Theorem fvmpt2d 7007

Description: Deduction version of fvmpt2 7005. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fvmpt2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2	1	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
3	2	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
4		id 23	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		fvmpt2d.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fvmpt2 7005	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
8	4, 5, 7	syl2an2 699	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
9	3, 8	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546

This theorem is used by:  cantnflem1  9693  ghmquskerco  19503  frlmphl  22092  neiptopreu  23456  rrxds  25719  ofoprabco  33305  suppovss  33321  tocycf  33724  elrgspnsubrunlem2  33855  ply1moneq  34166  mplasclco  34194  mplvrpmmhm  34224  fedgmullem2  34308  esumcvg  34764  ofcfval2  34782  eulerpartgbij  35050  dstrvprob  35150  itgexpif  35281  hgt750lemb  35331  aks6d1c6lem4  43316  frlmsnic  43697  cvgdvgrat  45390  radcnvrat  45391  binomcxplemnotnn0  45433  fmuldfeqlem1  46687  climreclmpt  46787  climinfmpt  46818  limsupubuzmpt  46822  limsupre2mpt  46833  limsupre3mpt  46837  limsupreuzmpt  46842  liminfvalxrmpt  46889  liminflbuz2  46918  cncficcgt0  46991  dvdivbd  47026  dvnmul  47046  dvnprodlem1  47049  dvnprodlem2  47050  stoweidlem42  47145  dirkeritg  47205  elaa2lem  47336  etransclem4  47341  ioorrnopnxrlem  47409  subsaliuncllem  47460  meaiuninclem  47583  meaiininclem  47589  ovnhoilem1  47704  ovncvr2  47714  ovolval4lem1  47752  iccvonmbllem  47781  vonioolem1  47783  vonioolem2  47784  vonicclem1  47786  vonicclem2  47787  pimconstlt0  47804  pimconstlt1  47805  smfpimltmpt  47849  issmfdmpt  47851  smfaddlem2  47867  smflimlem2  47875  smflimlem4  47877  smfpimgtmpt  47884  smfmullem4  47897  smfpimcclem  47910  smfsuplem1  47914  smfsupmpt  47918  smfinfmpt  47922  smflimsuplem2  47924  smflimsuplem3  47925  smflimsuplem4  47926  fsupdm  47945  finfdm  47949  tposcurf1  50514  fucocolem4  50571  veroquadgsumlem  51151