Theorem permaxpow 45609

Description: The Axiom of Power Sets ax-pow 5337 holds in permutation models. Part of Exercise II.9.2 of [Kunen2] p. 148. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
permmodel.1	⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
permmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
permaxpow	⊢ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑦,𝐹,𝑧,𝑤   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑤)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem permaxpow

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6895	. 2 ⊢ (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ∈ V
2		breq2 5117	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))))
3	2	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → ((∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))))
4	3	albidv 1947	. 2 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → (∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))))
5		permmodel.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
6		permmodel.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
7		vex 3467	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
8		dff1o3 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V ↔ (𝐹:V–onto→V ∧ Fun ◡𝐹))
9	5, 8	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:V–onto→V ∧ Fun ◡𝐹)
10	9	simpri 490	. . . . . . 7 ⊢ Fun ◡𝐹
11		fvex 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
12	11	pwex 5352	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ∈ V
13	12	funimaex 6624	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ∈ V)
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ∈ V
15	5, 6, 7, 14	brpermmodelcnv 45604	. . . . 5 ⊢ (𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))
16		f1ofn 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V → 𝐹 Fn V)
17	5, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 Fn V
18		elpreima 7054	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn V → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))
20	7, 19	mpbiran 721	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))
21	15, 20	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))
22		df-ss 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
23		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑧) ∈ V
24	23	elpw 4571	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑧) ⊆ (𝐹‘𝑥))
25		vex 3467	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
26	5, 6, 25, 7	brpermmodel 45603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧))
27		vex 3467	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	5, 6, 25, 27	brpermmodel 45603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤𝑅𝑥 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥))
29	26, 28	imbi12i 353	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
30	29	albii 1846	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
31	22, 24, 30	3bitr4i 306	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥))
32	21, 31	sylbbr 239	. . 3 ⊢ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
33	32	ax-gen 1822	. 2 ⊢ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
34	1, 4, 33	ceqsexv2d 3512	1 ⊢ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1565   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113   E cep 5561  ^◡ccnv 5661   “ cima 5665   ∘ ccom 5666  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-eprel 5562  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545

This theorem is referenced by: (None)