esplyind - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem esplyind 33719

Description: A recursive formula for the elementary symmetric polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
esplyind.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
esplyind.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
esplyind.p	⊢ + = (+_g‘𝑊)
esplyind.m	⊢ · = (._r‘𝑊)
esplyind.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ₀ ↑_m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyind.g	⊢ 𝐺 = ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)
esplyind.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyind.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyind.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
esplyind.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
esplyind.e	⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
esplyind.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...(♯‘𝐼)))
esplyind.1	⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ₀ ↑_m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}

**Assertion**
Ref	Expression
esplyind	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) + (𝐺‘(𝐸‘𝐾))))

Distinct variable groups: ℎ,𝐼 ℎ,𝐽 ℎ,𝑌 Allowed substitution hints: 𝜑(ℎ) 𝐶(ℎ) 𝐷(ℎ) + (ℎ) 𝑅(ℎ) · (ℎ) 𝐸(ℎ) 𝐺(ℎ) 𝐾(ℎ) 𝑉(ℎ) 𝑊(ℎ)

Proof of Theorem esplyind Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovif12 7467	. . . 4 ⊢ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+_g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅))) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ((0_g‘𝑅)(+_g‘𝑅)if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅))), (((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))(+_g‘𝑅)(0_g‘𝑅)))
2		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+_g‘𝑅) = (+_g‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0_g‘𝑅) = (0_g‘𝑅)
5		esplyind.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	ringgrpd 20223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1_r‘𝑅) = (1_r‘𝑅)
9	2, 8, 5	ringidcld 20247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1_r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (1_r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		ringgrp 20219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
12	2, 4	grpidcl 18941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0_g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13	5, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0_g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (0_g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15	10, 14	ifcld 4513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
17	2, 3, 4, 7, 16	grplidd 18945	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((0_g‘𝑅)(+_g‘𝑅)if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅))) = if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
18		snsspr1 4757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0} ⊆ {0, 1}
19	18	biantru 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ {0} ⊆ {0, 1}))
20		unss 4130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ {0} ⊆ {0, 1}) ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}) ⊆ {0, 1})
21	19, 20	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}) ⊆ {0, 1})
22		esplyind.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
24		nn0ex 12443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℕ₀ ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ℕ₀ ∈ V)
26		esplyind.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ₀ ↑_m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
27	26	ssrab3 4022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ₀ ↑_m 𝐼)
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (ℕ₀ ↑_m 𝐼))
29	28	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_m 𝐼))
30	23, 25, 29	elmaprd 32753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓:𝐼⟶ℕ₀)
31	30	freld 6674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → Rel 𝑓)
32	30	ffnd 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 Fn 𝐼)
33	32	fndmd 6603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → dom 𝑓 = 𝐼)
34		esplyind.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
35	34	uneq1i 4104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐽 ∪ {𝑌}) = ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})
36		esplyind.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
37	36	snssd 4730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐼)
38		undifr 4423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑌} ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
39	37, 38	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
40	35, 39	eqtr2id 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐽 ∪ {𝑌}))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝐼 = (𝐽 ∪ {𝑌}))
42	33, 41	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → dom 𝑓 = (𝐽 ∪ {𝑌}))
43	34	ineq1i 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐽 ∩ {𝑌}) = ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∩ {𝑌})
44		disjdifr 4413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∩ {𝑌}) = ∅
45	43, 44	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐽 ∩ {𝑌}) = ∅
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝐽 ∩ {𝑌}) = ∅)
47		reldisjun 5997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Rel 𝑓 ∧ dom 𝑓 = (𝐽 ∪ {𝑌}) ∧ (𝐽 ∩ {𝑌}) = ∅) → 𝑓 = ((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})))
48	31, 42, 46, 47	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 = ((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})))
49	48	rneqd 5893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ran 𝑓 = ran ((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})))
50		rnun 6109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ran ((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})) = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌}))
51	49, 50	eqtr2di 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌})) = ran 𝑓)
52	32	fnfund 6599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → Fun 𝑓)
53	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ 𝐼)
54	53, 33	eleqtrrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ dom 𝑓)
55		rnressnsn 32750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Fun 𝑓 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝑓) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) = {(𝑓‘𝑌)})
56	52, 54, 55	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) = {(𝑓‘𝑌)})
