Theorem pimconstlt0 47805

Description: Given a constant function, its preimage with respect to an unbounded below, open interval, with upper bound less than or equal to the constant, is the empty set. Second part of Proposition 121E (a) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimconstlt0.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimconstlt0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
pimconstlt0.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
pimconstlt0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
pimconstlt0.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pimconstlt0	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐶} = ∅)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pimconstlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimconstlt0.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		pimconstlt0.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
3	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≤ 𝐵)
4		pimconstlt0.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
6		pimconstlt0.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	5, 7	fvmpt2d 7008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
9	3, 8	breqtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≤ (𝐹‘𝑥))
10		pimconstlt0.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12	8, 7	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11363	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
14	11, 13	xrlenltd 11379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝐶))
15	9, 14	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝐶)
16	15	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝐶))
17	1, 16	ralrimi 3260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝐶)
18		rabeq0 4337	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐶} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝐶)
19	17, 18	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐶} = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  ∅c0 4278   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  ℝcr 11203  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ≤ cle 11348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-xr 11351  df-le 11353

This theorem is used by:  smfconst  47853