Theorem risset 3213

Description: Two ways to say "𝐴 belongs to 𝐵". (Contributed by NM, 22-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
risset	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem risset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exancom 1863	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		df-rex 3063	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐴))
3		dfclel 2813	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
4	1, 2, 3	3bitr4ri 304	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-ex 1782  df-clel 2812  df-rex 3063

This theorem is referenced by:  nelb  3214  ceqsralv  3471  clel5  3608  reueq  3684  reuind  3700  0el  4304  reusv3  5342  elidinxp  6003  sucel  6393  fvmptt  6962  releldm2  7989  qsid  8721  ttrcltr  9628  zorng  10417  rereccl  11864  nndiv  12214  incexc2  15794  ruclem12  16199  chnfi  18591  conjnmzb  19219  pgpfac1lem2  20043  pgpfac1lem4  20046  mat1dimelbas  22446  mat1dimbas  22447  chmaidscmat  22823  unisngl  23502  fmid  23935  dcubic  26823  addsrid  27970  addsprop  27982  negsprop  28041  mulsrid  28119  mulsprop  28136  onsfi  28362  fusgrn0degnn0  29583  chscllem2  31724  disjunsn  32679  grplsm0l  33478  ballotlemsima  34676  dfon2lem8  35986  brimg  36133  dfrecs2  36148  altopelaltxp  36174  prtlem9  39324  prter2  39341  2llnmat  39984  2lnat  40244  cdlemefrs29bpre1  40857  elnn0rabdioph  43249  fiphp3d  43265  minregex  43979