Theorem rnressnsn 33000

Description: The range of a restriction to a singleton is a singleton. See dmressnsn 6024. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
rnressnsn	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ {𝐴}) = {(𝐹‘𝐴)})

Proof of Theorem rnressnsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6568	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		fnressn 7157	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
3	1, 2	sylanb 592	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
4	3	rneqd 5930	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ {𝐴}) = ran {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
5		rnsnopg 6224	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐹 → ran {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} = {(𝐹‘𝐴)})
6	5	adantl 486	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} = {(𝐹‘𝐴)})
7	4, 6	eqtrd 2798	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ {𝐴}) = {(𝐹‘𝐴)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4590  ⟨cop 4596  dom cdm 5663  ran crn 5664   ↾ cres 5665  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546

This theorem is referenced by:  esplyind  33943