Theorem smfconst 46857

Description: Given a sigma-algebra over a base set X, every partial real-valued constant function is measurable. Proposition 121E (a) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfconst.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfconst.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
smfconst.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
smfconst.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smfconst	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfconst

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfconst.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		nfmpt1 5188	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	nfcxfr 2892	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
4		nfv 1915	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
5		smfconst.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smfconst.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
7		smfconst.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
8		smfconst.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	7, 9, 1	fmptdf 7050	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
11		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
12	7, 11	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
13		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 < 𝑎
14	12, 13	nfan 1900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎)
15	8	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 < 𝑎)
17	14, 15, 1, 16	pimconstlt1 46810	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = 𝐴)
18		eqidd 2732	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = 𝐴)
19		sseqin2 4170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
20	6, 19	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
21	20	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
22	21	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
23	17, 18, 22	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
24	5	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
25	5	uniexd 7675	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
26	25, 6	ssexd 5260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
27	26	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 ∈ V)
28	24	salunid 46461	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
29		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴)
30	24, 27, 28, 29	elrestd 45215	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
31	23, 30	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
32		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ 𝐵 < 𝑎
33	12, 32	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎)
34	8	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		rexr 11158	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
36	35	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ*)
37		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ¬ 𝐵 < 𝑎)
38		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
39	38, 34	lenltd 11259	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → (𝑎 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑎))
40	37, 39	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ≤ 𝐵)
41	33, 34, 1, 36, 40	pimconstlt0 46809	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = ∅)
42		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t 𝐴)
43	5, 26, 42	subsalsal 46467	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐴) ∈ SAlg)
44	43	0sald 46458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
45	44	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
46	41, 45	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
47	31, 46	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
48	3, 4, 5, 6, 10, 47	issmfdf 46845	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147   ↾_t crest 17324  SAlgcsalg 46416  SMblFncsmblfn 46803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-ac2 10354  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-acn 9835  df-ac 10007  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-rest 17326  df-salg 46417  df-smblfn 46804

This theorem is referenced by:  smfmbfcex  46868  smfmulc1  46904