Theorem permaxpow 45582

Description: The Axiom of Power Sets ax-pow 5322 holds in permutation models. Part of Exercise II.9.2 of [Kunen2] p. 148. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
permmodel.1	⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
permmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
permaxpow	⊢ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑦,𝐹,𝑧,𝑤   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑤)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem permaxpow

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6880	. 2 ⊢ (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ∈ V
2		breq2 5104	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))))
3	2	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → ((∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))))
4	3	albidv 1940	. 2 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → (∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))))
5		permmodel.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
6		permmodel.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
7		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
8		dff1o3 6813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V ↔ (𝐹:V–onto→V ∧ Fun ◡𝐹))
9	5, 8	mpbi 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:V–onto→V ∧ Fun ◡𝐹)
10	9	simpri 489	. . . . . . 7 ⊢ Fun ◡𝐹
11		fvex 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
12	11	pwex 5337	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ∈ V
13	12	funimaex 6609	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ∈ V)
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ∈ V
15	5, 6, 7, 14	brpermmodelcnv 45577	. . . . 5 ⊢ (𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))
16		f1ofn 6807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V → 𝐹 Fn V)
17	5, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 Fn V
18		elpreima 7039	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn V → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))
20	7, 19	mpbiran 719	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))
21	15, 20	bitri 277	. . . 4 ⊢ (𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))
22		df-ss 3921	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
23		fvex 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑧) ∈ V
24	23	elpw 4559	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑧) ⊆ (𝐹‘𝑥))
25		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
26	5, 6, 25, 7	brpermmodel 45576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧))
27		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	5, 6, 25, 27	brpermmodel 45576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤𝑅𝑥 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥))
29	26, 28	imbi12i 352	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
30	29	albii 1839	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
31	22, 24, 30	3bitr4i 305	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥))
32	21, 31	sylbbr 238	. . 3 ⊢ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
33	32	ax-gen 1815	. 2 ⊢ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
34	1, 4, 33	ceqsexv2d 3503	1 ⊢ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399  ∀wal 1558   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4555   class class class wbr 5100   E cep 5546  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650   ∘ ccom 5651  Fun wfun 6515   Fn wfn 6516  –onto→wfo 6519  –1-1-onto→wf1o 6520  ‘cfv 6521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-eprel 5547  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529

This theorem is referenced by: (None)