Theorem smfconst 46200

Description: Given a sigma-algebra over a base set X, every partial real-valued constant function is measurable. Proposition 121E (a) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfconst.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfconst.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
smfconst.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
smfconst.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smfconst	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfconst

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfconst.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		nfmpt1 5256	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	nfcxfr 2890	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
4		nfv 1909	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
5		smfconst.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smfconst.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
7		smfconst.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
8		smfconst.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	7, 9, 1	fmptdf 7124	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
11		nfv 1909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
12	7, 11	nfan 1894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
13		nfv 1909	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 < 𝑎
14	12, 13	nfan 1894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎)
15	8	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
16		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 < 𝑎)
17	14, 15, 1, 16	pimconstlt1 46153	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = 𝐴)
18		eqidd 2726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = 𝐴)
19		sseqin2 4214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
20	6, 19	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
21	20	eqcomd 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
22	21	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
23	17, 18, 22	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
24	5	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
25	5	uniexd 7746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
26	25, 6	ssexd 5324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
27	26	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → 𝐴 ∈ V)
28	24	salunid 45804	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
29		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴)
30	24, 27, 28, 29	elrestd 44539	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
31	23, 30	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
32		nfv 1909	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ 𝐵 < 𝑎
33	12, 32	nfan 1894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎)
34	8	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		rexr 11290	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
36	35	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ*)
37		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ¬ 𝐵 < 𝑎)
38		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
39	38, 34	lenltd 11390	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → (𝑎 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑎))
40	37, 39	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → 𝑎 ≤ 𝐵)
41	33, 34, 1, 36, 40	pimconstlt0 46152	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = ∅)
42		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t 𝐴)
43	5, 26, 42	subsalsal 45810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐴) ∈ SAlg)
44	43	0sald 45801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
45	44	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
46	41, 45	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑎) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
47	31, 46	pm2.61dan 811	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))
48	3, 4, 5, 6, 10, 47	issmfdf 46188	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945  ∅c0 4323  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  ℝcr 11137  ℝ^*cxr 11277   < clt 11278   ≤ cle 11279   ↾_t crest 17401  SAlgcsalg 45759  SMblFncsmblfn 46146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-ac2 10486  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-acn 9965  df-ac 10139  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-rest 17403  df-salg 45760  df-smblfn 46147

This theorem is referenced by:  smfmbfcex  46211  smfmulc1  46247