MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omord2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omord2 8563
Description: Ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omord2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))

Proof of Theorem omord2
StepHypRef Expression
1 omordi 8562 . . 3 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
213adantl1 1163 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
3 oveq2 7410 . . . . . 6 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต))
43a1i 11 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต)))
5 omordi 8562 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด)))
653adantl2 1164 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด)))
74, 6orim12d 961 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
87con3d 152 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
9 omcl 8532 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On)
10 omcl 8532 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On)
11 eloni 6365 . . . . . . . . 9 ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ถ ยทo ๐ด))
12 eloni 6365 . . . . . . . . 9 ((๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ถ ยทo ๐ต))
13 ordtri2 6390 . . . . . . . . 9 ((Ord (๐ถ ยทo ๐ด) โˆง Ord (๐ถ ยทo ๐ต)) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
1411, 12, 13syl2an 595 . . . . . . . 8 (((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
159, 10, 14syl2an 595 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On)) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
1615anandis 675 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ On โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On)) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
1716ancoms 458 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
18173impa 1107 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
1918adantr 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
20 eloni 6365 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ Ord ๐ด)
21 eloni 6365 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ On โ†’ Ord ๐ต)
22 ordtri2 6390 . . . . . 6 ((Ord ๐ด โˆง Ord ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
2320, 21, 22syl2an 595 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
24233adant3 1129 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
2524adantr 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
268, 19, 253imtr4d 294 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
272, 26impbid 211 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ…c0 4315  Ord word 6354  Oncon0 6355  (class class class)co 7402   ยทo comu 8460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-oadd 8466  df-omul 8467
This theorem is referenced by:  omord  8564  omword  8566  oeeui  8598  omabs  8647  omxpenlem  9070  cantnflt  9664  cnfcom  9692
  Copyright terms: Public domain W3C validator