57	56	uneq2d 4108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌})) = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {(𝑓‘𝑌)}))
58	51, 57	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ran 𝑓 = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {(𝑓‘𝑌)}))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ran 𝑓 = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {(𝑓‘𝑌)}))
60		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) = 0)
61	60	sneqd 4579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → {(𝑓‘𝑌)} = {0})
62	61	uneq2d 4108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {(𝑓‘𝑌)}) = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}))
63	59, 62	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ran 𝑓 = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}))
64	63	sseq1d 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}) ⊆ {0, 1}))
65	21, 64	bitr4id 290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ↔ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}))
66	48	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})) supp 0))
67	29	resexd 5993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ↾ 𝐽) ∈ V)
68	29	resexd 5993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ↾ {𝑌}) ∈ V)
69		0nn0 12452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℕ₀)
71	67, 68, 70	suppun2 32757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})) supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)))
72	66, 71	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)))
73	72	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)))
74		fnressn 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ {𝑌}) = {⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩})
75	32, 53, 74	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ↾ {𝑌}) = {⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩})
76	75	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = ({⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩} supp 0))
77	30, 53	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℕ₀)
78		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩} = {⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩}
79	78	suppsnop 8128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑌) ∈ ℕ₀ ∧ 0 ∈ ℕ₀) → ({⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩} supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
80	53, 77, 70, 79	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ({⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩} supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
81	76, 80	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
82	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
83	60	iftrued 4474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}) = ∅)
84	82, 83	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = ∅)
85	84	uneq2d 4108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ∅))
86		un0 4334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ∅) = ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)
87	85, 86	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)) = ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))
88	73, 87	eqtr2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) = (𝑓 supp 0))
89	88	fveqeq2d 6848	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾))
90	65, 89	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾) ↔ (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾)))
91	90	ifbid 4490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
92	17, 91	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((0_g‘𝑅)(+_g‘𝑅)if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅))) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
93	6	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Grp)
94		esplyind.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
95		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
96	26	psrbasfsupp 33672	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ₀ ↑_m 𝐼) ∣ (^◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
97		esplyind.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)
98	97	fveq1i 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1))) = (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))
99		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
100	94	fveq2i 6843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
101	26, 4, 22, 5, 2, 34, 99, 36, 100	extvfvalf 33681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌):(Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))⟶(Base‘𝑊))
102		esplyind.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
103	102	fveq1i 6841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸‘(𝐾 − 1)) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 − 1))
104		esplyind.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ₀ ↑_m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
105		difssd 4077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑌}) ⊆ 𝐼)
106	34, 105	eqsstrid 3960	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
107	22, 106	ssfid 9179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fin)
108		esplyind.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...(♯‘𝐼)))
109		elfznn 13507	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (1...(♯‘𝐼)) → 𝐾 ∈ ℕ)
110		nnm1nn0 12478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀)
111	108, 109, 110	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀)
112	104, 107, 5, 111, 99	esplympl 33711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 − 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
113	103, 112	eqeltrid 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐾 − 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
114	101, 113	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1))) ∈ (Base‘𝑊))
115	98, 114	eqeltrid 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1))) ∈ (Base‘𝑊))
116	94, 2, 95, 96, 115	mplelf 21976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
117	116	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
118		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑓 ∈ 𝐷)
119		indf 12165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
120	22, 37, 119	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
121	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ₀)
122		1nn0 12453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ₀)
124	121, 123	prssd 4765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℕ₀)
