MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omord2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omord2 8582
Description: Ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omord2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))

Proof of Theorem omord2
StepHypRef Expression
1 omordi 8581 . . 3 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
213adantl1 1164 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
3 oveq2 7423 . . . . . 6 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต))
43a1i 11 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต)))
5 omordi 8581 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด)))
653adantl2 1165 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด)))
74, 6orim12d 963 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
87con3d 152 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
9 omcl 8551 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On)
10 omcl 8551 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On)
11 eloni 6374 . . . . . . . . 9 ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ถ ยทo ๐ด))
12 eloni 6374 . . . . . . . . 9 ((๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ถ ยทo ๐ต))
13 ordtri2 6399 . . . . . . . . 9 ((Ord (๐ถ ยทo ๐ด) โˆง Ord (๐ถ ยทo ๐ต)) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
1411, 12, 13syl2an 595 . . . . . . . 8 (((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
159, 10, 14syl2an 595 . . . . . . 7 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On)) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
1615anandis 677 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ On โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On)) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
1716ancoms 458 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
18173impa 1108 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
1918adantr 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†” ยฌ ((๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐ต) โˆจ (๐ถ ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ด))))
20 eloni 6374 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ Ord ๐ด)
21 eloni 6374 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ On โ†’ Ord ๐ต)
22 ordtri2 6399 . . . . . 6 ((Ord ๐ด โˆง Ord ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
2320, 21, 22syl2an 595 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
24233adant3 1130 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
2524adantr 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต โˆˆ ๐ด)))
268, 19, 253imtr4d 294 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต))
272, 26impbid 211 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ…c0 4319  Ord word 6363  Oncon0 6364  (class class class)co 7415   ยทo comu 8479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-oadd 8485  df-omul 8486
This theorem is referenced by:  omord  8583  omword  8585  oeeui  8617  omabs  8666  omxpenlem  9092  cantnflt  9690  cnfcom  9718
  Copyright terms: Public domain W3C validator