Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfconst 42889
Description: Given a sigma-algebra over a base set X, every partial real-valued constant function is measurable. Proposition 121E (a) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfconst.x 𝑥𝜑
smfconst.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfconst.a (𝜑𝐴 𝑆)
smfconst.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
smfconst.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
smfconst (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfconst
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfconst.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2 nfmpt1 5160 . . 3 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
31, 2nfcxfr 2979 . 2 𝑥𝐹
4 nfv 1908 . 2 𝑎𝜑
5 smfconst.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 smfconst.a . 2 (𝜑𝐴 𝑆)
7 smfconst.x . . 3 𝑥𝜑
8 smfconst.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
107, 9, 1fmptdf 6876 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
11 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
127, 11nfan 1893 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
13 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑥 𝐵 < 𝑎
1412, 13nfan 1893 . . . . . 6 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎)
158ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 < 𝑎)
1714, 15, 1, 16pimconstlt1 42846 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = 𝐴)
18 eqidd 2825 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = 𝐴)
19 sseqin2 4195 . . . . . . . 8 (𝐴 𝑆 ↔ ( 𝑆𝐴) = 𝐴)
206, 19sylib 219 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝑆𝐴) = 𝐴)
2120eqcomd 2830 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ( 𝑆𝐴))
2221ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = ( 𝑆𝐴))
2317, 18, 223eqtrd 2864 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = ( 𝑆𝐴))
245ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
255uniexd 41229 . . . . . . 7 (𝜑 𝑆 ∈ V)
2625, 6ssexd 5224 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
2726ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 ∈ V)
2824salunid 42499 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝑆𝑆)
29 eqid 2824 . . . . 5 ( 𝑆𝐴) = ( 𝑆𝐴)
3024, 27, 28, 29elrestd 41237 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → ( 𝑆𝐴) ∈ (𝑆t 𝐴))
3123, 30eqeltrd 2917 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
32 nfv 1908 . . . . . 6 𝑥 ¬ 𝐵 < 𝑎
3312, 32nfan 1893 . . . . 5 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎)
348ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
35 rexr 10679 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
3635ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ*)
37 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ¬ 𝐵 < 𝑎)
38 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
3938, 34lenltd 10778 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → (𝑎𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑎))
4037, 39mpbird 258 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎𝐵)
4133, 34, 1, 36, 40pimconstlt0 42845 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = ∅)
42 eqid 2824 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐴) = (𝑆t 𝐴)
435, 26, 42subsalsal 42505 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) ∈ SAlg)
44430sald 42496 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐴))
4544ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ∅ ∈ (𝑆t 𝐴))
4641, 45eqeltrd 2917 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
4731, 46pm2.61dan 809 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
483, 4, 5, 6, 10, 47issmfdf 42877 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2106  {crab 3146  Vcvv 3499  cin 3938  wss 3939  c0 4294   cuni 4836   class class class wbr 5062  cmpt 5142  cfv 6351  (class class class)co 7151  cr 10528  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  t crest 16686  SAlgcsalg 42456  SMblFncsmblfn 42840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-rest 16688  df-salg 42457  df-smblfn 42841
This theorem is referenced by:  smfmbfcex  42899  smfmulc1  42934
  Copyright terms: Public domain W3C validator