Theorem prstclevalOLD 49158

Description: Obsolete proof of prstcleval 49157 as of 12-Nov-2024. Value of the less-than-or-equal-to relation is unchanged. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcle.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
prstclevalOLD	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Proof of Theorem prstclevalOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcle.l	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐾))
2		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
4		pleid 17411	. . 3 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
5		10re 12752	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		1nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		0nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8		5nn 12352	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
9	8	nngt0i 12305	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
10	6, 7, 8, 9	declt 12761	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;15
11	5, 10	ltneii 11374	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;15
12		plendx 17410	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
13		ccondx 17457	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
14	12, 13	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;15)
15	11, 14	mpbir 231	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
16		4nn 12349	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
17	16	nngt0i 12305	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
18	6, 7, 16, 17	declt 12761	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;14
19	5, 18	ltneii 11374	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;14
20		homndx 17455	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
21	12, 20	neeq12i 3007	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;14)
22	19, 21	mpbir 231	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
23	2, 3, 4, 15, 22	prstcnid 49155	. 2 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
24	1, 23	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ‘cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156  4c4 12323  5c5 12324  ;cdc 12733  ndxcnx 17230  lecple 17304  Hom chom 17308  compcco 17309   Proset cproset 18338  ProsetToCatcprstc 49151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-dec 12734  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-ple 17317  df-hom 17321  df-cco 17322  df-prstc 49152

This theorem is referenced by: (None)