MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmord 8628
Description: Ordering property of multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 22-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmord ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))

Proof of Theorem nnmord
StepHypRef Expression
1 nnmordi 8627 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
21ex 414 . . . 4 ((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))))
32impcomd 413 . . 3 ((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
433adant1 1131 . 2 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
5 ne0i 4333 . . . . . . . 8 ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โ‰  โˆ…)
6 nnm0r 8606 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…)
7 oveq1 7411 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo ๐ต))
87eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (๐ถ = โˆ… โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…))
96, 8syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) = โˆ…))
109necon3d 2962 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ต) โ‰  โˆ… โ†’ ๐ถ โ‰  โˆ…))
115, 10syl5 34 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ ๐ถ โ‰  โˆ…))
1211adantr 482 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ ๐ถ โ‰  โˆ…))
13 nnord 7858 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โ†’ Ord ๐ถ)
14 ord0eln0 6416 . . . . . . . 8 (Ord ๐ถ โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ถ โ‰  โˆ…))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ถ โ‰  โˆ…))
1615adantl 483 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ถ โ‰  โˆ…))
1712, 16sylibrd 259 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ))
18173adant1 1131 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ))
19 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต))
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต)))
21 nnmordi 8627 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด)))
22213adantl2 1168 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด)))
2320, 22orim12d 964 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
2423con3d 152 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
25 simpl3 1194 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ ฯ‰)
26 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐ด โˆˆ ฯ‰)
27 nnmcl 8608 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰)
2825, 26, 27syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰)
29 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐ต โˆˆ ฯ‰)
30 nnmcl 8608 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰)
3125, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰)
32 nnord 7858 . . . . . . . . 9 ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰ โ†’ Ord (๐ถ ยทo ๐ด))
33 nnord 7858 . . . . . . . . 9 ((๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰ โ†’ Ord (๐ถ ยทo ๐ต))
34 ordtri2 6396 . . . . . . . . 9 ((Ord (๐ถ ยทo ๐ด) โˆง Ord (๐ถ ยทo ๐ต)) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
3532, 33, 34syl2an 597 . . . . . . . 8 (((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
3628, 31, 35syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
37 nnord 7858 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ Ord ๐ด)
38 nnord 7858 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ Ord ๐ต)
39 ordtri2 6396 . . . . . . . . 9 ((Ord ๐ด โˆง Ord ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
4037, 38, 39syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
4126, 29, 40syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
4224, 36, 413imtr4d 294 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
4342ex 414 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)))
4443com23 86 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)))
4518, 44mpdd 43 . . 3 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
4645, 18jcad 514 . 2 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)))
474, 46impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ…c0 4321  Ord word 6360  (class class class)co 7404  ฯ‰com 7850   ยทo comu 8459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-oadd 8465  df-omul 8466
This theorem is referenced by:  nnmword  8629  nnneo  8650  ltmpi  10895
  Copyright terms: Public domain W3C validator