Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfconst 46672
Description: Given a sigma-algebra over a base set X, every partial real-valued constant function is measurable. Proposition 121E (a) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfconst.x 𝑥𝜑
smfconst.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfconst.a (𝜑𝐴 𝑆)
smfconst.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
smfconst.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
smfconst (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfconst
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfconst.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2 nfmpt1 5274 . . 3 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
31, 2nfcxfr 2906 . 2 𝑥𝐹
4 nfv 1913 . 2 𝑎𝜑
5 smfconst.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 smfconst.a . 2 (𝜑𝐴 𝑆)
7 smfconst.x . . 3 𝑥𝜑
8 smfconst.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
107, 9, 1fmptdf 7153 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
11 nfv 1913 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
127, 11nfan 1898 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
13 nfv 1913 . . . . . . 7 𝑥 𝐵 < 𝑎
1412, 13nfan 1898 . . . . . 6 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎)
158ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 < 𝑎)
1714, 15, 1, 16pimconstlt1 46625 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = 𝐴)
18 eqidd 2741 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = 𝐴)
19 sseqin2 4244 . . . . . . . 8 (𝐴 𝑆 ↔ ( 𝑆𝐴) = 𝐴)
206, 19sylib 218 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝑆𝐴) = 𝐴)
2120eqcomd 2746 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ( 𝑆𝐴))
2221ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = ( 𝑆𝐴))
2317, 18, 223eqtrd 2784 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = ( 𝑆𝐴))
245ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
255uniexd 7779 . . . . . . 7 (𝜑 𝑆 ∈ V)
2625, 6ssexd 5342 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
2726ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 ∈ V)
2824salunid 46276 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝑆𝑆)
29 eqid 2740 . . . . 5 ( 𝑆𝐴) = ( 𝑆𝐴)
3024, 27, 28, 29elrestd 45012 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → ( 𝑆𝐴) ∈ (𝑆t 𝐴))
3123, 30eqeltrd 2844 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
32 nfv 1913 . . . . . 6 𝑥 ¬ 𝐵 < 𝑎
3312, 32nfan 1898 . . . . 5 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎)
348ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
35 rexr 11338 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
3635ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ*)
37 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ¬ 𝐵 < 𝑎)
38 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
3938, 34lenltd 11438 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → (𝑎𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑎))
4037, 39mpbird 257 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎𝐵)
4133, 34, 1, 36, 40pimconstlt0 46624 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = ∅)
42 eqid 2740 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐴) = (𝑆t 𝐴)
435, 26, 42subsalsal 46282 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) ∈ SAlg)
44430sald 46273 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐴))
4544ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ∅ ∈ (𝑆t 𝐴))
4641, 45eqeltrd 2844 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
4731, 46pm2.61dan 812 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
483, 4, 5, 6, 10, 47issmfdf 46660 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1781  wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488  cin 3975  wss 3976  c0 4352   cuni 4931   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cfv 6575  (class class class)co 7450  cr 11185  *cxr 11325   < clt 11326  cle 11327  t crest 17482  SAlgcsalg 46231  SMblFncsmblfn 46618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712  ax-cc 10506  ax-ac2 10534  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-map 8888  df-pm 8889  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-card 10010  df-acn 10013  df-ac 10187  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-ioo 13413  df-ico 13415  df-rest 17484  df-salg 46232  df-smblfn 46619
This theorem is referenced by:  smfmbfcex  46683  smfmulc1  46719
  Copyright terms: Public domain W3C validator