Theorem esplyind 33996

Description: A recursive formula for the elementary symmetric polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyind.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
esplyind.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
esplyind.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
esplyind.m	⊢ · = (.r‘𝑊)
esplyind.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyind.g	⊢ 𝐺 = ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)
esplyind.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyind.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyind.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
esplyind.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
esplyind.e	⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
esplyind.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...(♯‘𝐼)))
esplyind.1	⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}

Assertion

Ref	Expression
esplyind	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) + (𝐺‘(𝐸‘𝐾))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   + (ℎ)   𝑅(ℎ)   · (ℎ)   𝐸(ℎ)   𝐺(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑉(ℎ)   𝑊(ℎ)

Proof of Theorem esplyind

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovif12 7523	. . . 4 ⊢ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅))) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))), (((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
2		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		esplyind.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	ringgrpd 20355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	2, 8, 5	ringidcld 20381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		ringgrp 20351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
12	2, 4	grpidcl 19063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13	5, 11, 12	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15	10, 14	ifcld 4539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
17	2, 3, 4, 7, 16	grplidd 19067	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
18		snsspr1 4785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0} ⊆ {0, 1}
19	18	biantru 539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ {0} ⊆ {0, 1}))
20		unss 4146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ {0} ⊆ {0, 1}) ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}) ⊆ {0, 1})
21	19, 20	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}) ⊆ {0, 1})
22		esplyind.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
24		nn0ex 12528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℕ0 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
26		esplyind.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
27	26	ssrab3 4039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
29	28	sselda 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
30	23, 25, 29	elmaprd 33062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
31	30	freld 6719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → Rel 𝑓)
32	30	ffnd 6713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 Fn 𝐼)
33	32	fndmd 6647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → dom 𝑓 = 𝐼)
34		esplyind.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
35	34	uneq1i 4121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐽 ∪ {𝑌}) = ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})
36		esplyind.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
37	36	snssd 4757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐼)
38		undifr 4449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑌} ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
39	37, 38	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
40	35, 39	eqtr2id 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐽 ∪ {𝑌}))
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝐼 = (𝐽 ∪ {𝑌}))
42	33, 41	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → dom 𝑓 = (𝐽 ∪ {𝑌}))
43		reldmun 6038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Rel 𝑓 ∧ dom 𝑓 = (𝐽 ∪ {𝑌})) → 𝑓 = ((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})))
44	31, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 = ((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})))
45	44	rneqd 5933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ran 𝑓 = ran ((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})))
46		rnun 6147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ran ((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})) = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌}))
47	45, 46	eqtr2di 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌})) = ran 𝑓)
48	32	fnfund 6643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → Fun 𝑓)
49	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ 𝐼)
50	49, 33	eleqtrrd 2869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ dom 𝑓)
51		rnressnsn 33059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Fun 𝑓 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝑓) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) = {(𝑓‘𝑌)})
52	48, 50, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) = {(𝑓‘𝑌)})
53	52	uneq2d 4125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌})) = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {(𝑓‘𝑌)}))
54	47, 53	eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ran 𝑓 = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {(𝑓‘𝑌)}))
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ran 𝑓 = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {(𝑓‘𝑌)}))
56		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) = 0)
57	56	sneqd 4606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → {(𝑓‘𝑌)} = {0})
58	57	uneq2d 4125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {(𝑓‘𝑌)}) = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}))
59	55, 58	eqtrd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ran 𝑓 = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}))
60	59	sseq1d 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}) ⊆ {0, 1}))
61	21, 60	bitr4id 293	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ↔ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}))
62	44	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})) supp 0))
63	29	resexd 6032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ↾ 𝐽) ∈ V)
64	29	resexd 6032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ↾ {𝑌}) ∈ V)
65		0nn0 12537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
67	63, 64, 66	suppun2 33066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})) supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)))
68	62, 67	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)))
69	68	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)))