125	120, 124	fssd 6685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶ℕ₀)
126	125	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶ℕ₀)
127	22	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝐼 ∈ Fin)
128	127	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝐼 ∈ Fin)
129	37	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → {𝑌} ⊆ 𝐼)
130		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
131		velsn 4583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑌} ↔ 𝑥 = 𝑌)
132	130, 131	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 ∈ {𝑌})
133		ind1 12168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ {𝑌}) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 1)
134	128, 129, 132, 133	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 1)
135	30	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑓:𝐼⟶ℕ₀)
136		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝐼)
137	135, 136	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ₀)
138	130	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑌))
139		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 0)
140	139	neqned 2939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑌) ≠ 0)
141	138, 140	eqnetrd 2999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑥) ≠ 0)
142		elnnne0 12451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))
143	137, 141, 142	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
144	143	nnge1d 12225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 1 ≤ (𝑓‘𝑥))
145	134, 144	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥))
146	127	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 𝐼 ∈ Fin)
147	37	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → {𝑌} ⊆ 𝐼)
148		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝐼)
149		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 𝑥 ≠ 𝑌)
150	148, 149	eldifsnd 4732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
151		ind0 12169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 0)
152	146, 147, 150, 151	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 0)
153	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑓:𝐼⟶ℕ₀)
154	153	ffvelcdmda 7036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ₀)
155	154	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ₀)
156	155	nn0ge0d 12501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 0 ≤ (𝑓‘𝑥))
157	152, 156	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥))
158	145, 157	pm2.61dane 3019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥))
159	158	ralrimiva 3129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥))
160	126	ffnd 6669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
161	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑓 Fn 𝐼)
162		inidm 4167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
163		eqidd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥))
164		eqidd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
165	160, 161, 127, 127, 162, 163, 164	ofrfval 7641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) ∘_r ≤ 𝑓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥)))
166	159, 165	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) ∘_r ≤ 𝑓)
167	96	psrbagcon 21905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐷 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶ℕ₀ ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) ∘_r ≤ 𝑓) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ 𝐷 ∧ (𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∘_r ≤ 𝑓))
168	167	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐷 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶ℕ₀ ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) ∘_r ≤ 𝑓) → (𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ 𝐷)
169	118, 126, 166, 168	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ 𝐷)
170	117, 169	ffvelcdmd 7037	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝑅))
171	2, 3, 4, 93, 170	grpridd 18946	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))(+_g‘𝑅)(0_g‘𝑅)) = ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))
172	98	fveq1i 6841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) = ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))
173	172	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) = ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))
174	5	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Ring)
175	36	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑌 ∈ 𝐼)
176	113	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝐸‘(𝐾 − 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
177	26, 4, 127, 174, 175, 34, 99, 176, 169	extvfvv 33678	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) = if(((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0, ((𝐸‘(𝐾 − 1))‘((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)), (0_g‘𝑅)))
178	104, 107, 5, 111, 4, 8	esplyfval3 33716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 − 1)) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅))))
179	103, 178	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐾 − 1)) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅))))
180	179	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝐸‘(𝐾 − 1)) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅))))
181	51	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌})) = ran 𝑓)
182		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽))
183	120	ffnd 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
184	183	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
185	32, 184, 23, 23, 162	offn 7644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) Fn 𝐼)
186	185	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → (𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) Fn 𝐼)
187	106	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
188	186, 187	fnssresd 6622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) Fn 𝐽)
189		fneq1 6589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) → (𝑧 Fn 𝐽 ↔ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) Fn 𝐽))
190	189	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) Fn 𝐽) → 𝑧 Fn 𝐽)
191	182, 188, 190	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → 𝑧 Fn 𝐽)
192	32	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝑓 Fn 𝐼)
193	106	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
194	192, 193	fnssresd 6622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) Fn 𝐽)
195	194	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → (𝑓 ↾ 𝐽) Fn 𝐽)
