Theorem prstclevalOLD 46768

Description: Obsolete proof of prstcleval 46767 as of 12-Nov-2024. Value of the less-than-or-equal-to relation is unchanged. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcle.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
prstclevalOLD	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Proof of Theorem prstclevalOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcle.l	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐾))
2		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
4		pleid 17175	. . 3 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
5		10re 12558	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		1nn0 12351	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		0nn0 12350	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8		5nn 12161	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
9	8	nngt0i 12114	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
10	6, 7, 8, 9	declt 12567	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;15
11	5, 10	ltneii 11190	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;15
12		plendx 17174	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
13		ccondx 17221	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
14	12, 13	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;15)
15	11, 14	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
16		4nn 12158	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
17	16	nngt0i 12114	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
18	6, 7, 16, 17	declt 12567	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;14
19	5, 18	ltneii 11190	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;14
20		homndx 17219	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
21	12, 20	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;14)
22	19, 21	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
23	2, 3, 4, 15, 22	prstcnid 46765	. 2 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
24	1, 23	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ‘cfv 6480  0cc0 10973  1c1 10974  4c4 12132  5c5 12133  ;cdc 12539  ndxcnx 16992  lecple 17067  Hom chom 17071  compcco 17072   Proset cproset 18109  ProsetToCatcprstc 46761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-dec 12540  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-ple 17080  df-hom 17084  df-cco 17085  df-prstc 46762

This theorem is referenced by: (None)