Theorem fvmpt2d 6999

Description: Deduction version of fvmpt2 6997. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fvmpt2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2	1	fveq1d 6879	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
3	2	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
4		id 23	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		fvmpt2d.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fvmpt2 6997	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
8	4, 5, 7	syl2an2 699	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
9	3, 8	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539

This theorem is used by:  cantnflem1  9674  ghmquskerco  19478  frlmphl  22067  neiptopreu  23431  rrxds  25694  ofoprabco  33240  suppovss  33256  tocycf  33660  elrgspnsubrunlem2  33791  ply1moneq  34102  mplasclco  34130  mplvrpmmhm  34160  fedgmullem2  34244  esumcvg  34700  ofcfval2  34718  eulerpartgbij  34987  dstrvprob  35087  itgexpif  35218  hgt750lemb  35268  aks6d1c6lem4  43191  frlmsnic  43566  cvgdvgrat  45256  radcnvrat  45257  binomcxplemnotnn0  45299  fmuldfeqlem1  46538  climreclmpt  46638  climinfmpt  46669  limsupubuzmpt  46673  limsupre2mpt  46684  limsupre3mpt  46688  limsupreuzmpt  46693  liminfvalxrmpt  46740  liminflbuz2  46769  cncficcgt0  46842  dvdivbd  46877  dvnmul  46897  dvnprodlem1  46900  dvnprodlem2  46901  stoweidlem42  46996  dirkeritg  47056  elaa2lem  47187  etransclem4  47192  ioorrnopnxrlem  47260  subsaliuncllem  47311  meaiuninclem  47434  meaiininclem  47440  ovnhoilem1  47555  ovncvr2  47565  ovolval4lem1  47603  iccvonmbllem  47632  vonioolem1  47634  vonioolem2  47635  vonicclem1  47637  vonicclem2  47638  pimconstlt0  47655  pimconstlt1  47656  smfpimltmpt  47700  issmfdmpt  47702  smfaddlem2  47718  smflimlem2  47726  smflimlem4  47728  smfpimgtmpt  47735  smfmullem4  47748  smfpimcclem  47761  smfsuplem1  47765  smfsupmpt  47769  smfinfmpt  47773  smflimsuplem2  47775  smflimsuplem3  47776  smflimsuplem4  47777  fsupdm  47796  finfdm  47800  tposcurf1  50351  fucocolem4  50408  veroquadgsumlem  50927