196		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽))
197	196	fveq1d 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑧‘𝑥) = (((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)‘𝑥))
198		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽)
199	198	fvresd 6860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)‘𝑥) = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑥))
200	192	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑓 Fn 𝐼)
201	160	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
202	201	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
203	23	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝐼 ∈ Fin)
204	203	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐼 ∈ Fin)
205	187	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
206		fnfvof 7648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥)))
207	200, 202, 204, 205, 206	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥)))
208	37	ad5antr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {𝑌} ⊆ 𝐼)
209	198, 34	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
210	204, 208, 209, 151	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 0)
211	210	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓‘𝑥) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥)) = ((𝑓‘𝑥) − 0))
212	153	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑓:𝐼⟶ℕ₀)
213	212, 205	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ₀)
214	213	nn0cnd 12500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℂ)
215	214	subid1d 11494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓‘𝑥) − 0) = (𝑓‘𝑥))
216	198	fvresd 6860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓 ↾ 𝐽)‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
217	215, 216	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓‘𝑥) − 0) = ((𝑓 ↾ 𝐽)‘𝑥))
218	207, 211, 217	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑥) = ((𝑓 ↾ 𝐽)‘𝑥))
219	197, 199, 218	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑧‘𝑥) = ((𝑓 ↾ 𝐽)‘𝑥))
220	191, 195, 219	eqfnfvd 6986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → 𝑧 = (𝑓 ↾ 𝐽))
221	220	rneqd 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → ran 𝑧 = ran (𝑓 ↾ 𝐽))
222	221	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑧 = ran (𝑓 ↾ 𝐽))
223		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑧 ⊆ {0, 1})
224	222, 223	eqsstrrd 3957	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1})
225	52	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → Fun 𝑓)
226	54	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → 𝑌 ∈ dom 𝑓)
227	225, 226, 55	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) = {(𝑓‘𝑌)})
228	77	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℕ₀)
229	228	nn0cnd 12500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℂ)
230	120, 36	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) ∈ {0, 1})
231	124, 230	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) ∈ ℕ₀)
232	231	nn0cnd 12500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) ∈ ℂ)
233	232	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) ∈ ℂ)
234	175	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝑌 ∈ 𝐼)
235		fnfvof 7648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)))
236	192, 201, 203, 234, 235	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)))
237		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0)
238	236, 237	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)) = 0)
239	229, 233, 238	subeq0d 11513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) = (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌))
240		snidg 4604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ {𝑌})
241	36, 240	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑌})
242		ind1 12168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ {𝑌}) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
243	22, 37, 241, 242	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
244	243	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
245	239, 244	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) = 1)
246	245	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) = 1)
247	246	sneqd 4579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → {(𝑓‘𝑌)} = {1})
248	227, 247	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) = {1})
249		snsspr2 4758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {1} ⊆ {0, 1}
250	248, 249	eqsstrdi 3966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) ⊆ {0, 1})
251	224, 250	unssd 4132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌})) ⊆ {0, 1})
252	181, 251	eqsstrrd 3957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑓 ⊆ {0, 1})
253	220	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝑧 = (𝑓 ↾ 𝐽))
254	253	rneqd 5893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑧 = ran (𝑓 ↾ 𝐽))
255		rnresss 5982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ ran 𝑓
256		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑓 ⊆ {0, 1})
257	255, 256	sstrid 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1})
258	254, 257	eqsstrd 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑧 ⊆ {0, 1})
259	252, 258	impbida 801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → (ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ↔ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}))
260	220	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → (𝑧 supp 0) = ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))
261	260	fveqeq2d 6848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → ((♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1) ↔ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)))
262	259, 261	anbi12d 633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → ((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)) ↔ (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1))))
263	262	ifbid 4490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → if((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
264		breq1 5088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) → (ℎ finSupp 0 ↔ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) finSupp 0))
265	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ℕ₀ ∈ V)
266	203, 193	ssexd 5265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝐽 ∈ V)
267	27, 169	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ (ℕ₀ ↑_m 𝐼))
268	267	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ (ℕ₀ ↑_m 𝐼))
