Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfconst 45076
Description: Given a sigma-algebra over a base set X, every partial real-valued constant function is measurable. Proposition 121E (a) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfconst.x β„²π‘₯πœ‘
smfconst.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfconst.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
smfconst.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
smfconst.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smfconst (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem smfconst
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfconst.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
2 nfmpt1 5214 . . 3 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
31, 2nfcxfr 2902 . 2 β„²π‘₯𝐹
4 nfv 1918 . 2 β„²π‘Žπœ‘
5 smfconst.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
6 smfconst.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
7 smfconst.x . . 3 β„²π‘₯πœ‘
8 smfconst.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
98adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
107, 9, 1fmptdf 7066 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
11 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ π‘Ž ∈ ℝ
127, 11nfan 1903 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ)
13 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝐡 < π‘Ž
1412, 13nfan 1903 . . . . . 6 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž)
158ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
16 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐡 < π‘Ž)
1714, 15, 1, 16pimconstlt1 45029 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = 𝐴)
18 eqidd 2734 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐴 = 𝐴)
19 sseqin2 4176 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆 ↔ (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
206, 19sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
2120eqcomd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴))
2221ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐴 = (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴))
2317, 18, 223eqtrd 2777 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴))
245ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
255uniexd 7680 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
2625, 6ssexd 5282 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
2726ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ V)
2824salunid 44680 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
29 eqid 2733 . . . . 5 (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) = (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴)
3024, 27, 28, 29elrestd 43406 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
3123, 30eqeltrd 2834 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
32 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘₯ Β¬ 𝐡 < π‘Ž
3312, 32nfan 1903 . . . . 5 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž)
348ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
35 rexr 11206 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
3635ad2antlr 726 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
37 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ Β¬ 𝐡 < π‘Ž)
38 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
3938, 34lenltd 11306 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ (π‘Ž ≀ 𝐡 ↔ Β¬ 𝐡 < π‘Ž))
4037, 39mpbird 257 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ π‘Ž ≀ 𝐡)
4133, 34, 1, 36, 40pimconstlt0 45028 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = βˆ…)
42 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑆 β†Ύt 𝐴) = (𝑆 β†Ύt 𝐴)
435, 26, 42subsalsal 44686 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐴) ∈ SAlg)
44430sald 44677 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
4544ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ βˆ… ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
4641, 45eqeltrd 2834 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
4731, 46pm2.61dan 812 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
483, 4, 5, 6, 10, 47issmfdf 45064 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   β†Ύt crest 17307  SAlgcsalg 44635  SMblFncsmblfn 45022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-rest 17309  df-salg 44636  df-smblfn 45023
This theorem is referenced by:  smfmbfcex  45087  smfmulc1  45123
  Copyright terms: Public domain W3C validator