Theorem 1st2nd2 8069

Description: Reconstruction of a member of a Cartesian product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1st2nd2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Proof of Theorem 1st2nd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp6 8064	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∧ ((1st ‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (2nd ‘𝐴) ∈ 𝐶)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4654   × cxp 5698  ‘cfv 6573  1^st c1st 8028  2^nd c2nd 8029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-1st 8030  df-2nd 8031

This theorem is referenced by:  1st2ndb  8070  xpopth  8071  eqop  8072  2nd1st  8079  1st2nd  8080  opiota  8100  fimaproj  8176  disjen  9200  xpmapenlem  9210  mapunen  9212  djulf1o  9981  djurf1o  9982  djur  9988  r0weon  10081  enqbreq2  10989  nqereu  10998  lterpq  11039  elreal2  11201  cnref1o  13050  ruclem6  16283  ruclem8  16285  ruclem9  16286  ruclem12  16289  eucalgval  16629  eucalginv  16631  eucalglt  16632  eucalg  16634  qnumdenbi  16791  isstruct2  17196  xpsff1o  17627  comfffval2  17759  comfeq  17764  idfucl  17945  funcpropd  17967  coapm  18138  xpccatid  18257  1stfcl  18266  2ndfcl  18267  1st2ndprf  18275  xpcpropd  18278  evlfcl  18292  hofcl  18329  hofpropd  18337  yonedalem3  18350  gsum2dlem2  20013  mdetunilem9  22647  tx1cn  23638  tx2cn  23639  txdis  23661  txlly  23665  txnlly  23666  txhaus  23676  txkgen  23681  txconn  23718  utop3cls  24281  ucnima  24311  fmucndlem  24321  psmetxrge0  24344  imasdsf1olem  24404  cnheiborlem  25005  caublcls  25362  bcthlem1  25377  bcthlem2  25378  bcthlem4  25380  bcthlem5  25381  ovolfcl  25520  ovolfioo  25521  ovolficc  25522  ovolficcss  25523  ovolfsval  25524  ovolicc2lem1  25571  ovolicc2lem5  25575  ovolfs2  25625  uniiccdif  25632  uniioovol  25633  uniiccvol  25634  uniioombllem2a  25636  uniioombllem2  25637  uniioombllem3a  25638  uniioombllem3  25639  uniioombllem4  25640  uniioombllem5  25641  uniioombllem6  25642  dyadmbl  25654  fsumvma  27275  opreu2reuALT  32505  ofpreima  32683  ofpreima2  32684  erler  33237  1stmbfm  34225  2ndmbfm  34226  sibfof  34305  oddpwdcv  34320  txsconnlem  35208  mpst123  35508  bj-elid4  37134  bj-elid6  37136  poimirlem4  37584  poimirlem26  37606  poimirlem27  37607  mblfinlem1  37617  mblfinlem2  37618  ftc2nc  37662  heiborlem8  37778  dvhgrp  41064  dvhlveclem  41065  fvovco  45100  dvnprodlem1  45867  volioof  45908  fvvolioof  45910  fvvolicof  45912  etransclem44  46199  ovolval3  46568  ovolval4lem1  46570  ovolval5lem2  46574  ovnovollem1  46577  ovnovollem2  46578  smfpimbor1lem1  46719  rrx2xpref1o  48452