Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfconst 46275
Description: Given a sigma-algebra over a base set X, every partial real-valued constant function is measurable. Proposition 121E (a) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfconst.x 𝑥𝜑
smfconst.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfconst.a (𝜑𝐴 𝑆)
smfconst.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
smfconst.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
smfconst (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfconst
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfconst.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2 nfmpt1 5257 . . 3 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
31, 2nfcxfr 2889 . 2 𝑥𝐹
4 nfv 1909 . 2 𝑎𝜑
5 smfconst.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 smfconst.a . 2 (𝜑𝐴 𝑆)
7 smfconst.x . . 3 𝑥𝜑
8 smfconst.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
107, 9, 1fmptdf 7126 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
11 nfv 1909 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
127, 11nfan 1894 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
13 nfv 1909 . . . . . . 7 𝑥 𝐵 < 𝑎
1412, 13nfan 1894 . . . . . 6 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎)
158ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 simpr 483 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 < 𝑎)
1714, 15, 1, 16pimconstlt1 46228 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = 𝐴)
18 eqidd 2726 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = 𝐴)
19 sseqin2 4213 . . . . . . . 8 (𝐴 𝑆 ↔ ( 𝑆𝐴) = 𝐴)
206, 19sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝑆𝐴) = 𝐴)
2120eqcomd 2731 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ( 𝑆𝐴))
2221ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = ( 𝑆𝐴))
2317, 18, 223eqtrd 2769 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = ( 𝑆𝐴))
245ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
255uniexd 7748 . . . . . . 7 (𝜑 𝑆 ∈ V)
2625, 6ssexd 5325 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
2726ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 ∈ V)
2824salunid 45879 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝑆𝑆)
29 eqid 2725 . . . . 5 ( 𝑆𝐴) = ( 𝑆𝐴)
3024, 27, 28, 29elrestd 44614 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → ( 𝑆𝐴) ∈ (𝑆t 𝐴))
3123, 30eqeltrd 2825 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
32 nfv 1909 . . . . . 6 𝑥 ¬ 𝐵 < 𝑎
3312, 32nfan 1894 . . . . 5 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎)
348ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
35 rexr 11292 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
3635ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ*)
37 simpr 483 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ¬ 𝐵 < 𝑎)
38 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
3938, 34lenltd 11392 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → (𝑎𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑎))
4037, 39mpbird 256 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎𝐵)
4133, 34, 1, 36, 40pimconstlt0 46227 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = ∅)
42 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐴) = (𝑆t 𝐴)
435, 26, 42subsalsal 45885 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) ∈ SAlg)
44430sald 45876 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐴))
4544ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ∅ ∈ (𝑆t 𝐴))
4641, 45eqeltrd 2825 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
4731, 46pm2.61dan 811 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
483, 4, 5, 6, 10, 47issmfdf 46263 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461  cin 3943  wss 3944  c0 4322   cuni 4909   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  t crest 17405  SAlgcsalg 45834  SMblFncsmblfn 46221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cc 10460  ax-ac2 10488  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-acn 9967  df-ac 10141  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-rest 17407  df-salg 45835  df-smblfn 46222
This theorem is referenced by:  smfmbfcex  46286  smfmulc1  46322
  Copyright terms: Public domain W3C validator