Theorem rnressnsn 33318

Description: The range of a restriction to a singleton is a singleton. See dmressnsn 6011. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
rnressnsn	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ {𝐴}) = {(𝐹‘𝐴)})

Proof of Theorem rnressnsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6570	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		fnressn 7162	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
3	1, 2	sylanb 593	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
4	3	rneqd 5919	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ {𝐴}) = ran {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
5		rnsnopg 6222	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐹 → ran {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} = {(𝐹‘𝐴)})
6	5	adantl 487	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} = {(𝐹‘𝐴)})
7	4, 6	eqtrd 2795	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ {𝐴}) = {(𝐹‘𝐴)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584  ⟨cop 4834  dom cdm 5650  ran crn 5651   ↾ cres 5652  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546

This theorem is used by:  esplyind  34253