Theorem prstcleval 49593

Description: Value of the less-than-or-equal-to relation is unchanged. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcle.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
prstcleval	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Proof of Theorem prstcleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcle.l	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐾))
2		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
4		pleid 17271	. . 3 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
5		slotsdifplendx2 17320	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
6	5	simpli 483	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
7	5	simpri 485	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
8	2, 3, 4, 6, 7	prstcnid 49591	. 2 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
9	1, 8	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6481  ndxcnx 17104  lecple 17168  Hom chom 17172  compcco 17173   Proset cproset 18198  ProsetToCatcprstc 49587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-dec 12589  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-ple 17181  df-hom 17185  df-cco 17186  df-prstc 49588

This theorem is referenced by:  prstcle  49594  prstchomval  49597  prstcprs  49598  oduoppcciso  49604