Theorem prstclevalOLD 48183

Description: Obsolete proof of prstcleval 48182 as of 12-Nov-2024. Value of the less-than-or-equal-to relation is unchanged. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstcle.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
prstclevalOLD	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Proof of Theorem prstclevalOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcle.l	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐾))
2		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
4		pleid 17342	. . 3 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
5		10re 12721	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		1nn0 12513	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		0nn0 12512	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8		5nn 12323	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
9	8	nngt0i 12276	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
10	6, 7, 8, 9	declt 12730	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;15
11	5, 10	ltneii 11352	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;15
12		plendx 17341	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
13		ccondx 17388	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
14	12, 13	neeq12i 2997	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;15)
15	11, 14	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
16		4nn 12320	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
17	16	nngt0i 12276	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
18	6, 7, 16, 17	declt 12730	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;14
19	5, 18	ltneii 11352	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;14
20		homndx 17386	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
21	12, 20	neeq12i 2997	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;14)
22	19, 21	mpbir 230	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
23	2, 3, 4, 15, 22	prstcnid 48180	. 2 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
24	1, 23	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ‘cfv 6543  0cc0 11133  1c1 11134  4c4 12294  5c5 12295  ;cdc 12702  ndxcnx 17156  lecple 17234  Hom chom 17238  compcco 17239   Proset cproset 18279  ProsetToCatcprstc 48176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-dec 12703  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-ple 17247  df-hom 17251  df-cco 17252  df-prstc 48177

This theorem is referenced by: (None)