Theorem prstcocvalOLD 46411

Description: Obsolete proof of prstcocval 46410 as of 12-Nov-2024. Orthocomplementation is unchanged. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcoc.oc	⊢ (𝜑 → ⊥ = (oc‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
prstcocvalOLD	⊢ (𝜑 → ⊥ = (oc‘𝐶))

Proof of Theorem prstcocvalOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcoc.oc	. 2 ⊢ (𝜑 → ⊥ = (oc‘𝐾))
2		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
4		ocid 17137	. . 3 ⊢ oc = Slot (oc‘ndx)
5		1nn0 12295	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5, 5	deccl 12498	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
7	6	nn0rei 12290	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℝ
8		5nn 12105	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
9		1lt5 12199	. . . . . 6 ⊢ 1 < 5
10	5, 5, 8, 9	declt 12511	. . . . 5 ⊢ ;11 < ;15
11	7, 10	ltneii 11134	. . . 4 ⊢ ;11 ≠ ;15
12		ocndx 17136	. . . . 5 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
13		ccondx 17168	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
14	12, 13	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;15)
15	11, 14	mpbir 230	. . 3 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
16		4nn 12102	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
17		1lt4 12195	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
18	5, 5, 16, 17	declt 12511	. . . . 5 ⊢ ;11 < ;14
19	7, 18	ltneii 11134	. . . 4 ⊢ ;11 ≠ ;14
20		homndx 17166	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
21	12, 20	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;14)
22	19, 21	mpbir 230	. . 3 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
23	2, 3, 4, 15, 22	prstcnid 46405	. 2 ⊢ (𝜑 → (oc‘𝐾) = (oc‘𝐶))
24	1, 23	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ⊥ = (oc‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  ‘cfv 6458  1c1 10918  4c4 12076  5c5 12077  ;cdc 12483  ndxcnx 16939  occoc 17015  Hom chom 17018  compcco 17019   Proset cproset 18056  ProsetToCatcprstc 46401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-dec 12484  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-ocomp 17028  df-hom 17031  df-cco 17032  df-prstc 46402

This theorem is referenced by: (None)