Theorem oninfint 43225

Description: The infimum of a non-empty class of ordinals is the intersection of that class. (Contributed by RP, 23-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oninfint	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = ∩ 𝐴)

Proof of Theorem oninfint

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 7751	. . 3 ⊢ E We On
2		weso 5629	. . 3 ⊢ ( E We On → E Or On)
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → E Or On)
4		oninton 7771	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)
5		onint 7766	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
6		intss1 4927	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑥)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑥)
8		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ On)
9	8	sselda 3946	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10		ontri1 6366	. . . . 5 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
11	4, 9, 10	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
12	7, 11	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
13		epelg 5539	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ On → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
14	4, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 E ∩ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
16	12, 15	mtbird 325	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 E ∩ 𝐴)
17	3, 4, 5, 16	infmin 9447	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = ∩ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ∩ cint 4910   class class class wbr 5107   E cep 5537   Or wor 5545   We wwe 5590  Oncon0 6332  infcinf 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-cnv 5646  df-ord 6335  df-on 6336  df-iota 6464  df-riota 7344  df-sup 9393  df-inf 9394

This theorem is referenced by:  oninfunirab  43226