Theorem 1st2nd2 8013

Description: Reconstruction of a member of a Cartesian product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1st2nd2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Proof of Theorem 1st2nd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp6 8008	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∧ ((1st ‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (2nd ‘𝐴) ∈ 𝐶)))
2	1	simplbi 501	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4591   × cxp 5650  ‘cfv 6525  1^st c1st 7972  2^nd c2nd 7973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-1st 7974  df-2nd 7975

This theorem is referenced by:  1st2ndb  8014  xpopth  8015  eqop  8016  2nd1st  8023  1st2nd  8024  opiota  8044  fimaproj  8119  disjen  9110  xpmapenlem  9120  mapunen  9122  djulf1o  9886  djurf1o  9887  djur  9893  r0weon  9984  enqbreq2  10893  nqereu  10902  lterpq  10943  elreal2  11105  cnref1o  13000  ruclem6  16281  ruclem8  16283  ruclem9  16284  ruclem12  16287  eucalgval  16630  eucalginv  16632  eucalglt  16633  eucalg  16635  qnumdenbi  16793  isstruct2  17199  xpsff1o  17611  comfffval2  17747  comfeq  17752  idfucl  17928  funcpropd  17949  coapm  18118  xpccatid  18234  1stfcl  18243  2ndfcl  18244  1st2ndprf  18252  xpcpropd  18254  evlfcl  18268  hofcl  18305  hofpropd  18313  yonedalem3  18326  gsum2dlem2  20032  mdetunilem9  22738  tx1cn  23727  tx2cn  23728  txdis  23750  txlly  23754  txnlly  23755  txhaus  23765  txkgen  23770  txconn  23807  utop3cls  24369  ucnima  24398  fmucndlem  24408  psmetxrge0  24431  imasdsf1olem  24491  cnheiborlem  25074  caublcls  25429  bcthlem1  25444  bcthlem2  25445  bcthlem4  25447  bcthlem5  25448  ovolfcl  25586  ovolfioo  25587  ovolficc  25588  ovolficcss  25589  ovolfsval  25590  ovolicc2lem1  25637  ovolicc2lem5  25641  ovolfs2  25691  uniiccdif  25698  uniioovol  25699  uniiccvol  25700  uniioombllem2a  25702  uniioombllem2  25703  uniioombllem3a  25704  uniioombllem3  25705  uniioombllem4  25706  uniioombllem5  25707  uniioombllem6  25708  dyadmbl  25720  fsumvma  27335  opreu2reuALT  32733  ofpreima  32922  ofpreima2  32923  elrgspnsubrunlem2  33481  erler  33498  1stmbfm  34567  2ndmbfm  34568  sibfof  34647  oddpwdcv  34662  txsconnlem  35603  mpst123  35903  bj-elid4  37672  bj-elid6  37674  poimirlem4  38135  poimirlem26  38157  poimirlem27  38158  mblfinlem1  38168  mblfinlem2  38169  ftc2nc  38213  heiborlem8  38329  dvhgrp  41743  dvhlveclem  41744  fvovco  45769  dvnprodlem1  46518  volioof  46559  fvvolioof  46561  fvvolicof  46563  etransclem44  46850  ovolval3  47219  ovolval4lem1  47221  ovolval5lem2  47225  ovnovollem1  47228  ovnovollem2  47229  smfpimbor1lem1  47370  rrx2xpref1o  49349  2oppf  49761  eloppf  49762  funcoppc5  49774  swapf2f1oa  49906  swapfida  49909  swapffunca  49913  swapfiso  49914  cofuswapf1  49923  cofuswapf2  49924  fuco2eld2  49943  fuco11b  49966  fuco11bALT  49967  fucoco2  49987  fucofunca  49989  fucolid  49990  fucorid  49991  precofvalALT  49997  reldmlan2  50246  reldmran2  50247  rellan  50252  relran  50253  ranval3  50260  ranrcl4lem  50267  ranup  50271