MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omord2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omord2 8566
Description: Ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omord2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))

Proof of Theorem omord2
StepHypRef Expression
1 omordi 8565 . . 3 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
213adantl1 1166 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
3 oveq2 7416 . . . . . 6 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต))
43a1i 11 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต)))
5 omordi 8565 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด)))
653adantl2 1167 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด)))
74, 6orim12d 963 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
87con3d 152 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
9 omcl 8535 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On)
10 omcl 8535 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On)
11 eloni 6374 . . . . . . . . 9 ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ถ ยทo ๐ด))
12 eloni 6374 . . . . . . . . 9 ((๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ถ ยทo ๐ต))
13 ordtri2 6399 . . . . . . . . 9 ((Ord (๐ถ ยทo ๐ด) โˆง Ord (๐ถ ยทo ๐ต)) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
1411, 12, 13syl2an 596 . . . . . . . 8 (((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
159, 10, 14syl2an 596 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On)) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
1615anandis 676 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ On โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On)) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
1716ancoms 459 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
18173impa 1110 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
1918adantr 481 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
20 eloni 6374 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ Ord ๐ด)
21 eloni 6374 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ On โ†’ Ord ๐ต)
22 ordtri2 6399 . . . . . 6 ((Ord ๐ด โˆง Ord ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
2320, 21, 22syl2an 596 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
24233adant3 1132 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
2524adantr 481 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
268, 19, 253imtr4d 293 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
272, 26impbid 211 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ…c0 4322  Ord word 6363  Oncon0 6364  (class class class)co 7408   ยทo comu 8463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-oadd 8469  df-omul 8470
This theorem is referenced by:  omord  8567  omword  8569  oeeui  8601  omabs  8649  omxpenlem  9072  cantnflt  9666  cnfcom  9694
  Copyright terms: Public domain W3C validator