Theorem esplyind 34189

Description: A recursive formula for the elementary symmetric polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyind.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
esplyind.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
esplyind.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
esplyind.m	⊢ · = (.r‘𝑊)
esplyind.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyind.g	⊢ 𝐺 = ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)
esplyind.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyind.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyind.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
esplyind.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
esplyind.e	⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
esplyind.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...(♯‘𝐼)))
esplyind.1	⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}

Assertion

Ref	Expression
esplyind	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) + (𝐺‘(𝐸‘𝐾))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   + (ℎ)   𝑅(ℎ)   · (ℎ)   𝐸(ℎ)   𝐺(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑉(ℎ)   𝑊(ℎ)

Proof of Theorem esplyind

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovif12 7512	. . . 4 ⊢ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅))) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))), (((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)))
2		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		esplyind.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	ringgrpd 20449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	2, 8, 5	ringidcld 20475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		ringgrp 20444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
12	2, 4	grpidcl 19156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13	5, 11, 12	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15	10, 14	ifcld 4529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
17	2, 3, 4, 7, 16	grplidd 19160	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
18		snsspr1 4775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0} ⊆ {0, 1}
19	18	biantru 539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ {0} ⊆ {0, 1}))
20		unss 4136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ {0} ⊆ {0, 1}) ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}) ⊆ {0, 1})
21	19, 20	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}) ⊆ {0, 1})
22		esplyind.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
23	22	ssrab3 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
25	24	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
26	25	elmaprd 8854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
27	26	freld 6708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → Rel 𝑓)
28	26	ffnd 6702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 Fn 𝐼)
29	28	fndmd 6636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → dom 𝑓 = 𝐼)
30		esplyind.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
31	30	uneq1i 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐽 ∪ {𝑌}) = ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})
32		esplyind.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
33	32	snssd 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐼)
34		undifr 4439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑌} ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
35	33, 34	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
36	31, 35	eqtr2id 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐽 ∪ {𝑌}))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝐼 = (𝐽 ∪ {𝑌}))
38	29, 37	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → dom 𝑓 = (𝐽 ∪ {𝑌}))
39		reldmun 6025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Rel 𝑓 ∧ dom 𝑓 = (𝐽 ∪ {𝑌})) → 𝑓 = ((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})))
40	27, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 = ((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})))
41	40	rneqd 5920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ran 𝑓 = ran ((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})))
42		rnun 6134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ran ((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})) = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌}))
43	41, 42	eqtr2di 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌})) = ran 𝑓)
44	28	fnfund 6632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → Fun 𝑓)
45	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ 𝐼)
46	45, 29	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ dom 𝑓)
47		rnressnsn 33253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Fun 𝑓 ∧ 𝑌 ∈ dom 𝑓) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) = {(𝑓‘𝑌)})
48	44, 46, 47	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) = {(𝑓‘𝑌)})
49	48	uneq2d 4115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌})) = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {(𝑓‘𝑌)}))
50	43, 49	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ran 𝑓 = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {(𝑓‘𝑌)}))
51	50	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ran 𝑓 = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {(𝑓‘𝑌)}))
52		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) = 0)
53	52	sneqd 4596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → {(𝑓‘𝑌)} = {0})
54	53	uneq2d 4115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {(𝑓‘𝑌)}) = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}))
55	51, 54	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ran 𝑓 = (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}))
56	55	sseq1d 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ {0}) ⊆ {0, 1}))
57	21, 56	bitr4id 293	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ↔ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}))
58	40	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})) supp 0))
59	25	resexd 6019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ↾ 𝐽) ∈ V)
60	25	resexd 6019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ↾ {𝑌}) ∈ V)
61		0nn0 12602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
63	59, 60, 62	suppun2 33259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (((𝑓 ↾ 𝐽) ∪ (𝑓 ↾ {𝑌})) supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)))
64	58, 63	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)))
65	64	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)))
66		fnressn 7154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ {𝑌}) = {⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩})
67	28, 45, 66	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ↾ {𝑌}) = {⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩})
68	67	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = ({⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩} supp 0))
69	26, 45	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℕ0)
70		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩} = {⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩}
71	70	suppsnop 8179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑌) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ({⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩} supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
72	45, 69, 62, 71	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ({⟨𝑌, (𝑓‘𝑌)⟩} supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
73	68, 72	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
74	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
75	52	iftrued 4490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}) = ∅)
76	74, 75	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = ∅)
77	76	uneq2d 4115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ∅))
78		un0 4344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ∅) = ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)
79	77, 78	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)) = ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))
