Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfconst 45763
Description: Given a sigma-algebra over a base set X, every partial real-valued constant function is measurable. Proposition 121E (a) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfconst.x β„²π‘₯πœ‘
smfconst.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfconst.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
smfconst.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
smfconst.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smfconst (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem smfconst
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfconst.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
2 nfmpt1 5255 . . 3 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
31, 2nfcxfr 2899 . 2 β„²π‘₯𝐹
4 nfv 1915 . 2 β„²π‘Žπœ‘
5 smfconst.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
6 smfconst.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
7 smfconst.x . . 3 β„²π‘₯πœ‘
8 smfconst.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
98adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
107, 9, 1fmptdf 7117 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
11 nfv 1915 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ π‘Ž ∈ ℝ
127, 11nfan 1900 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ)
13 nfv 1915 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝐡 < π‘Ž
1412, 13nfan 1900 . . . . . 6 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž)
158ad2antrr 722 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
16 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐡 < π‘Ž)
1714, 15, 1, 16pimconstlt1 45716 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = 𝐴)
18 eqidd 2731 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐴 = 𝐴)
19 sseqin2 4214 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆 ↔ (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
206, 19sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
2120eqcomd 2736 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴))
2221ad2antrr 722 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐴 = (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴))
2317, 18, 223eqtrd 2774 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴))
245ad2antrr 722 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
255uniexd 7734 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
2625, 6ssexd 5323 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
2726ad2antrr 722 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ V)
2824salunid 45367 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
29 eqid 2730 . . . . 5 (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) = (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴)
3024, 27, 28, 29elrestd 44098 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
3123, 30eqeltrd 2831 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
32 nfv 1915 . . . . . 6 β„²π‘₯ Β¬ 𝐡 < π‘Ž
3312, 32nfan 1900 . . . . 5 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž)
348ad2antrr 722 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
35 rexr 11264 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
3635ad2antlr 723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
37 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ Β¬ 𝐡 < π‘Ž)
38 simplr 765 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
3938, 34lenltd 11364 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ (π‘Ž ≀ 𝐡 ↔ Β¬ 𝐡 < π‘Ž))
4037, 39mpbird 256 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ π‘Ž ≀ 𝐡)
4133, 34, 1, 36, 40pimconstlt0 45715 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = βˆ…)
42 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑆 β†Ύt 𝐴) = (𝑆 β†Ύt 𝐴)
435, 26, 42subsalsal 45373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐴) ∈ SAlg)
44430sald 45364 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
4544ad2antrr 722 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ βˆ… ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
4641, 45eqeltrd 2831 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐡 < π‘Ž) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
4731, 46pm2.61dan 809 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐴))
483, 4, 5, 6, 10, 47issmfdf 45751 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   β†Ύt crest 17370  SAlgcsalg 45322  SMblFncsmblfn 45709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-rest 17372  df-salg 45323  df-smblfn 45710
This theorem is referenced by:  smfmbfcex  45774  smfmulc1  45810
  Copyright terms: Public domain W3C validator