Theorem oninfint 44085

Description: The infimum of a non-empty class of ordinals is the intersection of that class. (Contributed by RP, 23-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oninfint	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = ∩ 𝐴)

Proof of Theorem oninfint

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 7778	. . 3 ⊢ E We On
2		weso 5650	. . 3 ⊢ ( E We On → E Or On)
3	1, 2	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → E Or On)
4		oninton 7798	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)
5		onint 7793	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
6		intss1 4926	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑥)
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑥)
8		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ On)
9	8	sselda 3934	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10		ontri1 6396	. . . . 5 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
11	4, 9, 10	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
12	7, 11	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
13		epelg 5560	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ On → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
14	4, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
16	12, 15	mtbird 328	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 E ∩ 𝐴)
17	3, 4, 5, 16	infmin 9470	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = ∩ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ∩ cint 4910   class class class wbr 5107   E cep 5558   Or wor 5566   We wwe 5611  Oncon0 6361  infcinf 9415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-cnv 5667  df-ord 6364  df-on 6365  df-iota 6493  df-riota 7374  df-sup 9416  df-inf 9417

This theorem is used by:  oninfunirab  44086