Theorem 1st2nd2 8014

Description: Reconstruction of a member of a Cartesian product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1st2nd2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Proof of Theorem 1st2nd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp6 8009	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∧ ((1st ‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (2nd ‘𝐴) ∈ 𝐶)))
2	1	simplbi 499	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4635   × cxp 5675  ‘cfv 6544  1^st c1st 7973  2^nd c2nd 7974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-1st 7975  df-2nd 7976

This theorem is referenced by:  1st2ndb  8015  xpopth  8016  eqop  8017  2nd1st  8024  1st2nd  8025  opiota  8045  fimaproj  8121  disjen  9134  xpmapenlem  9144  mapunen  9146  djulf1o  9907  djurf1o  9908  djur  9914  r0weon  10007  enqbreq2  10915  nqereu  10924  lterpq  10965  elreal2  11127  cnref1o  12969  ruclem6  16178  ruclem8  16180  ruclem9  16181  ruclem12  16184  eucalgval  16519  eucalginv  16521  eucalglt  16522  eucalg  16524  qnumdenbi  16680  isstruct2  17082  xpsff1o  17513  comfffval2  17645  comfeq  17650  idfucl  17831  funcpropd  17851  coapm  18021  xpccatid  18140  1stfcl  18149  2ndfcl  18150  1st2ndprf  18158  xpcpropd  18161  evlfcl  18175  hofcl  18212  hofpropd  18220  yonedalem3  18233  gsum2dlem2  19839  mdetunilem9  22122  tx1cn  23113  tx2cn  23114  txdis  23136  txlly  23140  txnlly  23141  txhaus  23151  txkgen  23156  txconn  23193  utop3cls  23756  ucnima  23786  fmucndlem  23796  psmetxrge0  23819  imasdsf1olem  23879  cnheiborlem  24470  caublcls  24826  bcthlem1  24841  bcthlem2  24842  bcthlem4  24844  bcthlem5  24845  ovolfcl  24983  ovolfioo  24984  ovolficc  24985  ovolficcss  24986  ovolfsval  24987  ovolicc2lem1  25034  ovolicc2lem5  25038  ovolfs2  25088  uniiccdif  25095  uniioovol  25096  uniiccvol  25097  uniioombllem2a  25099  uniioombllem2  25100  uniioombllem3a  25101  uniioombllem3  25102  uniioombllem4  25103  uniioombllem5  25104  uniioombllem6  25105  dyadmbl  25117  fsumvma  26716  opreu2reuALT  31717  ofpreima  31890  ofpreima2  31891  1stmbfm  33259  2ndmbfm  33260  sibfof  33339  oddpwdcv  33354  txsconnlem  34231  mpst123  34531  bj-elid4  36049  bj-elid6  36051  poimirlem4  36492  poimirlem26  36514  poimirlem27  36515  mblfinlem1  36525  mblfinlem2  36526  ftc2nc  36570  heiborlem8  36686  dvhgrp  39978  dvhlveclem  39979  fvovco  43892  dvnprodlem1  44662  volioof  44703  fvvolioof  44705  fvvolicof  44707  etransclem44  44994  ovolval3  45363  ovolval4lem1  45365  ovolval5lem2  45369  ovnovollem1  45372  ovnovollem2  45373  smfpimbor1lem1  45514  rrx2xpref1o  47404