Theorem 1st2nd2 7405

Description: Reconstruction of a member of a Cartesian product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1st2nd2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Proof of Theorem 1st2nd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp6 7400	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∧ ((1st ‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (2nd ‘𝐴) ∈ 𝐶)))
2	1	simplbi 491	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ⟨cop 4340   × cxp 5275  ‘cfv 6068  1^st c1st 7364  2^nd c2nd 7365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fv 6076  df-1st 7366  df-2nd 7367

This theorem is referenced by:  1st2ndb  7406  xpopth  7407  eqop  7408  2nd1st  7413  1st2nd  7414  opiota  7429  disjen  8324  xpmapenlem  8334  mapunen  8336  djulf1o  8989  djurf1o  8990  djur  8996  r0weon  9086  enqbreq2  9995  nqereu  10004  lterpq  10045  elreal2  10206  cnref1o  12023  ruclem6  15248  ruclem8  15250  ruclem9  15251  ruclem12  15254  eucalgval  15578  eucalginv  15580  eucalglt  15581  eucalg  15583  qnumdenbi  15733  isstruct2  16142  xpsff1o  16496  comfffval2  16628  comfeq  16633  idfucl  16808  funcpropd  16827  coapm  16988  xpccatid  17096  1stfcl  17105  2ndfcl  17106  1st2ndprf  17114  xpcpropd  17116  evlfcl  17130  hofcl  17167  hofpropd  17175  yonedalem3  17188  gsum2dlem2  18636  mdetunilem9  20703  tx1cn  21692  tx2cn  21693  txdis  21715  txlly  21719  txnlly  21720  txhaus  21730  txkgen  21735  txconn  21772  utop3cls  22334  ucnima  22364  fmucndlem  22374  psmetxrge0  22397  imasdsf1olem  22457  cnheiborlem  23032  caublcls  23386  bcthlem1  23401  bcthlem2  23402  bcthlem4  23404  bcthlem5  23405  ovolfcl  23524  ovolfioo  23525  ovolficc  23526  ovolficcss  23527  ovolfsval  23528  ovolicc2lem1  23575  ovolicc2lem5  23579  ovolfs2  23629  uniiccdif  23636  uniioovol  23637  uniiccvol  23638  uniioombllem2a  23640  uniioombllem2  23641  uniioombllem3a  23642  uniioombllem3  23643  uniioombllem4  23644  uniioombllem5  23645  uniioombllem6  23646  dyadmbl  23658  fsumvma  25229  ofpreima  29850  ofpreima2  29851  fimaproj  30282  1stmbfm  30704  2ndmbfm  30705  sibfof  30784  oddpwdcv  30799  txsconnlem  31602  mpst123  31817  bj-elid  33450  poimirlem4  33769  poimirlem26  33791  poimirlem27  33792  mblfinlem1  33802  mblfinlem2  33803  ftc2nc  33849  heiborlem8  33971  dvhgrp  36995  dvhlveclem  36996  fvovco  39960  dvnprodlem1  40731  volioof  40773  fvvolioof  40775  fvvolicof  40777  etransclem44  41064  ovolval3  41433  ovolval4lem1  41435  ovolval5lem2  41439  ovnovollem1  41442  ovnovollem2  41443  smfpimbor1lem1  41577