80	65, 79	eqtr2d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) = (𝑓 supp 0))
81	80	fveqeq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾))
82	57, 81	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾) ↔ (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾)))
83	82	ifbid 4506	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
84	17, 83	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
85	6	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Grp)
86		esplyind.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
87		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
88	22	psrbasfsupp 34125	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
89		esplyind.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)
90	89	fveq1i 6878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1))) = (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))
91		esplyind.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
92		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
93	86	fveq2i 6880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
94	22, 4, 91, 5, 2, 30, 92, 32, 93	extvfvalf 34151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌):(Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))⟶(Base‘𝑊))
95		esplyind.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
96	95	fveq1i 6878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸‘(𝐾 − 1)) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 − 1))
97		esplyind.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
98		difssd 4084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑌}) ⊆ 𝐼)
99	30, 98	eqsstrid 3969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
100	91, 99	ssfid 9244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fin)
101		esplyind.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...(♯‘𝐼)))
102		elfznn 13667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (1...(♯‘𝐼)) → 𝐾 ∈ ℕ)
103		nnm1nn0 12628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
104	101, 102, 103	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
105	97, 100, 5, 104, 92	esplympl 34181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 − 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
106	96, 105	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐾 − 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
107	94, 106	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1))) ∈ (Base‘𝑊))
108	90, 107	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1))) ∈ (Base‘𝑊))
109	86, 2, 87, 88, 108	mplelf 22285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
110	109	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
111		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑓 ∈ 𝐷)
112		indf 12307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
113	91, 33, 112	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
114	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
115		1nn0 12603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ0
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
117	114, 116	prssd 4783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℕ0)
118	113, 117	fssd 6719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶ℕ0)
119	118	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶ℕ0)
120	91	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝐼 ∈ Fin)
121	120	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝐼 ∈ Fin)
122	33	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → {𝑌} ⊆ 𝐼)
123		velsn 4600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑌} ↔ 𝑥 = 𝑌)
124	123	bilanri 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 ∈ {𝑌})
125		ind1 12310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ {𝑌}) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 1)
126	121, 122, 124, 125	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 1)
127	26	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
128		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝐼)
129	127, 128	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
130		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑌)
131	130	fveq2d 6881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑌))
132		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 0)
133	132	neqned 2963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑌) ≠ 0)
134	131, 133	eqnetrd 3023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑥) ≠ 0)
135		elnnne0 12601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))
136	129, 134, 135	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
137	136	nnge1d 12367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → 1 ≤ (𝑓‘𝑥))
138	126, 137	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥))
139	120	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 𝐼 ∈ Fin)
140	33	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → {𝑌} ⊆ 𝐼)
141		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝐼)
142		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 𝑥 ≠ 𝑌)
143	141, 142	eldifsnd 4750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
144		ind0 12311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 0)
145	139, 140, 143, 144	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 0)
146	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
147	146	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
148	147	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
149	148	nn0ge0d 12651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → 0 ≤ (𝑓‘𝑥))
150	145, 149	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ≠ 𝑌) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥))
151	138, 150	pm2.61dane 3043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥))
152	151	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥))
153	119	ffnd 6702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
154	28	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑓 Fn 𝐼)
155		inidm 4172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
156		eqidd 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥))
157		eqidd 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
158	153, 154, 120, 120, 155, 156, 157	ofrfval 7692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) ∘r ≤ 𝑓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) ≤ (𝑓‘𝑥)))
159	152, 158	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) ∘r ≤ 𝑓)
160	88	psrbagcon 22213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐷 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) ∘r ≤ 𝑓) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ 𝐷 ∧ (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∘r ≤ 𝑓))
161	160	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐷 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) ∘r ≤ 𝑓) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ 𝐷)
162	111, 119, 159, 161	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ 𝐷)
163	110, 162	ffvelcdmd 7077	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝑅))
164	2, 3, 4, 85, 163	grpridd 19161	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))
165	90	fveq1i 6878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) = ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))
166	165	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) = ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))
167	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Ring)
168	32	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑌 ∈ 𝐼)
169	106	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝐸‘(𝐾 − 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
170	22, 4, 120, 167, 168, 30, 92, 169, 162	extvfvv 34148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) = if(((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0, ((𝐸‘(𝐾 − 1))‘((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)), (0g‘𝑅)))
171	97, 100, 5, 104, 4, 8	esplyfval3 34186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 − 1)) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
