Theorem rnressnsn 33253

Description: The range of a restriction to a singleton is a singleton. See dmressnsn 6014. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
rnressnsn	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ {𝐴}) = {(𝐹‘𝐴)})

Proof of Theorem rnressnsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6562	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		fnressn 7154	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
3	1, 2	sylanb 593	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
4	3	rneqd 5920	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ {𝐴}) = ran {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
5		rnsnopg 6215	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐹 → ran {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} = {(𝐹‘𝐴)})
6	5	adantl 487	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} = {(𝐹‘𝐴)})
7	4, 6	eqtrd 2796	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ {𝐴}) = {(𝐹‘𝐴)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ⟨cop 4590  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539

This theorem is used by:  esplyind  34189