MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmpt2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmpt2d 6944
Description: Deduction version of fvmpt2 6942. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmpt2d.1 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐵))
fvmpt2d.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
fvmpt2d ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt2d
StepHypRef Expression
1 fvmpt2d.1 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴𝐵))
21fveq1d 6827 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
32adantr 481 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
4 id 22 . . 3 (𝑥𝐴𝑥𝐴)
5 fvmpt2d.4 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
6 eqid 2736 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
76fvmpt2 6942 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵𝑉) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
84, 5, 7syl2an2 683 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
93, 8eqtrd 2776 1 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  cmpt 5175  cfv 6479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fv 6487
This theorem is referenced by:  cantnflem1  9546  frlmphl  21094  neiptopreu  22390  rrxds  24663  ofoprabco  31288  suppovss  31304  tocycf  31671  fedgmullem2  32009  esumcvg  32352  ofcfval2  32370  eulerpartgbij  32639  dstrvprob  32738  itgexpif  32886  hgt750lemb  32936  frlmsnic  40523  cvgdvgrat  42252  radcnvrat  42253  binomcxplemnotnn0  42295  fmuldfeqlem1  43459  climreclmpt  43561  climinfmpt  43592  limsupubuzmpt  43596  limsupre2mpt  43607  limsupre3mpt  43611  limsupreuzmpt  43616  liminfvalxrmpt  43663  liminflbuz2  43692  cncficcgt0  43765  dvdivbd  43800  dvnmul  43820  dvnprodlem1  43823  dvnprodlem2  43824  stoweidlem42  43919  dirkeritg  43979  elaa2lem  44110  etransclem4  44115  ioorrnopnxrlem  44183  subsaliuncllem  44232  meaiuninclem  44355  meaiininclem  44361  ovnhoilem1  44476  ovncvr2  44486  ovolval4lem1  44524  iccvonmbllem  44553  vonioolem1  44555  vonioolem2  44556  vonicclem1  44558  vonicclem2  44559  pimconstlt0  44576  pimconstlt1  44577  smfpimltmpt  44621  issmfdmpt  44623  smfaddlem2  44639  smflimlem2  44647  smflimlem4  44649  smfpimgtmpt  44656  smfmullem4  44669  smfpimcclem  44682  smfsuplem1  44686  smfsupmpt  44690  smfinfmpt  44694  smflimsuplem2  44696  smflimsuplem3  44697  smflimsuplem4  44698
  Copyright terms: Public domain W3C validator