Theorem prstcocval 45857

Description: Orthocomplementation is unchanged. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcoc.oc	⊢ (𝜑 → ⊥ = (oc‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
prstcocval	⊢ (𝜑 → ⊥ = (oc‘𝐶))

Proof of Theorem prstcocval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcoc.oc	. 2 ⊢ (𝜑 → ⊥ = (oc‘𝐾))
2		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
4		ocid 16789	. . 3 ⊢ oc = Slot (oc‘ndx)
5		1nn0 12004	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5, 5	deccl 12206	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
7	6	nn0rei 11999	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℝ
8		5nn 11814	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
9		1lt5 11908	. . . . . 6 ⊢ 1 < 5
10	5, 5, 8, 9	declt 12219	. . . . 5 ⊢ ;11 < ;15
11	7, 10	ltneii 10843	. . . 4 ⊢ ;11 ≠ ;15
12		ocndx 16788	. . . . 5 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
13		ccondx 16804	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
14	12, 13	neeq12i 3001	. . . 4 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;15)
15	11, 14	mpbir 234	. . 3 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
16		4nn 11811	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
17		1lt4 11904	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
18	5, 5, 16, 17	declt 12219	. . . . 5 ⊢ ;11 < ;14
19	7, 18	ltneii 10843	. . . 4 ⊢ ;11 ≠ ;14
20		homndx 16802	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
21	12, 20	neeq12i 3001	. . . 4 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;14)
22	19, 21	mpbir 234	. . 3 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
23	2, 3, 4, 15, 22	prstcnid 45853	. 2 ⊢ (𝜑 → (oc‘𝐾) = (oc‘𝐶))
24	1, 23	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → ⊥ = (oc‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  ‘cfv 6349  1c1 10628  4c4 11785  5c5 11786  ;cdc 12191  ndxcnx 16595  occoc 16688  Hom chom 16691  compcco 16692   Proset cproset 17664  ProsetToCatcprstc 45849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-dec 12192  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-sets 16605  df-ocomp 16701  df-hom 16704  df-cco 16705  df-prstc 45850

This theorem is referenced by:  prstcoc  45858