Theorem nnaord 8228

Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers, and its converse. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaord	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))

Proof of Theorem nnaord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordi 8227	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
2	1	3adant1 1127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
3		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵)))
5		nnaordi 8227	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
6	5	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
7	4, 6	orim12d 962	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵) ∨ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴))))
8	7	con3d 155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (¬ ((𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵) ∨ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)) → ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
9		df-3an 1086	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐶 ∈ ω))
10		ancom 464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ (𝐶 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))
11		anandi 675	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ↔ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))
12	9, 10, 11	3bitri 300	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))
13		nnacl 8220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ ω)
14		nnord 7568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 +o 𝐴) ∈ ω → Ord (𝐶 +o 𝐴))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → Ord (𝐶 +o 𝐴))
16		nnacl 8220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ ω)
17		nnord 7568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 +o 𝐵) ∈ ω → Ord (𝐶 +o 𝐵))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → Ord (𝐶 +o 𝐵))
19	15, 18	anim12i 615	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (Ord (𝐶 +o 𝐴) ∧ Ord (𝐶 +o 𝐵)))
20	12, 19	sylbi 220	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (Ord (𝐶 +o 𝐴) ∧ Ord (𝐶 +o 𝐵)))
21		ordtri2 6194	. . . 4 ⊢ ((Ord (𝐶 +o 𝐴) ∧ Ord (𝐶 +o 𝐵)) → ((𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵) ∨ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴))))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵) ∨ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴))))
23		nnord 7568	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
24		nnord 7568	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
25	23, 24	anim12i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵))
26	25	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵))
27		ordtri2 6194	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
28	26, 27	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
29	8, 22, 28	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
30	2, 29	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Ord word 6158  (class class class)co 7135  ωcom 7560   +_o coa 8082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-oadd 8089

This theorem is referenced by:  nnaordr  8229  nnaword  8236  nnaordex  8247  nnneo  8261  unfilem1  8766  ltapi  10314  1lt2pi  10316