Theorem eulerpartlemsv1 30952

Description: Lemma for eulerpart 30978. Value of the sum of a partition 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemsv1	⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem eulerpartlemsv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘)))
3		simplr 785	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑓 = 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑓 = 𝐴)
4	3	fveq1d 6435	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑓 = 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
5	4	oveq1d 6920	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑓 = 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
6	5	sumeq2dv 14810	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑓 = 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
7		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅))
8		sumex 14795	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ V)
10	2, 6, 7, 9	fvmptd 6535	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  {cab 2811  Vcvv 3414   ∩ cin 3797   ↦ cmpt 4952  ^◡ccnv 5341   “ cima 5345  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ↑_𝑚 cmap 8122  Fincfn 8222   · cmul 10257  ℕcn 11350  ℕ₀cn0 11618  Σcsu 14793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-seq 13096  df-sum 14794

This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv2  30954  eulerpartlemsf  30955  eulerpartlems  30956  eulerpartlemsv3  30957  eulerpartlemn  30977