Theorem fvmpt2d 6956

Description: Deduction version of fvmpt2 6954. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fvmpt2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2	1	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
3	2	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
4		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		fvmpt2d.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fvmpt2 6954	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
8	4, 5, 7	syl2an2 692	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
9	3, 8	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  cantnflem1  9608  ghmquskerco  19257  frlmphl  21763  neiptopreu  23123  rrxds  25385  ofoprabco  32763  suppovss  32780  tocycf  33205  elrgspnsubrunlem2  33336  ply1moneq  33678  mplasclco  33707  mplvrpmmhm  33737  fedgmullem2  33821  esumcvg  34277  ofcfval2  34295  eulerpartgbij  34563  dstrvprob  34663  itgexpif  34797  hgt750lemb  34847  aks6d1c6lem4  42665  frlmsnic  43033  cvgdvgrat  44764  radcnvrat  44765  binomcxplemnotnn0  44807  fmuldfeqlem1  46034  climreclmpt  46134  climinfmpt  46165  limsupubuzmpt  46169  limsupre2mpt  46180  limsupre3mpt  46184  limsupreuzmpt  46189  liminfvalxrmpt  46236  liminflbuz2  46265  cncficcgt0  46338  dvdivbd  46373  dvnmul  46393  dvnprodlem1  46396  dvnprodlem2  46397  stoweidlem42  46492  dirkeritg  46552  elaa2lem  46683  etransclem4  46688  ioorrnopnxrlem  46756  subsaliuncllem  46807  meaiuninclem  46930  meaiininclem  46936  ovnhoilem1  47051  ovncvr2  47061  ovolval4lem1  47099  iccvonmbllem  47128  vonioolem1  47130  vonioolem2  47131  vonicclem1  47133  vonicclem2  47134  pimconstlt0  47151  pimconstlt1  47152  smfpimltmpt  47196  issmfdmpt  47198  smfaddlem2  47214  smflimlem2  47222  smflimlem4  47224  smfpimgtmpt  47231  smfmullem4  47244  smfpimcclem  47257  smfsuplem1  47261  smfsupmpt  47265  smfinfmpt  47269  smflimsuplem2  47271  smflimsuplem3  47272  smflimsuplem4  47273  fsupdm  47292  finfdm  47296  tposcurf1  49796  fucocolem4  49853