269	203, 265, 268	elmaprd 32753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})):𝐼⟶ℕ₀)
270	269, 193	fssresd 6707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ₀)
271	265, 266, 270	elmapdd 8788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) ∈ (ℕ₀ ↑_m 𝐽))
272		breq1 5088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) finSupp 0))
273	169	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ 𝐷)
274	273, 26	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ {ℎ ∈ (ℕ₀ ↑_m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
275	272, 274	elrabrd 32568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) finSupp 0)
276	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 0 ∈ ℕ₀)
277	275, 276	fsuppres 9306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) finSupp 0)
278	264, 271, 277	elrabd 3636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) ∈ {ℎ ∈ (ℕ₀ ↑_m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0})
279	278, 104	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) ∈ 𝐶)
280	10	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (1_r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
281	14	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (0_g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
282	280, 281	ifcld 4513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
283	180, 263, 279, 282	fvmptd 6955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝐸‘(𝐾 − 1))‘((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
284		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 − 1) = (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ↔ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1))
285		fz1ssfz0 13577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...(♯‘𝐼)) ⊆ (0...(♯‘𝐼))
286		fz0ssnn0 13576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0...(♯‘𝐼)) ⊆ ℕ₀
287	285, 286	sstri 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1...(♯‘𝐼)) ⊆ ℕ₀
288	287, 108	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ₀)
289	288	nn0cnd 12500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
290	289	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
291		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 1 ∈ ℂ)
292		c0ex 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ V
293	292	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
294	30, 23, 293	fidmfisupp 9285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 finSupp 0)
295	294, 293	fsuppres 9306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ↾ 𝐽) finSupp 0)
296	295	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) finSupp 0)
297	296	fsuppimpd 9282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∈ Fin)
298		hashcl 14318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∈ Fin → (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ∈ ℕ₀)
299	297, 298	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ∈ ℕ₀)
300	299	nn0cnd 12500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ∈ ℂ)
301	290, 291, 300	subadd2d 11524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝐾 − 1) = (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ↔ ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1) = 𝐾))
302	284, 301	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1) ↔ ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1) = 𝐾))
303	72	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)))
304	81	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
305		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 0)
306	305	iffalsed 4477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}) = {𝑌})
307	304, 306	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = {𝑌})
308	307	uneq2d 4108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌}))
309	303, 308	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌}))
310	309	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘(𝑓 supp 0)) = (♯‘(((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌})))
311		suppssdm 8127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ⊆ dom (𝑓 ↾ 𝐽)
312		resdmss 6199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ 𝐽
313	311, 312	sstri 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ⊆ 𝐽
314	313	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ⊆ 𝐽)
315	34	eqimssi 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐽 ⊆ (𝐼 ∖ {𝑌})
316		ssdifsn 4733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐽 ⊆ (𝐼 ∖ {𝑌}) ↔ (𝐽 ⊆ 𝐼 ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽))
317	315, 316	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝐼 ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)
318	317	simpri 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽
319	318	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)
320	314, 319	ssneldd 3924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ 𝑌 ∈ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))
321		hashunsng 14354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) → (♯‘(((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌})) = ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1)))
322	321	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))) → (♯‘(((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌})) = ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1))
323	234, 297, 320, 322	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘(((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌})) = ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1))
324	310, 323	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘(𝑓 supp 0)) = ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1))
325	324	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾 ↔ ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1) = 𝐾))
326	302, 325	bitr4d 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1) ↔ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾))
327	326	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)) ↔ (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾)))
328	327	ifbid 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
329	283, 328	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝐸‘(𝐾 − 1))‘((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
330		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑓 ⊆ {0, 1})
331	161	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝑓 Fn 𝐼)
332	175	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝑌 ∈ 𝐼)