70		fnressn 7162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ {𝑌}) = {⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩})
71	32, 49, 70	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ↾ {𝑌}) = {⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩})
72	71	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = ({⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩} supp 0))
73	30, 49	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℕ0)
74		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩} = {⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩}
75	74	suppsnop 8183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑌) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ({⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩} supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
76	49, 73, 66, 75	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ({⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩} supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
77	72, 76	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
78	77	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
79	56	iftrued 4500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}) = ∅)
80	78, 79	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = ∅)
81	80	uneq2d 4125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ∅))
82		un0 4354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ∅) = ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)
83	81, 82	eqtrdi 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)) = ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))
84	69, 83	eqtr2d 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) = (𝑓 supp 0))
85	84	fveqeq2d 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾))
86	61, 85	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾) ↔ (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾)))
87	86	ifbid 4516	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
88	17, 87	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
89	6	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Grp)
90		esplyind.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
91		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
92	26	psrbasfsupp 33932	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
93		esplyind.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)
94	93	fveq1i 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1))) = (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))
95		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
96	90	fveq2i 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
97	26, 4, 22, 5, 2, 34, 95, 36, 96	extvfvalf 33958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌):(Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))⟶(Base‘𝑊))
98		esplyind.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
99	98	fveq1i 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸‘(𝐾 − 1)) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 − 1))
100		esplyind.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
101		difssd 4094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑌}) ⊆ 𝐼)
102	34, 101	eqsstrid 3978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
103	22, 102	ssfid 9239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fin)
104		esplyind.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...(♯‘𝐼)))
105		elfznn 13600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (1...(♯‘𝐼)) → 𝐾 ∈ ℕ)
106		nnm1nn0 12563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
107	104, 105, 106	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
108	100, 103, 5, 107, 95	esplympl 33988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 − 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
109	99, 108	eqeltrid 2870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐾 − 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
110	97, 109	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1))) ∈ (Base‘𝑊))
111	94, 110	eqeltrid 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1))) ∈ (Base‘𝑊))
112	90, 2, 91, 92, 111	mplelf 22184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
113	112	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
114		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑓 ∈ 𝐷)
115		indf 12242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
116	22, 37, 115	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
117	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
118		1nn0 12538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ0
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
120	117, 119	prssd 4793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℕ0)
121	116, 120	fssd 6730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶ℕ0)
122	121	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶ℕ0)
123	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝐼 ∈ Fin)
124	123	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝐼 ∈ Fin)
125	37	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → {𝑌} ⊆ 𝐼)
126		velsn 4610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑌} ↔ 𝑥 = 𝑌)
127	126	bilanri 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 ∈ {𝑌})
128		ind1 12245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ {𝑌}) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 1)
129	124, 125, 127, 128	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 1)
130	30	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
131		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝐼)
132	130, 131	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
133		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
134	133	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑌))
135		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 0)
136	135	neqned 2968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑌) ≠ 0)
137	134, 136	eqnetrd 3028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑥) ≠ 0)
138		elnnne0 12536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))
139	132, 137, 138	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
140	139	nnge1d 12302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 1 ≤ (𝑓‘𝑥))
141	129, 140	eqbrtrd 5138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥))
142	123	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 𝐼 ∈ Fin)
143	37	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → {𝑌} ⊆ 𝐼)
144		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝐼)
145		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 𝑥 ≠ 𝑌)
146	144, 145	eldifsnd 4760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
147		ind0 12246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 0)
148	142, 143, 146, 147	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 0)
149	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
