Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oninfint Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oninfint 42561
Description: The infimum of a non-empty class of ordinals is the intersection of that class. (Contributed by RP, 23-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
oninfint ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = 𝐴)

Proof of Theorem oninfint
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 epweon 7759 . . 3 E We On
2 weso 5660 . . 3 ( E We On → E Or On)
31, 2mp1i 13 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → E Or On)
4 oninton 7780 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
5 onint 7775 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
6 intss1 4960 . . . . 5 (𝑥𝐴 𝐴𝑥)
76adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴𝑥)
8 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ On)
98sselda 3977 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10 ontri1 6392 . . . . 5 (( 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ( 𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥 𝐴))
114, 9, 10syl2an2r 682 . . . 4 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → ( 𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥 𝐴))
127, 11mpbid 231 . . 3 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 𝐴)
13 epelg 5574 . . . . 5 ( 𝐴 ∈ On → (𝑥 E 𝐴𝑥 𝐴))
144, 13syl 17 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 E 𝐴𝑥 𝐴))
1514adantr 480 . . 3 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 E 𝐴𝑥 𝐴))
1612, 15mtbird 325 . 2 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 E 𝐴)
173, 4, 5, 16infmin 9491 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wss 3943  c0 4317   cint 4943   class class class wbr 5141   E cep 5572   Or wor 5580   We wwe 5623  Oncon0 6358  infcinf 9438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-cnv 5677  df-ord 6361  df-on 6362  df-iota 6489  df-riota 7361  df-sup 9439  df-inf 9440
This theorem is referenced by:  oninfunirab  42562
  Copyright terms: Public domain W3C validator