bcthlem1  23341  bcthlem2  23342  bcthlem4  23344  bcthlem5  23345  ovolfcl  23455  ovolfioo  23456  ovolficc  23457  ovolficcss  23458  ovolfsval  23459  ovolicc2lem1  23506  ovolicc2lem5  23510  ovolfs2  23560  uniiccdif  23567  uniioovol  23568  uniiccvol  23569  uniioombllem2a  23571  uniioombllem2  23572  uniioombllem3a  23573  uniioombllem3  23574  uniioombllem4  23575  uniioombllem5  23576  uniioombllem6  23577  dyadmbl  23589  fsumvma  25160  ofpreima  29806  ofpreima2  29807  fimaproj  30241  1stmbfm  30663  2ndmbfm  30664  sibfof  30743  oddpwdcv  30758  txsconnlem  31561  mpst123  31776  bj-elid  33423  poimirlem4  33747  poimirlem26  33769  poimirlem27  33770  mblfinlem1  33780  mblfinlem2  33781  ftc2nc  33827  heiborlem8  33950  dvhgrp  36918  dvhlveclem  36919  fvovco  39902  dvnprodlem1  40680  volioof  40722  fvvolioof  40724  fvvolicof  40726  etransclem44  41013  ovolval3  41382  ovolval4lem1  41384  ovolval5lem2  41388  ovnovollem1  41391  ovnovollem2  41392  smfpimbor1lem1  41526