150	149	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
151	150	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
152	151	nn0ge0d 12586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 0 ≤ (𝑓‘𝑥))
153	148, 152	eqbrtrd 5138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥))
154	141, 153	pm2.61dane 3048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥))
155	154	ralrimiva 3160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥))
156	122	ffnd 6713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
157	32	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑓 Fn 𝐼)
158		inidm 4182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
159		eqidd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥))
160		eqidd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
161	156, 157, 123, 123, 158, 159, 160	ofrfval 7697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) ∘r ≤ 𝑓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥)))
162	155, 161	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) ∘r ≤ 𝑓)
163	92	psrbagcon 22112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐷 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) ∘r ≤ 𝑓) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ 𝐷 ∧ (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∘r ≤ 𝑓))
164	163	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐷 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) ∘r ≤ 𝑓) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ 𝐷)
165	114, 122, 162, 164	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ 𝐷)
166	113, 165	ffvelcdmd 7087	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝑅))
167	2, 3, 4, 89, 166	grpridd 19068	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))
168	94	fveq1i 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) = ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))
169	168	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) = ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))
170	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Ring)
171	36	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑌 ∈ 𝐼)
172	109	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝐸‘(𝐾 − 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
173	26, 4, 123, 170, 171, 34, 95, 172, 165	extvfvv 33955	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) = if(((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0, ((𝐸‘(𝐾 − 1))‘((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)), (0g‘𝑅)))
174	100, 103, 5, 107, 4, 8	esplyfval3 33993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 − 1)) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
175	99, 174	eqtrid 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐾 − 1)) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
176	175	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝐸‘(𝐾 − 1)) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
177	47	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌})) = ran 𝑓)
178		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽))
179	116	ffnd 6713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
180	179	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
181	32, 180, 23, 23, 158	offn 7700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) Fn 𝐼)
182	181	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) Fn 𝐼)
183	102	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
184	182, 183	fnssresd 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) Fn 𝐽)
185		fneq1 6633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) → (𝑧 Fn 𝐽 ↔ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) Fn 𝐽))
186	185	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) Fn 𝐽) → 𝑧 Fn 𝐽)
187	178, 184, 186	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → 𝑧 Fn 𝐽)
188	32	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝑓 Fn 𝐼)
189	102	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
190	188, 189	fnssresd 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) Fn 𝐽)
191	190	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → (𝑓 ↾ 𝐽) Fn 𝐽)
192		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽))
193	192	fveq1d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑧‘𝑥) = (((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)‘𝑥))
194		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽)
195	194	fvresd 6908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)‘𝑥) = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑥))
196	188	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑓 Fn 𝐼)
197	156	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
198	197	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
199	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝐼 ∈ Fin)
200	199	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐼 ∈ Fin)
201	183	sselda 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
202		fnfvof 7704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥)))
203	196, 198, 200, 201, 202	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥)))
204	37	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {𝑌} ⊆ 𝐼)
205	194, 34	eleqtrdi 2876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
206	200, 204, 205, 147	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 0)
207	206	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓‘𝑥) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥)) = ((𝑓‘𝑥) − 0))
208	149	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
209	208, 201	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
210	209	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℂ)
211	210	subid1d 11576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓‘𝑥) − 0) = (𝑓‘𝑥))
212	194	fvresd 6908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓 ↾ 𝐽)‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
213	211, 212	eqtr4d 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓‘𝑥) − 0) = ((𝑓 ↾ 𝐽)‘𝑥))
214	203, 207, 213	3eqtrd 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑥) = ((𝑓 ↾ 𝐽)‘𝑥))
215	193, 195, 214	3eqtrd 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑧‘𝑥) = ((𝑓 ↾ 𝐽)‘𝑥))
216	187, 191, 215	eqfnfvd 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → 𝑧 = (𝑓 ↾ 𝐽))
217	216	rneqd 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → ran 𝑧 = ran (𝑓 ↾ 𝐽))
218	217	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑧 = ran (𝑓 ↾ 𝐽))
219		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑧 ⊆ {0, 1})
220	218, 219	eqsstrrd 3975	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1})
221	48	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → Fun 𝑓)
222	50	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → 𝑌 ∈ dom 𝑓)
223	221, 222, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) = {(𝑓‘𝑌)})
224	73	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℕ0)
