Theorem smfconst 41478

Description: Given a sigma-algebra over a base set X, every partial real-valued constant function is measurable. Proposition 121E (a) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfconst.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfconst.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
smfconst.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
smfconst.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smfconst	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfconst

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfconst.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		nfmpt1 4881	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	nfcxfr 2911	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
4		nfv 1995	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
5		smfconst.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smfconst.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
7		smfconst.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
8		smfconst.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	7, 9, 1	fmptdf 6529	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
11		nfv 1995	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
12	7, 11	nfan 1980	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
13		nfv 1995	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 < 𝑎
14	12, 13	nfan 1980	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎)
15	8	ad2antrr 705	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
16		simpr 471	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 < 𝑎)
17	14, 15, 1, 16	pimconstlt1 41435	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = 𝐴)
18		eqidd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = 𝐴)
19		sseqin2 3968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
20	6, 19	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
21	20	eqcomd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
22	21	ad2antrr 705	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
23	17, 18, 22	3eqtrd 2809	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
24	5	ad2antrr 705	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
25	5	uniexd 39802	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
26	25, 6	ssexd 4939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
27	26	ad2antrr 705	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 ∈ V)
28	24	salunid 41088	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
29		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴)
30	24, 27, 28, 29	elrestd 39812	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
31	23, 30	eqeltrd 2850	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
32		nfv 1995	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ 𝐵 < 𝑎
33	12, 32	nfan 1980	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎)
34	8	ad2antrr 705	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		rexr 10287	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
36	35	ad2antlr 706	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ*)
37		simpr 471	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ¬ 𝐵 < 𝑎)
38		simplr 752	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
39	38, 34	lenltd 10385	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → (𝑎 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑎))
40	37, 39	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ≤ 𝐵)
41	33, 34, 1, 36, 40	pimconstlt0 41434	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = ∅)
42		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t 𝐴)
43	5, 26, 42	subsalsal 41094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐴) ∈ SAlg)
44	43	0sald 41085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
45	44	ad2antrr 705	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
46	41, 45	eqeltrd 2850	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
47	31, 46	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
48	3, 4, 5, 6, 10, 47	issmfdf 41466	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631  Ⅎwnf 1856   ∈ wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063  ∪ cuni 4574   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℝcr 10137  ℝ^*cxr 10275   < clt 10276   ≤ cle 10277   ↾_t crest 16289  SAlgcsalg 41045  SMblFncsmblfn 41429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-ac2 9487  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-acn 8968  df-ac 9139  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-rest 16291  df-salg 41046  df-smblfn 41430

This theorem is referenced by:  smfmbfcex  41488  smfmulc1  41523