Theorem fvmpt2d 6993

Description: Deduction version of fvmpt2 6991. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fvmpt2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2	1	fveq1d 6873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
3	2	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
4		id 23	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		fvmpt2d.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fvmpt2 6991	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
8	4, 5, 7	syl2an2 698	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
9	3, 8	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533

This theorem is referenced by:  cantnflem1  9646  ghmquskerco  19345  frlmphl  21891  neiptopreu  23251  rrxds  25513  ofoprabco  32921  suppovss  32938  tocycf  33350  elrgspnsubrunlem2  33481  ply1moneq  33795  mplasclco  33823  mplvrpmmhm  33853  fedgmullem2  33937  esumcvg  34393  ofcfval2  34411  eulerpartgbij  34679  dstrvprob  34779  itgexpif  34910  hgt750lemb  34960  aks6d1c6lem4  42802  frlmsnic  43170  cvgdvgrat  44887  radcnvrat  44888  binomcxplemnotnn0  44930  fmuldfeqlem1  46156  climreclmpt  46256  climinfmpt  46287  limsupubuzmpt  46291  limsupre2mpt  46302  limsupre3mpt  46306  limsupreuzmpt  46311  liminfvalxrmpt  46358  liminflbuz2  46387  cncficcgt0  46460  dvdivbd  46495  dvnmul  46515  dvnprodlem1  46518  dvnprodlem2  46519  stoweidlem42  46614  dirkeritg  46674  elaa2lem  46805  etransclem4  46810  ioorrnopnxrlem  46878  subsaliuncllem  46929  meaiuninclem  47052  meaiininclem  47058  ovnhoilem1  47173  ovncvr2  47183  ovolval4lem1  47221  iccvonmbllem  47250  vonioolem1  47252  vonioolem2  47253  vonicclem1  47255  vonicclem2  47256  pimconstlt0  47273  pimconstlt1  47274  smfpimltmpt  47318  issmfdmpt  47320  smfaddlem2  47336  smflimlem2  47344  smflimlem4  47346  smfpimgtmpt  47353  smfmullem4  47366  smfpimcclem  47379  smfsuplem1  47383  smfsupmpt  47387  smfinfmpt  47391  smflimsuplem2  47393  smflimsuplem3  47394  smflimsuplem4  47395  fsupdm  47414  finfdm  47418  tposcurf1  49928  fucocolem4  49985