Theorem oninfint 43664

Description: The infimum of a non-empty class of ordinals is the intersection of that class. (Contributed by RP, 23-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oninfint	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = ∩ 𝐴)

Proof of Theorem oninfint

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 7729	. . 3 ⊢ E We On
2		weso 5622	. . 3 ⊢ ( E We On → E Or On)
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → E Or On)
4		oninton 7749	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)
5		onint 7744	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
6		intss1 4905	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑥)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑥)
8		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ On)
9	8	sselda 3921	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10		ontri1 6357	. . . . 5 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
11	4, 9, 10	syl2an2r 686	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
12	7, 11	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
13		epelg 5532	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ On → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
14	4, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
16	12, 15	mtbird 325	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 E ∩ 𝐴)
17	3, 4, 5, 16	infmin 9409	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = ∩ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∩ cint 4889   class class class wbr 5085   E cep 5530   Or wor 5538   We wwe 5583  Oncon0 6323  infcinf 9354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-cnv 5639  df-ord 6326  df-on 6327  df-iota 6454  df-riota 7324  df-sup 9355  df-inf 9356

This theorem is referenced by:  oninfunirab  43665