Theorem fvmpt2d 7012

Description: Deduction version of fvmpt2 7010. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fvmpt2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2	1	fveq1d 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
3	2	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
4		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		fvmpt2d.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fvmpt2 7010	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
8	4, 5, 7	syl2an2 685	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
9	3, 8	eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  cantnflem1  9684  frlmphl  21336  neiptopreu  22637  rrxds  24910  ofoprabco  31920  suppovss  31937  tocycf  32307  ghmquskerco  32560  ply1moneq  32696  fedgmullem2  32746  esumcvg  33115  ofcfval2  33133  eulerpartgbij  33402  dstrvprob  33501  itgexpif  33649  hgt750lemb  33699  frlmsnic  41158  cvgdvgrat  43120  radcnvrat  43121  binomcxplemnotnn0  43163  fmuldfeqlem1  44346  climreclmpt  44448  climinfmpt  44479  limsupubuzmpt  44483  limsupre2mpt  44494  limsupre3mpt  44498  limsupreuzmpt  44503  liminfvalxrmpt  44550  liminflbuz2  44579  cncficcgt0  44652  dvdivbd  44687  dvnmul  44707  dvnprodlem1  44710  dvnprodlem2  44711  stoweidlem42  44806  dirkeritg  44866  elaa2lem  44997  etransclem4  45002  ioorrnopnxrlem  45070  subsaliuncllem  45121  meaiuninclem  45244  meaiininclem  45250  ovnhoilem1  45365  ovncvr2  45375  ovolval4lem1  45413  iccvonmbllem  45442  vonioolem1  45444  vonioolem2  45445  vonicclem1  45447  vonicclem2  45448  pimconstlt0  45465  pimconstlt1  45466  smfpimltmpt  45510  issmfdmpt  45512  smfaddlem2  45528  smflimlem2  45536  smflimlem4  45538  smfpimgtmpt  45545  smfmullem4  45558  smfpimcclem  45571  smfsuplem1  45575  smfsupmpt  45579  smfinfmpt  45583  smflimsuplem2  45585  smflimsuplem3  45586  smflimsuplem4  45587  fsupdm  45606  finfdm  45610