Theorem eulerpartlemsv1 32223

Description: Lemma for eulerpart 32249. Value of the sum of a partition 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemsv1	⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem eulerpartlemsv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘)))
3		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑓 = 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑓 = 𝐴)
4	3	fveq1d 6758	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑓 = 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
5	4	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑓 = 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
6	5	sumeq2dv 15343	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑓 = 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
7		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅))
8		sumex 15327	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ V)
10	2, 6, 7, 9	fvmptd 6864	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ↦ cmpt 5153  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691   · cmul 10807  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  Σcsu 15325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-sum 15326

This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv2  32225  eulerpartlemsf  32226  eulerpartlems  32227  eulerpartlemsv3  32228  eulerpartlemn  32248