Theorem fvmpt2d 7033

Description: Deduction version of fvmpt2 7031. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmpt2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
fvmpt2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmpt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
2	1	fveq1d 6913	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
3	2	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
4		id 23	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		fvmpt2d.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fvmpt2 7031	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
8	4, 5, 7	syl2an2 699	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
9	3, 8	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569

This theorem is used by:  cantnflem1  9720  ghmquskerco  19531  frlmphl  22120  neiptopreu  23484  rrxds  25747  ofoprabco  33333  suppovss  33348  tocycf  33754  elrgspnsubrunlem2  33885  ply1moneq  34203  mplasclco  34231  mplvrpmmhm  34261  fedgmullem2  34345  esumcvg  34801  ofcfval2  34819  eulerpartgbij  35087  dstrvprob  35187  itgexpif  35318  hgt750lemb  35368  aks6d1c6lem4  43426  frlmsnic  43808  cvgdvgrat  45500  radcnvrat  45501  binomcxplemnotnn0  45543  fmuldfeqlem1  46809  climreclmpt  46909  climinfmpt  46940  limsupubuzmpt  46944  limsupre2mpt  46955  limsupre3mpt  46959  limsupreuzmpt  46964  liminfvalxrmpt  47011  liminflbuz2  47040  cncficcgt0  47113  dvdivbd  47148  dvnmul  47168  dvnprodlem1  47171  dvnprodlem2  47172  stoweidlem42  47267  dirkeritg  47327  elaa2lem  47458  etransclem4  47463  ioorrnopnxrlem  47531  subsaliuncllem  47582  meaiuninclem  47705  meaiininclem  47711  ovnhoilem1  47826  ovncvr2  47836  ovolval4lem1  47874  iccvonmbllem  47903  vonioolem1  47905  vonioolem2  47906  vonicclem1  47908  vonicclem2  47909  pimconstlt0  47926  pimconstlt1  47927  smfpimltmpt  47971  issmfdmpt  47973  smfaddlem2  47989  smflimlem2  47997  smflimlem4  47999  smfpimgtmpt  48006  smfmullem4  48019  smfpimcclem  48032  smfsuplem1  48036  smfsupmpt  48040  smfinfmpt  48044  smflimsuplem2  48046  smflimsuplem3  48047  smflimsuplem4  48048  fsupdm  48067  finfdm  48071  tposcurf1  50636  fucocolem4  50693  veroquadgsumlem  51295