Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1st2nd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1st2nd2 7724
 Description: Reconstruction of a member of a Cartesian product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
1st2nd2 (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩)

Proof of Theorem 1st2nd2
StepHypRef Expression
1 elxp6 7719 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ (𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∧ ((1st𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (2nd𝐴) ∈ 𝐶)))
21simplbi 498 1 (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4570   × cxp 5552  ‘cfv 6354  1st c1st 7683  2nd c2nd 7684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fv 6362  df-1st 7685  df-2nd 7686 This theorem is referenced by:  1st2ndb  7725  xpopth  7726  eqop  7727  2nd1st  7733  1st2nd  7734  opiota  7753  fimaproj  7825  disjen  8668  xpmapenlem  8678  mapunen  8680  djulf1o  9335  djurf1o  9336  djur  9342  r0weon  9432  enqbreq2  10336  nqereu  10345  lterpq  10386  elreal2  10548  cnref1o  12379  ruclem6  15583  ruclem8  15585  ruclem9  15586  ruclem12  15589  eucalgval  15921  eucalginv  15923  eucalglt  15924  eucalg  15926  qnumdenbi  16079  isstruct2  16488  xpsff1o  16835  comfffval2  16966  comfeq  16971  idfucl  17146  funcpropd  17165  coapm  17326  xpccatid  17433  1stfcl  17442  2ndfcl  17443  1st2ndprf  17451  xpcpropd  17453  evlfcl  17467  hofcl  17504  hofpropd  17512  yonedalem3  17525  gsum2dlem2  19027  mdetunilem9  21164  tx1cn  22152  tx2cn  22153  txdis  22175  txlly  22179  txnlly  22180  txhaus  22190  txkgen  22195  txconn  22232  utop3cls  22794  ucnima  22824  fmucndlem  22834  psmetxrge0  22857  imasdsf1olem  22917  cnheiborlem  23492  caublcls  23846  bcthlem1  23861  bcthlem2  23862  bcthlem4  23864  bcthlem5  23865  ovolfcl  24001  ovolfioo  24002  ovolficc  24003  ovolficcss  24004  ovolfsval  24005  ovolicc2lem1  24052  ovolicc2lem5  24056  ovolfs2  24106  uniiccdif  24113  uniioovol  24114  uniiccvol  24115  uniioombllem2a  24117  uniioombllem2  24118  uniioombllem3a  24119  uniioombllem3  24120  uniioombllem4  24121  uniioombllem5  24122  uniioombllem6  24123  dyadmbl  24135  fsumvma  25722  opreu2reuALT  30173  ofpreima  30344  ofpreima2  30345  1stmbfm  31423  2ndmbfm  31424  sibfof  31503  oddpwdcv  31518  txsconnlem  32390  mpst123  32690  bj-elid4  34358  bj-elid6  34360  poimirlem4  34782  poimirlem26  34804  poimirlem27  34805  mblfinlem1  34815  mblfinlem2  34816  ftc2nc  34862  heiborlem8  34983  dvhgrp  38129  dvhlveclem  38130  fvovco  41339  dvnprodlem1  42115  volioof  42157  fvvolioof  42159  fvvolicof  42161  etransclem44  42448  ovolval3  42814  ovolval4lem1  42816  ovolval5lem2  42820  ovnovollem1  42823  ovnovollem2  42824  smfpimbor1lem1  42958  rrx2xpref1o  44607
 Copyright terms: Public domain W3C validator