Theorem fvmpt2d 7005

Description: Deduction version of fvmpt2 7003. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fvmpt2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2	1	fveq1d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
3	2	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
4		id 23	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		fvmpt2d.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fvmpt2 7003	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
8	4, 5, 7	syl2an2 698	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
9	3, 8	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546

This theorem is referenced by:  cantnflem1  9659  ghmquskerco  19355  frlmphl  21912  neiptopreu  23271  rrxds  25533  ofoprabco  32987  suppovss  33004  tocycf  33415  elrgspnsubrunlem2  33546  ply1moneq  33856  mplasclco  33884  mplvrpmmhm  33914  fedgmullem2  33998  esumcvg  34454  ofcfval2  34472  eulerpartgbij  34740  dstrvprob  34840  itgexpif  34971  hgt750lemb  35021  aks6d1c6lem4  42918  frlmsnic  43288  cvgdvgrat  45003  radcnvrat  45004  binomcxplemnotnn0  45046  fmuldfeqlem1  46278  climreclmpt  46378  climinfmpt  46409  limsupubuzmpt  46413  limsupre2mpt  46424  limsupre3mpt  46428  limsupreuzmpt  46433  liminfvalxrmpt  46480  liminflbuz2  46509  cncficcgt0  46582  dvdivbd  46617  dvnmul  46637  dvnprodlem1  46640  dvnprodlem2  46641  stoweidlem42  46736  dirkeritg  46796  elaa2lem  46927  etransclem4  46932  ioorrnopnxrlem  47000  subsaliuncllem  47051  meaiuninclem  47174  meaiininclem  47180  ovnhoilem1  47295  ovncvr2  47305  ovolval4lem1  47343  iccvonmbllem  47372  vonioolem1  47374  vonioolem2  47375  vonicclem1  47377  vonicclem2  47378  pimconstlt0  47395  pimconstlt1  47396  smfpimltmpt  47440  issmfdmpt  47442  smfaddlem2  47458  smflimlem2  47466  smflimlem4  47468  smfpimgtmpt  47475  smfmullem4  47488  smfpimcclem  47501  smfsuplem1  47505  smfsupmpt  47509  smfinfmpt  47513  smflimsuplem2  47515  smflimsuplem3  47516  smflimsuplem4  47517  fsupdm  47536  finfdm  47540  tposcurf1  50054  fucocolem4  50111