Theorem smfconst 47580

Description: Given a sigma-algebra over a base set X, every partial real-valued constant function is measurable. Proposition 121E (a) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfconst.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfconst.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
smfconst.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
smfconst.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smfconst	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfconst

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfconst.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		nfmpt1 5204	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	nfcxfr 2920	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
4		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
5		smfconst.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smfconst.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
7		smfconst.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
8		smfconst.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	7, 9, 1	fmptdf 7111	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
11		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
12	7, 11	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
13		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 < 𝑎
14	12, 13	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎)
15	8	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
16		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 < 𝑎)
17	14, 15, 1, 16	pimconstlt1 47533	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = 𝐴)
18		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = 𝐴)
19		sseqin2 4169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
20	6, 19	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
21	20	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
22	21	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
23	17, 18, 22	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
24	5	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
25	5	uniexd 7745	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
26	25, 6	ssexd 5289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
27	26	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 ∈ V)
28	24	salunid 47184	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
29		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴)
30	24, 27, 28, 29	elrestd 45943	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
31	23, 30	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
32		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ 𝐵 < 𝑎
33	12, 32	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎)
34	8	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		rexr 11282	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
36	35	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ*)
37		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ¬ 𝐵 < 𝑎)
38		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
39	38, 34	lenltd 11383	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → (𝑎 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑎))
40	37, 39	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ≤ 𝐵)
41	33, 34, 1, 36, 40	pimconstlt0 47532	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = ∅)
42		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t 𝐴)
43	5, 26, 42	subsalsal 47190	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐴) ∈ SAlg)
44	43	0sald 47181	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
45	44	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
46	41, 45	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
47	31, 46	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
48	3, 4, 5, 6, 10, 47	issmfdf 47568	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271   ↾_t crest 17508  SAlgcsalg 47139  SMblFncsmblfn 47526

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-ioo 13405  df-ico 13407  df-rest 17510  df-salg 47140  df-smblfn 47527

This theorem is used by:  smfmbfcex  47591  smfmulc1  47627