Theorem prstclevalOLD 48461

Description: Obsolete proof of prstcleval 48460 as of 12-Nov-2024. Value of the less-than-or-equal-to relation is unchanged. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcle.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
prstclevalOLD	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Proof of Theorem prstclevalOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcle.l	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐾))
2		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
4		pleid 17402	. . 3 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
5		10re 12758	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		1nn0 12550	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		0nn0 12549	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8		5nn 12360	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
9	8	nngt0i 12313	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
10	6, 7, 8, 9	declt 12767	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;15
11	5, 10	ltneii 11384	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;15
12		plendx 17401	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
13		ccondx 17448	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
14	12, 13	neeq12i 3000	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;15)
15	11, 14	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
16		4nn 12357	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
17	16	nngt0i 12313	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
18	6, 7, 16, 17	declt 12767	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;14
19	5, 18	ltneii 11384	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;14
20		homndx 17446	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
21	12, 20	neeq12i 3000	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;14)
22	19, 21	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
23	2, 3, 4, 15, 22	prstcnid 48458	. 2 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
24	1, 23	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ≠ wne 2933  ‘cfv 6556  0cc0 11165  1c1 11166  4c4 12331  5c5 12332  ;cdc 12739  ndxcnx 17216  lecple 17294  Hom chom 17298  compcco 17299   Proset cproset 18339  ProsetToCatcprstc 48454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7749  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3787  df-csb 3903  df-dif 3960  df-un 3962  df-in 3964  df-ss 3974  df-pss 3977  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-iun 5006  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-tr 5272  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6315  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7384  df-ov 7431  df-oprab 7432  df-mpo 7433  df-om 7883  df-2nd 8010  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8740  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-nn 12275  df-2 12337  df-3 12338  df-4 12339  df-5 12340  df-6 12341  df-7 12342  df-8 12343  df-9 12344  df-n0 12535  df-dec 12740  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-ple 17307  df-hom 17311  df-cco 17312  df-prstc 48455

This theorem is referenced by: (None)