Theorem permaxpow 45546

Description: The Axiom of Power Sets ax-pow 5319 holds in permutation models. Part of Exercise II.9.2 of [Kunen2] p. 148. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
permmodel.1	⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
permmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
permaxpow	⊢ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑦,𝐹,𝑧,𝑤   𝑦,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑤)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem permaxpow

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6875	. 2 ⊢ (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ∈ V
2		breq2 5101	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))))
3	2	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → ((∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦) ↔ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))))
4	3	albidv 1939	. 2 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) → (∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))))
5		permmodel.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
6		permmodel.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
7		vex 3457	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
8		dff1o3 6808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V ↔ (𝐹:V–onto→V ∧ Fun ◡𝐹))
9	5, 8	mpbi 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:V–onto→V ∧ Fun ◡𝐹)
10	9	simpri 489	. . . . . . 7 ⊢ Fun ◡𝐹
11		fvex 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
12	11	pwex 5334	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ∈ V
13	12	funimaex 6604	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ∈ V)
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ∈ V
15	5, 6, 7, 14	brpermmodelcnv 45541	. . . . 5 ⊢ (𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))
16		f1ofn 6802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V → 𝐹 Fn V)
17	5, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 Fn V
18		elpreima 7034	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn V → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥)))
20	7, 19	mpbiran 719	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))
21	15, 20	bitri 277	. . . 4 ⊢ (𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥))
22		df-ss 3919	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ⊆ (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
23		fvex 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑧) ∈ V
24	23	elpw 4556	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑧) ⊆ (𝐹‘𝑥))
25		vex 3457	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
26	5, 6, 25, 7	brpermmodel 45540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧))
27		vex 3457	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	5, 6, 25, 27	brpermmodel 45540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤𝑅𝑥 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥))
29	26, 28	imbi12i 352	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
30	29	albii 1838	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ (𝐹‘𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑥)))
31	22, 24, 30	3bitr4i 305	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥))
32	21, 31	sylbbr 238	. . 3 ⊢ (∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
33	32	ax-gen 1814	. 2 ⊢ ∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅(◡𝐹‘(◡𝐹 “ 𝒫 (𝐹‘𝑥))))
34	1, 4, 33	ceqsexv2d 3502	1 ⊢ ∃𝑦∀𝑧(∀𝑤(𝑤𝑅𝑧 → 𝑤𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399  ∀wal 1557   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4552   class class class wbr 5097   E cep 5542  ^◡ccnv 5642   “ cima 5646   ∘ ccom 5647  Fun wfun 6510   Fn wfn 6511  –onto→wfo 6514  –1-1-onto→wf1o 6515  ‘cfv 6516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5538  df-eprel 5543  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524

This theorem is referenced by: (None)