Theorem prstclevalOLD 47988

Description: Obsolete proof of prstcleval 47987 as of 12-Nov-2024. Value of the less-than-or-equal-to relation is unchanged. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcle.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
prstclevalOLD	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Proof of Theorem prstclevalOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcle.l	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐾))
2		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
4		pleid 17333	. . 3 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
5		10re 12712	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		1nn0 12504	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		0nn0 12503	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8		5nn 12314	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
9	8	nngt0i 12267	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
10	6, 7, 8, 9	declt 12721	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;15
11	5, 10	ltneii 11343	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;15
12		plendx 17332	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
13		ccondx 17379	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
14	12, 13	neeq12i 3002	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;15)
15	11, 14	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
16		4nn 12311	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
17	16	nngt0i 12267	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
18	6, 7, 16, 17	declt 12721	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;14
19	5, 18	ltneii 11343	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;14
20		homndx 17377	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
21	12, 20	neeq12i 3002	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;14)
22	19, 21	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
23	2, 3, 4, 15, 22	prstcnid 47985	. 2 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
24	1, 23	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ‘cfv 6542  0cc0 11124  1c1 11125  4c4 12285  5c5 12286  ;cdc 12693  ndxcnx 17147  lecple 17225  Hom chom 17229  compcco 17230   Proset cproset 18270  ProsetToCatcprstc 47981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-dec 12694  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-ple 17238  df-hom 17242  df-cco 17243  df-prstc 47982

This theorem is referenced by: (None)