225	224	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℂ)
226	116, 36	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) ∈ {0, 1})
227	120, 226	sseldd 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) ∈ ℕ0)
228	227	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) ∈ ℂ)
229	228	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) ∈ ℂ)
230	171	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝑌 ∈ 𝐼)
231		fnfvof 7704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)))
232	188, 197, 199, 230, 231	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)))
233		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0)
234	232, 233	eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)) = 0)
235	225, 229, 234	subeq0d 11595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) = (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌))
236		snidg 4631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ {𝑌})
237	36, 236	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑌})
238		ind1 12245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ {𝑌}) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
239	22, 37, 237, 238	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
240	239	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
241	235, 240	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) = 1)
242	241	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) = 1)
243	242	sneqd 4606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → {(𝑓‘𝑌)} = {1})
244	223, 243	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) = {1})
245		snsspr2 4786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {1} ⊆ {0, 1}
246	244, 245	eqsstrdi 3984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) ⊆ {0, 1})
247	220, 246	unssd 4148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌})) ⊆ {0, 1})
248	177, 247	eqsstrrd 3975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑓 ⊆ {0, 1})
249	216	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝑧 = (𝑓 ↾ 𝐽))
250	249	rneqd 5933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑧 = ran (𝑓 ↾ 𝐽))
251		rnresss 6021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ ran 𝑓
252		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑓 ⊆ {0, 1})
253	251, 252	sstrid 3951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1})
254	250, 253	eqsstrd 3974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑧 ⊆ {0, 1})
255	248, 254	impbida 813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → (ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ↔ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}))
256	216	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → (𝑧 supp 0) = ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))
257	256	fveqeq2d 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → ((♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1) ↔ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)))
258	255, 257	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → ((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)) ↔ (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1))))
259	258	ifbid 4516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → if((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
260		breq1 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) → (ℎ finSupp 0 ↔ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) finSupp 0))
261	27, 165	sselid 3938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
262	261	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
263	262, 189	elmapssresd 8874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽))
264		breq1 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) finSupp 0))
265	165	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ 𝐷)
266	265, 26	eleqtrdi 2876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
267	264, 266	elrabrd 3656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) finSupp 0)
268	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 0 ∈ ℕ0)
269	267, 268	fsuppres 9363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) finSupp 0)
270	260, 263, 269	elrabd 3655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0})
271	270, 100	eleqtrrdi 2877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) ∈ 𝐶)
272	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
273	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
274	272, 273	ifcld 4539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
275	176, 259, 271, 274	fvmptd 7004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝐸‘(𝐾 − 1))‘((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
276		eqcom 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 − 1) = (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ↔ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1))
277		fz1ssfz0 13670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...(♯‘𝐼)) ⊆ (0...(♯‘𝐼))
278		fz0ssnn0 13669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0...(♯‘𝐼)) ⊆ ℕ0
279	277, 278	sstri 3949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1...(♯‘𝐼)) ⊆ ℕ0
280	279, 104	sselid 3938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
281	280	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
282	281	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
283		1cnd 11220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 1 ∈ ℂ)
284		c0ex 11218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ V
285	284	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
286	30, 23, 285	fidmfisupp 9342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 finSupp 0)
287	286, 285	fsuppres 9363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ↾ 𝐽) finSupp 0)
288	287	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) finSupp 0)
289	288	fsuppimpd 9339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∈ Fin)
290		hashcl 14412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∈ Fin → (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ∈ ℕ0)
291	289, 290	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ∈ ℕ0)
292	291	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ∈ ℂ)
293	282, 283, 292	subadd2d 11606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝐾 − 1) = (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ↔ ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1) = 𝐾))
294	276, 293	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1) ↔ ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1) = 𝐾))
295	68	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)))
296	77	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
297		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 0)
298	297	iffalsed 4503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}) = {𝑌})
299	296, 298	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = {𝑌})
