Theorem permaxnul 45717

Description: The Null Set Axiom ax-nul 5269 holds in permutation models. Part of Exercise II.9.2 of [Kunen2] p. 148. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
permmodel.1	⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
permmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
permaxnul	⊢ ∃𝑥∀𝑦 ¬ 𝑦𝑅𝑥

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem permaxnul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6894	. 2 ⊢ (◡𝐹‘∅) ∈ V
2		breq2 5113	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘∅) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑦𝑅(◡𝐹‘∅)))
3	2	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘∅) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑦𝑅(◡𝐹‘∅)))
4	3	albidv 1950	. 2 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘∅) → (∀𝑦 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦𝑅(◡𝐹‘∅)))
5		noel 4291	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ ∅
6		permmodel.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
7		permmodel.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
8		vex 3459	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		0ex 5270	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
10	6, 7, 8, 9	brpermmodelcnv 45713	. . . 4 ⊢ (𝑦𝑅(◡𝐹‘∅) ↔ 𝑦 ∈ ∅)
11	5, 10	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ 𝑦𝑅(◡𝐹‘∅)
12	11	ax-gen 1825	. 2 ⊢ ∀𝑦 ¬ 𝑦𝑅(◡𝐹‘∅)
13	1, 4, 12	ceqsexv2d 3504	1 ⊢ ∃𝑥∀𝑦 ¬ 𝑦𝑅𝑥

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286   class class class wbr 5109   E cep 5560  ^◡ccnv 5660   ∘ ccom 5665  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-eprel 5561  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544

This theorem is referenced by: (None)