Theorem permaxnul 45453

Description: The Null Set Axiom ax-nul 5241 holds in permutation models. Part of Exercise II.9.2 of [Kunen2] p. 148. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
permmodel.1	⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
permmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
permaxnul	⊢ ∃𝑥∀𝑦 ¬ 𝑦𝑅𝑥

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem permaxnul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6847	. 2 ⊢ (◡𝐹‘∅) ∈ V
2		breq2 5090	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘∅) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑦𝑅(◡𝐹‘∅)))
3	2	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘∅) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑦𝑅(◡𝐹‘∅)))
4	3	albidv 1922	. 2 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘∅) → (∀𝑦 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦𝑅(◡𝐹‘∅)))
5		noel 4279	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ ∅
6		permmodel.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
7		permmodel.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
8		vex 3434	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		0ex 5242	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
10	6, 7, 8, 9	brpermmodelcnv 45449	. . . 4 ⊢ (𝑦𝑅(◡𝐹‘∅) ↔ 𝑦 ∈ ∅)
11	5, 10	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 𝑦𝑅(◡𝐹‘∅)
12	11	ax-gen 1797	. 2 ⊢ ∀𝑦 ¬ 𝑦𝑅(◡𝐹‘∅)
13	1, 4, 12	ceqsexv2d 3480	1 ⊢ ∃𝑥∀𝑦 ¬ 𝑦𝑅𝑥

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274   class class class wbr 5086   E cep 5523  ^◡ccnv 5623   ∘ ccom 5628  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-eprel 5524  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500

This theorem is referenced by: (None)