300	299	uneq2d 4125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌}))
301	295, 300	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌}))
302	301	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘(𝑓 supp 0)) = (♯‘(((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌})))
303		suppssdm 8182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ⊆ dom (𝑓 ↾ 𝐽)
304		resdmss 6241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ 𝐽
305	303, 304	sstri 3949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ⊆ 𝐽
306	305	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ⊆ 𝐽)
307	34	eqimssi 4000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐽 ⊆ (𝐼 ∖ {𝑌})
308		ssdifsn 4761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐽 ⊆ (𝐼 ∖ {𝑌}) ↔ (𝐽 ⊆ 𝐼 ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽))
309	307, 308	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝐼 ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)
310	309	simpri 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽
311	310	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)
312	306, 311	ssneldd 3943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ 𝑌 ∈ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))
313		hashunsng 14448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) → (♯‘(((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌})) = ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1)))
314	313	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))) → (♯‘(((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌})) = ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1))
315	230, 289, 312, 314	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘(((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌})) = ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1))
316	302, 315	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘(𝑓 supp 0)) = ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1))
317	316	eqeq1d 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾 ↔ ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1) = 𝐾))
318	294, 317	bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1) ↔ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾))
319	318	anbi2d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)) ↔ (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾)))
320	319	ifbid 4516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
321	275, 320	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝐸‘(𝐾 − 1))‘((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
322		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑓 ⊆ {0, 1})
323	157	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝑓 Fn 𝐼)
324	171	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝑌 ∈ 𝐼)
325	323, 324	fnfvelrnd 7084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ∈ ran 𝑓)
326	322, 325	sseldd 3941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ∈ {0, 1})
327		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 0)
328	327	neqned 2968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ≠ 0)
329	73	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℂ)
330	329	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℂ)
331		1cnd 11220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 1 ∈ ℂ)
332		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0)
333	156	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
334	123	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝐼 ∈ Fin)
335	323, 333, 334, 324, 231	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)))
336	239	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
337	336	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)) = ((𝑓‘𝑌) − 1))
338	335, 337	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = ((𝑓‘𝑌) − 1))
339	338	eqeq1d 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0 ↔ ((𝑓‘𝑌) − 1) = 0))
340	332, 339	mtbid 327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ ((𝑓‘𝑌) − 1) = 0)
341		subeq0 11502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑓‘𝑌) − 1) = 0 ↔ (𝑓‘𝑌) = 1))
342	341	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (¬ ((𝑓‘𝑌) − 1) = 0 ↔ ¬ (𝑓‘𝑌) = 1))
343	342	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑓‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ ¬ ((𝑓‘𝑌) − 1) = 0) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 1)
344	330, 331, 340, 343	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 1)
345	344	neqned 2968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ≠ 1)
346	328, 345	nelprd 4628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ (𝑓‘𝑌) ∈ {0, 1})
347	326, 346	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1})
348	347	intnanrd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾))
349	348	iffalsed 4503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
350	349	eqcomd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (0g‘𝑅) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
351	321, 350	ifeqda 4529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → if(((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0, ((𝐸‘(𝐾 − 1))‘((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)), (0g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
352	169, 173, 351	3eqtrd 2805	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
353	167, 352	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
354	88, 353	ifeqda 4529	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((𝑓‘𝑌) = 0, ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))), (((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅))) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
355	1, 354	eqtrid 2813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅))) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
356	355	mpteq2dva 5209	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
357		esplyind.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
358		esplyind.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑊)
359	90, 22, 5	mplringd 22209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
360		esplyind.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
361	90, 360, 91, 22, 5, 36	mvrcl 22178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
362	91, 358, 359, 361, 111	ringcld 20370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) ∈ (Base‘𝑊))
363	93	fveq1i 6889	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘(𝐸‘𝐾)) = (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾))
364	98	fveq1i 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘𝐾) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾)
365	100, 103, 5, 280, 95	esplympl 33988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
366	364, 365	eqeltrid 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
