Theorem prstclevalOLD 46311

Description: Obsolete proof of prstcleval 46310 as of 12-Nov-2024. Value of the less-than-or-equal-to relation is unchanged. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcle.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
prstclevalOLD	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Proof of Theorem prstclevalOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcle.l	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐾))
2		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
4		pleid 17067	. . 3 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
5		10re 12447	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		1nn0 12241	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		0nn0 12240	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8		5nn 12051	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
9	8	nngt0i 12004	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
10	6, 7, 8, 9	declt 12456	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;15
11	5, 10	ltneii 11080	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;15
12		plendx 17066	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
13		ccondx 17113	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
14	12, 13	neeq12i 3012	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;15)
15	11, 14	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
16		4nn 12048	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
17	16	nngt0i 12004	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
18	6, 7, 16, 17	declt 12456	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;14
19	5, 18	ltneii 11080	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;14
20		homndx 17111	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
21	12, 20	neeq12i 3012	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;14)
22	19, 21	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
23	2, 3, 4, 15, 22	prstcnid 46308	. 2 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
24	1, 23	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ‘cfv 6431  0cc0 10864  1c1 10865  4c4 12022  5c5 12023  ;cdc 12428  ndxcnx 16884  lecple 16959  Hom chom 16963  compcco 16964   Proset cproset 18001  ProsetToCatcprstc 46304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-dec 12429  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-ple 16972  df-hom 16976  df-cco 16977  df-prstc 46305

This theorem is referenced by: (None)