Theorem nnaord 8544

Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers, and its converse. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaord	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))

Proof of Theorem nnaord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordi 8543	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
2	1	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
3		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵)))
5		nnaordi 8543	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
6	5	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
7	4, 6	orim12d 967	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵) ∨ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴))))
8	7	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (¬ ((𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵) ∨ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)) → ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
9		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐶 ∈ ω))
10		ancom 460	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ (𝐶 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))
11		anandi 677	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ↔ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))
12	9, 10, 11	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))
13		nnacl 8536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ ω)
14		nnord 7814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 +o 𝐴) ∈ ω → Ord (𝐶 +o 𝐴))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → Ord (𝐶 +o 𝐴))
16		nnacl 8536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ ω)
17		nnord 7814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 +o 𝐵) ∈ ω → Ord (𝐶 +o 𝐵))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → Ord (𝐶 +o 𝐵))
19	15, 18	anim12i 614	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (Ord (𝐶 +o 𝐴) ∧ Ord (𝐶 +o 𝐵)))
20	12, 19	sylbi 217	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (Ord (𝐶 +o 𝐴) ∧ Ord (𝐶 +o 𝐵)))
21		ordtri2 6347	. . . 4 ⊢ ((Ord (𝐶 +o 𝐴) ∧ Ord (𝐶 +o 𝐵)) → ((𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵) ∨ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴))))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵) ∨ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴))))
23		nnord 7814	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
24		nnord 7814	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
25	23, 24	anim12i 614	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵))
26	25	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵))
27		ordtri2 6347	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
28	26, 27	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
29	8, 22, 28	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
30	2, 29	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ord word 6311  (class class class)co 7356  ωcom 7806   +_o coa 8391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-oadd 8398

This theorem is referenced by:  nnaordr  8545  nnaword  8552  nnaordex  8563  nnneo  8580  unfilem1  9204  ttrcltr  9626  ltapi  10815  1lt2pi  10817