Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfconst 45465
Description: Given a sigma-algebra over a base set X, every partial real-valued constant function is measurable. Proposition 121E (a) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfconst.x β„²π‘₯πœ‘
smfconst.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfconst.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
smfconst.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
smfconst.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smfconst (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem smfconst
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfconst.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
2 nfmpt1 5257 . . 3 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
31, 2nfcxfr 2902 . 2 β„²π‘₯𝐹
4 nfv 1918 . 2 β„²π‘Žπœ‘
5 smfconst.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
6 smfconst.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
7 smfconst.x . . 3 β„²π‘₯πœ‘
8 smfconst.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
98adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
107, 9, 1fmptdf 7117 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
11 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ π‘Ž ∈ ℝ
127, 11nfan 1903 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ)
13 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝐡 < π‘Ž
1412, 13nfan 1903 . . . . . 6 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž)
158ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
16 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐡 < π‘Ž)
1714, 15, 1, 16pimconstlt1 45418 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = 𝐴)
18 eqidd 2734 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐴 = 𝐴)
19 sseqin2 4216 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆 ↔ (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
206, 19sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
2120eqcomd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴))
2221ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐴 = (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴))
2317, 18, 223eqtrd 2777 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴))
245ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
255uniexd 7732 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
2625, 6ssexd 5325 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
2726ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ V)
2824salunid 45069 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
29 eqid 2733 . . . . 5 (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) = (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴)
3024, 27, 28, 29elrestd 43797 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
3123, 30eqeltrd 2834 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
32 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘₯ Β¬ 𝐡 < π‘Ž
3312, 32nfan 1903 . . . . 5 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž)
348ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
35 rexr 11260 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
3635ad2antlr 726 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
37 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ Β¬ 𝐡 < π‘Ž)
38 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
3938, 34lenltd 11360 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ (π‘Ž ≀ 𝐡 ↔ Β¬ 𝐡 < π‘Ž))
4037, 39mpbird 257 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ π‘Ž ≀ 𝐡)
4133, 34, 1, 36, 40pimconstlt0 45417 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = βˆ…)
42 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑆 β†Ύt 𝐴) = (𝑆 β†Ύt 𝐴)
435, 26, 42subsalsal 45075 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐴) ∈ SAlg)
44430sald 45066 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
4544ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ βˆ… ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
4641, 45eqeltrd 2834 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
4731, 46pm2.61dan 812 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
483, 4, 5, 6, 10, 47issmfdf 45453 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   β†Ύt crest 17366  SAlgcsalg 45024  SMblFncsmblfn 45411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-rest 17368  df-salg 45025  df-smblfn 45412
This theorem is referenced by:  smfmbfcex  45476  smfmulc1  45512
  Copyright terms: Public domain W3C validator