Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemsv1 31671
 Description: Lemma for eulerpart 31697. Value of the sum of a partition 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsv1 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem eulerpartlemsv1
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.s . . 3 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
21a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘)))
3 simplr 768 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑓 = 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑓 = 𝐴)
43fveq1d 6663 . . . 4 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑓 = 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) = (𝐴𝑘))
54oveq1d 7164 . . 3 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑓 = 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑓𝑘) · 𝑘) = ((𝐴𝑘) · 𝑘))
65sumeq2dv 15060 . 2 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑓 = 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
7 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅))
8 sumex 15044 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) ∈ V
98a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) ∈ V)
102, 6, 7, 9fvmptd 6766 1 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {cab 2802  Vcvv 3480   ∩ cin 3918   ↦ cmpt 5132  ◡ccnv 5541   “ cima 5545  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ↑m cmap 8402  Fincfn 8505   · cmul 10540  ℕcn 11634  ℕ0cn0 11894  Σcsu 15042 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-seq 13374  df-sum 15043 This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv2  31673  eulerpartlemsf  31674  eulerpartlems  31675  eulerpartlemsv3  31676  eulerpartlemn  31696
 Copyright terms: Public domain W3C validator