Theorem reuind 3689

Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 16-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
reuind.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
reuind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
reuind	⊢ ((∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → ∃!𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reuind

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuind.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ 𝐶))
3		reuind.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ↔ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)))
5	4	cbvexvw 2041	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
6		r19.41v 3277	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐶 (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
7	6	exbii 1851	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦∃𝑧 ∈ 𝐶 (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑦(∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
8		rexcom4 3234	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑦∃𝑧 ∈ 𝐶 (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
9		risset 3195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵)
10	9	anbi1i 624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
11	10	exbii 1851	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑦(∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
12	7, 8, 11	3bitr4ri 304	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
13	5, 12	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
14		eqeq2 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵))
15	14	imim2i 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵)))
16		biimpr 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵) → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 = 𝐴))
17	16	imim2i 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵)) → (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 = 𝐴)))
18		an31 645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ 𝑧 = 𝐵) ↔ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)))
19	18	imbi1i 350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → 𝑧 = 𝐴))
20		impexp 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 = 𝐴)))
21		impexp 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
22	19, 20, 21	3bitr3i 301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
23	17, 22	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵)) → ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
24	15, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
25	24	2alimi 1815	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → ∀𝑥∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
26		19.23v 1946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
27		an12 642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
28		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ 𝐶))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) → (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ 𝐶))
30	29	pm5.32ri 576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
31	27, 30	bitr4i 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
32	31	exbii 1851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ↔ ∃𝑦(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
33		19.42v 1958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
34	32, 33	bitri 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
35	34	imbi1i 350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
36	26, 35	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
37	36	albii 1822	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
38		19.21v 1943	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
39	37, 38	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
40	25, 39	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
41	40	expd 416	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐶 → (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))))
42	41	reximdvai 3201	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) → ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
43	13, 42	syl5bi 241	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
44	43	imp 407	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))
45		pm4.24 564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)))
46	45	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)))
47		anim12 806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → (𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐴)))
48		eqtr3 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐴) → 𝑧 = 𝑤)
49	46, 47, 48	syl56 36	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
50	49	alanimi 1819	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
51		19.23v 1946	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤) ↔ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
52	50, 51	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
53	52	com12 32	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
54	53	a1d 25	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤)))
55	54	ralrimivv 3123	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ∀𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
56	55	adantl 482	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → ∀𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
57		eqeq1 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑤 = 𝐴))
58	57	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)))
59	58	albidv 1924	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)))
60	59	reu4 3667	. 2 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤)))
61	44, 56, 60	sylanbrc 583	1 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → ∃!𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1537   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  ∀wral 3065  ∃wrex 3066  ∃!wreu 3067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-11 2155  ax-ext 2710

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-ex 1783  df-mo 2541  df-eu 2570  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073

This theorem is referenced by: (None)