Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemsv1 32996
Description: Lemma for eulerpart 33022. Value of the sum of a partition ๐ด. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r ๐‘… = {๐‘“ โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
eulerpartlems.s ๐‘† = (๐‘“ โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ ๐‘…) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsv1 (๐ด โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ ๐‘…) โ†’ (๐‘†โ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘˜,๐ด   ๐‘…,๐‘“,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘“,๐‘˜)

Proof of Theorem eulerpartlemsv1
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.s . . 3 ๐‘† = (๐‘“ โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ ๐‘…) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜))
21a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ ๐‘…) โ†’ ๐‘† = (๐‘“ โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ ๐‘…) โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜)))
3 simplr 768 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ ๐‘…) โˆง ๐‘“ = ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘“ = ๐ด)
43fveq1d 6849 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ ๐‘…) โˆง ๐‘“ = ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘˜) = (๐ดโ€˜๐‘˜))
54oveq1d 7377 . . 3 (((๐ด โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ ๐‘…) โˆง ๐‘“ = ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜) = ((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜))
65sumeq2dv 15595 . 2 ((๐ด โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ ๐‘…) โˆง ๐‘“ = ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜))
7 id 22 . 2 (๐ด โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ ๐‘…) โ†’ ๐ด โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ ๐‘…))
8 sumex 15579 . . 3 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜) โˆˆ V
98a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ ๐‘…) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜) โˆˆ V)
102, 6, 7, 9fvmptd 6960 1 (๐ด โˆˆ ((โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฉ ๐‘…) โ†’ (๐‘†โ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2714  Vcvv 3448   โˆฉ cin 3914   โ†ฆ cmpt 5193  โ—กccnv 5637   โ€œ cima 5641  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โ†‘m cmap 8772  Fincfn 8890   ยท cmul 11063  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  ฮฃcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv2  32998  eulerpartlemsf  32999  eulerpartlems  33000  eulerpartlemsv3  33001  eulerpartlemn  33021
  Copyright terms: Public domain W3C validator