Theorem fvmpt2d 6758

Description: Deduction version of fvmpt2 6756. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fvmpt2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2	1	fveq1d 6647	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
3	2	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
4		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		fvmpt2d.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fvmpt2 6756	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
8	4, 5, 7	syl2an2 685	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
9	3, 8	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  cantnflem1  9136  frlmphl  20470  neiptopreu  21738  rrxds  23997  ofoprabco  30427  suppovss  30443  tocycf  30809  fedgmullem2  31114  esumcvg  31455  ofcfval2  31473  eulerpartgbij  31740  dstrvprob  31839  itgexpif  31987  hgt750lemb  32037  frlmsnic  39453  cvgdvgrat  41017  radcnvrat  41018  binomcxplemnotnn0  41060  fmuldfeqlem1  42224  climreclmpt  42326  climinfmpt  42357  limsupubuzmpt  42361  limsupre2mpt  42372  limsupre3mpt  42376  limsupreuzmpt  42381  liminfvalxrmpt  42428  liminflbuz2  42457  cncficcgt0  42530  dvdivbd  42565  dvnmul  42585  dvnprodlem1  42588  dvnprodlem2  42589  stoweidlem42  42684  dirkeritg  42744  elaa2lem  42875  etransclem4  42880  ioorrnopnxrlem  42948  subsaliuncllem  42997  meaiuninclem  43119  meaiininclem  43125  ovnhoilem1  43240  ovncvr2  43250  ovolval4lem1  43288  iccvonmbllem  43317  vonioolem1  43319  vonioolem2  43320  vonicclem1  43322  vonicclem2  43323  pimconstlt0  43339  pimconstlt1  43340  pimgtmnf  43357  smfpimltmpt  43380  issmfdmpt  43382  smfpimltxrmpt  43392  smfaddlem2  43397  smflimlem2  43405  smflimlem4  43407  smfpimgtmpt  43414  smfpimgtxrmpt  43417  smfmullem4  43426  smfpimcclem  43438  smfsuplem1  43442  smfsupmpt  43446  smfinfmpt  43450  smflimsuplem2  43452  smflimsuplem3  43453  smflimsuplem4  43454