Theorem permaxpow 44992

Description: The Axiom of Power Sets ax-pow 5322 holds in permutation models. Part of Exercise II.9.2 of [Kunen2] p. 148. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
permmodel.1	⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
permmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
permaxpow	⊢ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑦,𝐹,𝑧,𝑤   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑤)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem permaxpow

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6873	. 2 ⊢ (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ∈ V
2		breq2 5113	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → ((∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))))
4	3	albidv 1920	. 2 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → (∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))))
5		permmodel.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
6		permmodel.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
7		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
8		dff1o3 6808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V ↔ (𝐹:V–onto→V ∧ Fun ◡𝐹))
9	5, 8	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:V–onto→V ∧ Fun ◡𝐹)
10	9	simpri 485	. . . . . . 7 ⊢ Fun ◡𝐹
11		fvex 6873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
12	11	pwex 5337	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ∈ V
13	12	funimaex 6607	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ∈ V)
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ∈ V
15	5, 6, 7, 14	brpermmodelcnv 44987	. . . . 5 ⊢ (𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))
16		f1ofn 6803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V → 𝐹 Fn V)
17	5, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 Fn V
18		elpreima 7032	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn V → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))
20	7, 19	mpbiran 709	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))
21	15, 20	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))
22		df-ss 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
23		fvex 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑧) ∈ V
24	23	elpw 4569	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑧) ⊆ (𝐹‘𝑥))
25		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
26	5, 6, 25, 7	brpermmodel 44986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧))
27		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	5, 6, 25, 27	brpermmodel 44986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤𝑅𝑥 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥))
29	26, 28	imbi12i 350	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
30	29	albii 1819	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
31	22, 24, 30	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥))
32	21, 31	sylbbr 236	. . 3 ⊢ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
33	32	ax-gen 1795	. 2 ⊢ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
34	1, 4, 33	ceqsexv2d 3502	1 ⊢ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3916  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5109   E cep 5539  ^◡ccnv 5639   “ cima 5643   ∘ ccom 5644  Fun wfun 6507   Fn wfn 6508  –onto→wfo 6511  –1-1-onto→wf1o 6512  ‘cfv 6513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-eprel 5540  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521

This theorem is referenced by: (None)