Theorem rnressnsn 32756

Description: The range of a restriction to a singleton is a singleton. See dmressnsn 5982. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
rnressnsn	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ {𝐴}) = {(𝐹‘𝐴)})

Proof of Theorem rnressnsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6522	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		fnressn 7103	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
3	1, 2	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
4	3	rneqd 5887	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ {𝐴}) = ran {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
5		rnsnopg 6179	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐹 → ran {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} = {(𝐹‘𝐴)})
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩} = {(𝐹‘𝐴)})
7	4, 6	eqtrd 2771	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ran (𝐹 ↾ {𝐴}) = {(𝐹‘𝐴)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4580  ⟨cop 4586  dom cdm 5624  ran crn 5625   ↾ cres 5626  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  esplyind  33731