Theorem prstcocvalOLD 49134

Description: Obsolete proof of prstcocval 49133 as of 12-Nov-2024. Orthocomplementation is unchanged. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcoc.oc	⊢ (𝜑 → ⊥ = (oc‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
prstcocvalOLD	⊢ (𝜑 → ⊥ = (oc‘𝐶))

Proof of Theorem prstcocvalOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcoc.oc	. 2 ⊢ (𝜑 → ⊥ = (oc‘𝐾))
2		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
4		ocid 17422	. . 3 ⊢ oc = Slot (oc‘ndx)
5		1nn0 12538	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5, 5	deccl 12744	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
7	6	nn0rei 12533	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℝ
8		5nn 12348	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
9		1lt5 12442	. . . . . 6 ⊢ 1 < 5
10	5, 5, 8, 9	declt 12757	. . . . 5 ⊢ ;11 < ;15
11	7, 10	ltneii 11370	. . . 4 ⊢ ;11 ≠ ;15
12		ocndx 17421	. . . . 5 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
13		ccondx 17453	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
14	12, 13	neeq12i 3006	. . . 4 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;15)
15	11, 14	mpbir 231	. . 3 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
16		4nn 12345	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
17		1lt4 12438	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
18	5, 5, 16, 17	declt 12757	. . . . 5 ⊢ ;11 < ;14
19	7, 18	ltneii 11370	. . . 4 ⊢ ;11 ≠ ;14
20		homndx 17451	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
21	12, 20	neeq12i 3006	. . . 4 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;14)
22	19, 21	mpbir 231	. . 3 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
23	2, 3, 4, 15, 22	prstcnid 49128	. 2 ⊢ (𝜑 → (oc‘𝐾) = (oc‘𝐶))
24	1, 23	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ⊥ = (oc‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939  ‘cfv 6559  1c1 11152  4c4 12319  5c5 12320  ;cdc 12729  ndxcnx 17226  occoc 17301  Hom chom 17304  compcco 17305   Proset cproset 18334  ProsetToCatcprstc 49124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-dec 12730  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-ocomp 17314  df-hom 17317  df-cco 17318  df-prstc 49125

This theorem is referenced by: (None)