Theorem fvmpt2d 6556

Description: Deduction version of fvmpt2 6554. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fvmpt2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2	1	fveq1d 6450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
3	2	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
4		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		fvmpt2d.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fvmpt2 6554	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
8	4, 5, 7	syl2an2 676	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
9	3, 8	eqtrd 2814	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 4967  ‘cfv 6137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fv 6145

This theorem is referenced by:  cantnflem1  8885  frlmphl  20528  neiptopreu  21349  rrxds  23603  ofoprabco  30033  esumcvg  30750  ofcfval2  30768  eulerpartgbij  31036  dstrvprob  31136  itgexpif  31290  hgt750lemb  31340  cvgdvgrat  39478  radcnvrat  39479  binomcxplemnotnn0  39521  fmuldfeqlem1  40732  climreclmpt  40834  climinfmpt  40865  limsupubuzmpt  40869  limsupre2mpt  40880  limsupre3mpt  40884  limsupreuzmpt  40889  liminfvalxrmpt  40936  liminflbuz2  40965  cncficcgt0  41039  dvdivbd  41076  dvnmul  41096  dvnprodlem1  41099  dvnprodlem2  41100  stoweidlem42  41196  dirkeritg  41256  elaa2lem  41387  etransclem4  41392  ioorrnopnxrlem  41460  subsaliuncllem  41509  meaiuninclem  41631  meaiininclem  41637  ovnhoilem1  41752  ovncvr2  41762  ovolval4lem1  41800  iccvonmbllem  41829  vonioolem1  41831  vonioolem2  41832  vonicclem1  41834  vonicclem2  41835  pimconstlt0  41851  pimconstlt1  41852  pimgtmnf  41869  smfpimltmpt  41892  issmfdmpt  41894  smfpimltxrmpt  41904  smfaddlem2  41909  smflimlem2  41917  smflimlem4  41919  smfpimgtmpt  41926  smfpimgtxrmpt  41929  smfmullem4  41938  smfpimcclem  41950  smfsuplem1  41954  smfsupmpt  41958  smfinfmpt  41962  smflimsuplem2  41964  smflimsuplem3  41965  smflimsuplem4  41966