333	331, 332	fnfvelrnd 7034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ∈ ran 𝑓)
334	330, 333	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ∈ {0, 1})
335		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 0)
336	335	neqned 2939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ≠ 0)
337	77	nn0cnd 12500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℂ)
338	337	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℂ)
339		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 1 ∈ ℂ)
340		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0)
341	160	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
342	127	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝐼 ∈ Fin)
343	331, 341, 342, 332, 235	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)))
344	243	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
345	344	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)) = ((𝑓‘𝑌) − 1))
346	343, 345	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = ((𝑓‘𝑌) − 1))
347	346	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0 ↔ ((𝑓‘𝑌) − 1) = 0))
348	340, 347	mtbid 324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ ((𝑓‘𝑌) − 1) = 0)
349		subeq0 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑓‘𝑌) − 1) = 0 ↔ (𝑓‘𝑌) = 1))
350	349	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (¬ ((𝑓‘𝑌) − 1) = 0 ↔ ¬ (𝑓‘𝑌) = 1))
351	350	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑓‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ ¬ ((𝑓‘𝑌) − 1) = 0) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 1)
352	338, 339, 348, 351	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 1)
353	352	neqned 2939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ≠ 1)
354	336, 353	nelprd 4601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ (𝑓‘𝑌) ∈ {0, 1})
355	334, 354	pm2.65da 817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1})
356	355	intnanrd 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾))
357	356	iffalsed 4477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)) = (0_g‘𝑅))
358	357	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (0_g‘𝑅) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
359	329, 358	ifeqda 4503	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → if(((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0, ((𝐸‘(𝐾 − 1))‘((𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)), (0_g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
360	173, 177, 359	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
361	171, 360	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))(+_g‘𝑅)(0_g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
362	92, 361	ifeqda 4503	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((𝑓‘𝑌) = 0, ((0_g‘𝑅)(+_g‘𝑅)if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅))), (((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))(+_g‘𝑅)(0_g‘𝑅))) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
363	1, 362	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+_g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅))) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
364	363	mpteq2dva 5178	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+_g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅))))
365		esplyind.p	. . . 4 ⊢ + = (+_g‘𝑊)
366		esplyind.m	. . . . 5 ⊢ · = (._r‘𝑊)
367	94, 22, 5	mplringd 22001	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
368		esplyind.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
369	94, 368, 95, 22, 5, 36	mvrcl 21970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
370	95, 366, 367, 369, 115	ringcld 20241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) ∈ (Base‘𝑊))
371	97	fveq1i 6841	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘(𝐸‘𝐾)) = (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾))
372	102	fveq1i 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘𝐾) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾)
373	104, 107, 5, 288, 99	esplympl 33711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
374	372, 373	eqeltrid 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
375	101, 374	ffvelcdmd 7037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑊))
376	371, 375	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑊))
377	94, 95, 3, 365, 370, 376	mpladd 21987	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) + (𝐺‘(𝐸‘𝐾))) = (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) ∘_f (+_g‘𝑅)(𝐺‘(𝐸‘𝐾))))
378	368	fveq1i 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑉‘𝑌) = ((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)
379		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) = ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})
380	94, 378, 95, 366, 4, 26, 379, 22, 36, 5, 115	mplmulmvr 33683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))))
381	97	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌))
382	104, 107, 5, 288, 4, 8	esplyfval3 33716	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅))))
383	372, 382	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) = (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅))))
384	381, 383	fveq12d 6847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘𝐾)) = (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))))
385	382, 373	eqeltrrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
386	26, 4, 22, 5, 36, 34, 99, 385	extvfv 33677	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))‘(𝑓 ↾ 𝐽)), (0_g‘𝑅))))
387		rneq 5891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → ran 𝑔 = ran (𝑓 ↾ 𝐽))
388	387	sseq1d 3953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → (ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ↔ ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1}))
389		oveq1 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → (𝑔 supp 0) = ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))
390	389	fveqeq2d 6848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → ((♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾 ↔ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾))
391	388, 390	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → ((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾) ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾)))
392	391	ifbid 4490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)) = if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
393		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅))) = (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅))))
