Theorem permaxpow 44961

Description: The Axiom of Power Sets ax-pow 5332 holds in permutation models. Part of Exercise II.9.2 of [Kunen2] p. 148. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
permmodel.1	⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
permmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
permaxpow	⊢ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑦,𝐹,𝑧,𝑤   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑤)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem permaxpow

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6885	. 2 ⊢ (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ∈ V
2		breq2 5120	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → ((∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))))
4	3	albidv 1919	. 2 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → (∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))))
5		permmodel.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
6		permmodel.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
7		vex 3461	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
8		dff1o3 6820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V ↔ (𝐹:V–onto→V ∧ Fun ◡𝐹))
9	5, 8	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:V–onto→V ∧ Fun ◡𝐹)
10	9	simpri 485	. . . . . . 7 ⊢ Fun ◡𝐹
11		fvex 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
12	11	pwex 5347	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ∈ V
13	12	funimaex 6621	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ∈ V)
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ∈ V
15	5, 6, 7, 14	brpermmodelcnv 44956	. . . . 5 ⊢ (𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))
16		f1ofn 6815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V → 𝐹 Fn V)
17	5, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 Fn V
18		elpreima 7044	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn V → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))
20	7, 19	mpbiran 709	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))
21	15, 20	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))
22		df-ss 3941	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
23		fvex 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑧) ∈ V
24	23	elpw 4577	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑧) ⊆ (𝐹‘𝑥))
25		vex 3461	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
26	5, 6, 25, 7	brpermmodel 44955	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧))
27		vex 3461	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	5, 6, 25, 27	brpermmodel 44955	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤𝑅𝑥 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥))
29	26, 28	imbi12i 350	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
30	29	albii 1818	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
31	22, 24, 30	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥))
32	21, 31	sylbbr 236	. . 3 ⊢ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
33	32	ax-gen 1794	. 2 ⊢ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
34	1, 4, 33	ceqsexv2d 3510	1 ⊢ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1537   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  Vcvv 3457   ⊆ wss 3924  𝒫 cpw 4573   class class class wbr 5116   E cep 5549  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654   ∘ ccom 5655  Fun wfun 6521   Fn wfn 6522  –onto→wfo 6525  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3414  df-v 3459  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-br 5117  df-opab 5179  df-id 5545  df-eprel 5550  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535

This theorem is referenced by: (None)