367	97, 366	ffvelcdmd 7087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑊))
368	363, 367	eqeltrid 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑊))
369	90, 91, 3, 357, 362, 368	mpladd 22195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) + (𝐺‘(𝐸‘𝐾))) = (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝐺‘(𝐸‘𝐾))))
370	360	fveq1i 6889	. . . . 5 ⊢ (𝑉‘𝑌) = ((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)
371		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) = ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})
372	90, 370, 91, 358, 4, 26, 371, 22, 36, 5, 111	mplmulmvr 33960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))))
373	93	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌))
374	100, 103, 5, 280, 4, 8	esplyfval3 33993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
375	364, 374	eqtrid 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) = (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
376	373, 375	fveq12d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘𝐾)) = (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
377	374, 365	eqeltrrd 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
378	26, 4, 22, 5, 36, 34, 95, 377	extvfv 33954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘(𝑓 ↾ 𝐽)), (0g‘𝑅))))
379		rneq 5931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → ran 𝑔 = ran (𝑓 ↾ 𝐽))
380	379	sseq1d 3971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → (ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ↔ ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1}))
381		oveq1 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → (𝑔 supp 0) = ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))
382	381	fveqeq2d 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → ((♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾 ↔ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾))
383	380, 382	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → ((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾) ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾)))
384	383	ifbid 4516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
385		eqidd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
386		breq1 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑓 ↾ 𝐽) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑓 ↾ 𝐽) finSupp 0))
387	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ℕ0 ∈ V)
388	103	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝐽 ∈ Fin)
389	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
390	102	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
391	389, 390	fssresd 6752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
392	387, 388, 391	elmapdd 8847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽))
393	287	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) finSupp 0)
394	386, 392, 393	elrabd 3655	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0})
395	394, 100	eleqtrrdi 2877	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) ∈ 𝐶)
396		fvexd 6903	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (1r‘𝑅) ∈ V)
397		fvexd 6903	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (0g‘𝑅) ∈ V)
398	396, 397	ifcld 4539	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
399	384, 385, 395, 398	fvmptd4 7021	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘(𝑓 ↾ 𝐽)) = if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
400	399	ifeq1da 4524	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((𝑓‘𝑌) = 0, ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘(𝑓 ↾ 𝐽)), (0g‘𝑅)) = if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))
401	400	mpteq2dva 5209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘(𝑓 ↾ 𝐽)), (0g‘𝑅))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅))))
402	376, 378, 401	3eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘𝐾)) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅))))
403	372, 402	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝐺‘(𝐸‘𝐾))) = ((𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))))
404		ovex 7456	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
405	26, 404	rabex2 5316	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
406	405	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
407		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓𝜑
408		fvexd 6903	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) ∈ V)
409	14, 408	ifexd 4541	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))) ∈ V)
410		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))))
411	407, 409, 410	fnmptd 6683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) Fn 𝐷)
412	15, 14	ifcld 4539	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
413		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))
414	407, 412, 413	fnmptd 6683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅))) Fn 𝐷)
415		ofmpteq 7710	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) Fn 𝐷 ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅))) Fn 𝐷) → ((𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))))
416	406, 411, 414, 415	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))))
417	369, 403, 416	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) + (𝐺‘(𝐸‘𝐾))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))))
418	26, 22, 5, 280, 4, 8	esplyfval3 33993	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
419	356, 417, 418	3eqtr4rd 2812	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) + (𝐺‘(𝐸‘𝐾))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  {crab 3419  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905   ∪ cun 3906   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  ifcif 4492  {csn 4594  {cpr 4596  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666  ran crn 5667   ↾ cres 5668  Rel wrel 5671  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∘_f cof 7685   ∘_r cofr 7686   supp csupp 8165   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8952   finSupp cfsupp 9331  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   ≤ cle 11262   − cmin 11459  𝟭cind 12236  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ...cfz 13553  ♯chash 14386  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  ._rcmulr 17336  0_gc0g 17517  Grpcgrp 19031  1_rcur 20294  Ringcrg 20346   mVar cmvr 22092   mPoly cmpl 22093  extendVarscextv 33950  eSymPolycesply 33977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-addf 11197  ax-mulf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-ind 12237  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-rhm 20587  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-cnfld 21560  df-zring 21634  df-zrh 21690  df-psr 22096  df-mvr 22097  df-mpl 22098  df-extv 33951  df-esply 33979

This theorem is used by:  esplyindfv  33997