Theorem oninfint 43235

Description: The infimum of a non-empty class of ordinals is the intersection of that class. (Contributed by RP, 23-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oninfint	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = ∩ 𝐴)

Proof of Theorem oninfint

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 7774	. . 3 ⊢ E We On
2		weso 5650	. . 3 ⊢ ( E We On → E Or On)
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → E Or On)
4		oninton 7794	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)
5		onint 7789	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
6		intss1 4944	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑥)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑥)
8		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ On)
9	8	sselda 3963	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10		ontri1 6391	. . . . 5 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
11	4, 9, 10	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
12	7, 11	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
13		epelg 5559	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ On → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
14	4, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
16	12, 15	mtbird 325	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 E ∩ 𝐴)
17	3, 4, 5, 16	infmin 9513	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = ∩ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  ∩ cint 4927   class class class wbr 5124   E cep 5557   Or wor 5565   We wwe 5610  Oncon0 6357  infcinf 9458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-cnv 5667  df-ord 6360  df-on 6361  df-iota 6489  df-riota 7367  df-sup 9459  df-inf 9460

This theorem is referenced by:  oninfunirab  43236