394		breq1 5088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑓 ↾ 𝐽) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑓 ↾ 𝐽) finSupp 0))
395	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ℕ₀ ∈ V)
396	107	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝐽 ∈ Fin)
397	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑓:𝐼⟶ℕ₀)
398	106	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
399	397, 398	fssresd 6707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ₀)
400	395, 396, 399	elmapdd 8788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) ∈ (ℕ₀ ↑_m 𝐽))
401	295	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) finSupp 0)
402	394, 400, 401	elrabd 3636	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) ∈ {ℎ ∈ (ℕ₀ ↑_m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0})
403	402, 104	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) ∈ 𝐶)
404		fvexd 6855	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (1_r‘𝑅) ∈ V)
405		fvexd 6855	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (0_g‘𝑅) ∈ V)
406	404, 405	ifcld 4513	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)) ∈ V)
407	392, 393, 403, 406	fvmptd4 6972	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))‘(𝑓 ↾ 𝐽)) = if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))
408	407	ifeq1da 4498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((𝑓‘𝑌) = 0, ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))‘(𝑓 ↾ 𝐽)), (0_g‘𝑅)) = if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅)))
409	408	mpteq2dva 5178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)))‘(𝑓 ↾ 𝐽)), (0_g‘𝑅))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅))))
410	384, 386, 409	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘𝐾)) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅))))
411	380, 410	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) ∘_f (+_g‘𝑅)(𝐺‘(𝐸‘𝐾))) = ((𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) ∘_f (+_g‘𝑅)(𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅)))))
412		ovex 7400	. . . . . 6 ⊢ (ℕ₀ ↑_m 𝐼) ∈ V
413	26, 412	rabex2 5282	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
414	413	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
415		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓𝜑
416		fvexd 6855	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) ∈ V)
417	14, 416	ifexd 4515	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))) ∈ V)
418		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))))
419	415, 417, 418	fnmptd 6639	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) Fn 𝐷)
420	15, 14	ifcld 4513	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
421		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅)))
422	415, 420, 421	fnmptd 6639	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅))) Fn 𝐷)
423		ofmpteq 7654	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) Fn 𝐷 ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅))) Fn 𝐷) → ((𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) ∘_f (+_g‘𝑅)(𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+_g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅)))))
424	414, 419, 422, 423	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) ∘_f (+_g‘𝑅)(𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+_g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅)))))
425	377, 411, 424	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) + (𝐺‘(𝐸‘𝐾))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0_g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘_f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+_g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅)), (0_g‘𝑅)))))
426	26, 22, 5, 288, 4, 8	esplyfval3 33716	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1_r‘𝑅), (0_g‘𝑅))))
427	364, 425, 426	3eqtr4rd 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) + (𝐺‘(𝐸‘𝐾))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2932 ∀wral 3051 {crab 3389 Vcvv 3429 ∖ cdif 3886 ∪ cun 3887 ∩ cin 3888 ⊆ wss 3889 ∅c0 4273 ifcif 4466 {csn 4567 {cpr 4569 ⟨cop 4573 class class class wbr 5085 ↦ cmpt 5166 dom cdm 5631 ran crn 5632 ↾ cres 5633 Rel wrel 5636 Fun wfun 6492 Fn wfn 6493 ⟶wf 6494 ‘cfv 6498 (class class class)co 7367 ∘_f cof 7629 ∘_r cofr 7630 supp csupp 8110 ↑_m cmap 8773 Fincfn 8893 finSupp cfsupp 9274 ℂcc 11036 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 ≤ cle 11180 − cmin 11377 𝟭cind 12159 ℕcn 12174 ℕ₀cn0 12437 ...cfz 13461 ♯chash 14292 Basecbs 17179 +_gcplusg 17220 ._rcmulr 17221 0_gc0g 17402 Grpcgrp 18909 1_rcur 20162 Ringcrg 20214 mVar cmvr 21885 mPoly cmpl 21886 extendVarscextv 33673 eSymPolycesply 33700

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-addf 11117 ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4851 df-int 4890 df-iun 4935 df-iin 4936 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-isom 6507 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-of 7631 df-ofr 7632 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-supp 8111 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-2o 8406 df-oadd 8409 df-er 8643 df-map 8775 df-pm 8776 df-ixp 8846 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-fsupp 9275 df-sup 9355 df-oi 9425 df-dju 9825 df-card 9863 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-div 11808 df-ind 12160 df-nn 12175 df-2 12244 df-3 12245 df-4 12246 df-5 12247 df-6 12248 df-7 12249 df-8 12250 df-9 12251 df-n0 12438 df-xnn0 12511 df-z 12525 df-dec 12645 df-uz 12789 df-rp 12943 df-fz 13462 df-fzo 13609 df-seq 13964 df-fac 14236 df-bc 14265 df-hash 14293 df-struct 17117 df-sets 17134 df-slot 17152 df-ndx 17164 df-base 17180 df-ress 17201 df-plusg 17233 df-mulr 17234 df-starv 17235 df-sca 17236 df-vsca 17237 df-ip 17238 df-tset 17239 df-ple 17240 df-ds 17242 df-unif 17243 df-hom 17244 df-cco 17245 df-0g 17404 df-gsum 17405 df-prds 17410 df-pws 17412 df-mre 17548 df-mrc 17549 df-acs 17551 df-mgm 18608 df-sgrp 18687 df-mnd 18703 df-mhm 18751 df-submnd 18752 df-grp 18912 df-minusg 18913 df-mulg 19044 df-subg 19099 df-ghm 19188 df-cntz 19292 df-cmn 19757 df-abl 19758 df-mgp 20122 df-rng 20134 df-ur 20163 df-ring 20216 df-cring 20217 df-rhm 20452 df-subrng 20523 df-subrg 20547 df-cnfld 21353 df-zring 21427 df-zrh 21483 df-psr 21889 df-mvr 21890 df-mpl 21891 df-extv 33674 df-esply 33702

This theorem is referenced by: esplyindfv 33720

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