Theorem smfconst 47389

Description: Given a sigma-algebra over a base set X, every partial real-valued constant function is measurable. Proposition 121E (a) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfconst.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfconst.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
smfconst.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
smfconst.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smfconst	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfconst

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfconst.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		nfmpt1 5214	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	nfcxfr 2929	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
4		nfv 1941	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
5		smfconst.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smfconst.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
7		smfconst.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
8		smfconst.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	7, 9, 1	fmptdf 7113	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
11		nfv 1941	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
12	7, 11	nfan 1926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
13		nfv 1941	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 < 𝑎
14	12, 13	nfan 1926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎)
15	8	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
16		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 < 𝑎)
17	14, 15, 1, 16	pimconstlt1 47342	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = 𝐴)
18		eqidd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = 𝐴)
19		sseqin2 4184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
20	6, 19	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
21	20	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
22	21	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
23	17, 18, 22	3eqtrd 2808	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
24	5	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
25	5	uniexd 7741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
26	25, 6	ssexd 5295	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
27	26	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 ∈ V)
28	24	salunid 46993	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
29		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴)
30	24, 27, 28, 29	elrestd 45752	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
31	23, 30	eqeltrd 2869	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
32		nfv 1941	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ 𝐵 < 𝑎
33	12, 32	nfan 1926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎)
34	8	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		rexr 11255	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
36	35	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ*)
37		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ¬ 𝐵 < 𝑎)
38		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
39	38, 34	lenltd 11356	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → (𝑎 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑎))
40	37, 39	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ≤ 𝐵)
41	33, 34, 1, 36, 40	pimconstlt0 47341	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = ∅)
42		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t 𝐴)
43	5, 26, 42	subsalsal 46999	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐴) ∈ SAlg)
44	43	0sald 46990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
45	44	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
46	41, 45	eqeltrd 2869	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
47	31, 46	pm2.61dan 824	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
48	3, 4, 5, 6, 10, 47	issmfdf 47377	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149  {crab 3423  Vcvv 3463   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ∪ cuni 4876   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243   ≤ cle 11244   ↾_t crest 17473  SAlgcsalg 46948  SMblFncsmblfn 47335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cc 10419  ax-ac2 10447  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-acn 9928  df-ac 10100  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-rest 17475  df-salg 46949  df-smblfn 47336

This theorem is referenced by:  smfmbfcex  47400  smfmulc1  47436