Theorem oninfint 43232

Description: The infimum of a non-empty class of ordinals is the intersection of that class. (Contributed by RP, 23-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oninfint	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = ∩ 𝐴)

Proof of Theorem oninfint

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 7754	. . 3 ⊢ E We On
2		weso 5632	. . 3 ⊢ ( E We On → E Or On)
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → E Or On)
4		oninton 7774	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)
5		onint 7769	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
6		intss1 4930	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑥)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑥)
8		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ On)
9	8	sselda 3949	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10		ontri1 6369	. . . . 5 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
11	4, 9, 10	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
12	7, 11	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
13		epelg 5542	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ On → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
14	4, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
16	12, 15	mtbird 325	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 E ∩ 𝐴)
17	3, 4, 5, 16	infmin 9454	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = ∩ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∩ cint 4913   class class class wbr 5110   E cep 5540   Or wor 5548   We wwe 5593  Oncon0 6335  infcinf 9399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-cnv 5649  df-ord 6338  df-on 6339  df-iota 6467  df-riota 7347  df-sup 9400  df-inf 9401

This theorem is referenced by:  oninfunirab  43233