Theorem fvmpt2d 6955

Description: Deduction version of fvmpt2 6953. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fvmpt2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2	1	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
4		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		fvmpt2d.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fvmpt2 6953	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
8	4, 5, 7	syl2an2 687	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
9	3, 8	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  cantnflem1  9601  ghmquskerco  19250  frlmphl  21771  neiptopreu  23108  rrxds  25370  ofoprabco  32752  suppovss  32769  tocycf  33193  elrgspnsubrunlem2  33324  ply1moneq  33663  mplvrpmmhm  33705  fedgmullem2  33790  esumcvg  34246  ofcfval2  34264  eulerpartgbij  34532  dstrvprob  34632  itgexpif  34766  hgt750lemb  34816  aks6d1c6lem4  42626  frlmsnic  42999  cvgdvgrat  44758  radcnvrat  44759  binomcxplemnotnn0  44801  fmuldfeqlem1  46030  climreclmpt  46130  climinfmpt  46161  limsupubuzmpt  46165  limsupre2mpt  46176  limsupre3mpt  46180  limsupreuzmpt  46185  liminfvalxrmpt  46232  liminflbuz2  46261  cncficcgt0  46334  dvdivbd  46369  dvnmul  46389  dvnprodlem1  46392  dvnprodlem2  46393  stoweidlem42  46488  dirkeritg  46548  elaa2lem  46679  etransclem4  46684  ioorrnopnxrlem  46752  subsaliuncllem  46803  meaiuninclem  46926  meaiininclem  46932  ovnhoilem1  47047  ovncvr2  47057  ovolval4lem1  47095  iccvonmbllem  47124  vonioolem1  47126  vonioolem2  47127  vonicclem1  47129  vonicclem2  47130  pimconstlt0  47147  pimconstlt1  47148  smfpimltmpt  47192  issmfdmpt  47194  smfaddlem2  47210  smflimlem2  47218  smflimlem4  47220  smfpimgtmpt  47227  smfmullem4  47240  smfpimcclem  47253  smfsuplem1  47257  smfsupmpt  47261  smfinfmpt  47265  smflimsuplem2  47267  smflimsuplem3  47268  smflimsuplem4  47269  fsupdm  47288  finfdm  47292  tposcurf1  49786  fucocolem4  49843