172	96, 171	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐾 − 1)) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
173	172	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝐸‘(𝐾 − 1)) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
174	43	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌})) = ran 𝑓)
175		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽))
176	113	ffnd 6702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
177	176	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
178	91	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
179	28, 177, 178, 178, 155	offn 7695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) Fn 𝐼)
180	179	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) Fn 𝐼)
181	99	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
182	180, 181	fnssresd 6655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) Fn 𝐽)
183		fneq1 6622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) → (𝑧 Fn 𝐽 ↔ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) Fn 𝐽))
184	183	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) Fn 𝐽) → 𝑧 Fn 𝐽)
185	175, 182, 184	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → 𝑧 Fn 𝐽)
186	28	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝑓 Fn 𝐼)
187	99	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
188	186, 187	fnssresd 6655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) Fn 𝐽)
189	188	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → (𝑓 ↾ 𝐽) Fn 𝐽)
190		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽))
191	190	fveq1d 6879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑧‘𝑥) = (((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)‘𝑥))
192		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽)
193	192	fvresd 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)‘𝑥) = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑥))
194	186	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑓 Fn 𝐼)
195	153	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
196	195	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
197	178	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝐼 ∈ Fin)
198	197	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐼 ∈ Fin)
199	181	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
200		fnfvof 7699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥)))
201	194, 196, 198, 199, 200	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑥) = ((𝑓‘𝑥) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥)))
202	33	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {𝑌} ⊆ 𝐼)
203	192, 30	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
204	198, 202, 203, 144	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥) = 0)
205	204	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓‘𝑥) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑥)) = ((𝑓‘𝑥) − 0))
206	146	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
207	206, 199	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
208	207	nn0cnd 12650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℂ)
209	208	subid1d 11639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓‘𝑥) − 0) = (𝑓‘𝑥))
210	192	fvresd 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓 ↾ 𝐽)‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
211	209, 210	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓‘𝑥) − 0) = ((𝑓 ↾ 𝐽)‘𝑥))
212	201, 205, 211	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑥) = ((𝑓 ↾ 𝐽)‘𝑥))
213	191, 193, 212	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑧‘𝑥) = ((𝑓 ↾ 𝐽)‘𝑥))
214	185, 189, 213	eqfnfvd 7024	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → 𝑧 = (𝑓 ↾ 𝐽))
215	214	rneqd 5920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → ran 𝑧 = ran (𝑓 ↾ 𝐽))
216	215	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑧 = ran (𝑓 ↾ 𝐽))
217		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑧 ⊆ {0, 1})
218	216, 217	eqsstrrd 3966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1})
219	44	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → Fun 𝑓)
220	46	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → 𝑌 ∈ dom 𝑓)
221	219, 220, 47	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) = {(𝑓‘𝑌)})
222	69	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℕ0)
223	222	nn0cnd 12650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℂ)
224	113, 32	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) ∈ {0, 1})
225	117, 224	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) ∈ ℕ0)
226	225	nn0cnd 12650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) ∈ ℂ)
227	226	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) ∈ ℂ)
228	168	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝑌 ∈ 𝐼)
229		fnfvof 7699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)))
230	186, 195, 197, 228, 229	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)))
231		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0)
232	230, 231	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)) = 0)
233	223, 227, 232	subeq0d 11659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) = (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌))
234		snidg 4621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ {𝑌})
235	32, 234	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑌})
236		ind1 12310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ {𝑌}) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
237	91, 33, 235, 236	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
238	237	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
239	233, 238	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓‘𝑌) = 1)
240	239	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) = 1)
241	240	sneqd 4596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → {(𝑓‘𝑌)} = {1})
242	221, 241	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) = {1})
243		snsspr2 4776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {1} ⊆ {0, 1}
244	242, 243	eqsstrdi 3975	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ {𝑌}) ⊆ {0, 1})
245	218, 244	unssd 4138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ∪ ran (𝑓 ↾ {𝑌})) ⊆ {0, 1})
246	174, 245	eqsstrrd 3966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑧 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑓 ⊆ {0, 1})
247	214	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝑧 = (𝑓 ↾ 𝐽))
248	247	rneqd 5920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑧 = ran (𝑓 ↾ 𝐽))
249		rnresss 6008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ ran 𝑓
250		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑓 ⊆ {0, 1})
251	249, 250	sstrid 3942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1})
252	248, 251	eqsstrd 3965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑧 ⊆ {0, 1})
253	246, 252	impbida 813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → (ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ↔ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}))
254	214	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → (𝑧 supp 0) = ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))
255	254	fveqeq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → ((♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1) ↔ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)))
256	253, 255	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → ((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)) ↔ (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1))))
257	256	ifbid 4506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ 𝑧 = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) → if((ran 𝑧 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑧 supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
258		breq1 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) → (ℎ finSupp 0 ↔ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) finSupp 0))
259	23, 162	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
260	259	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
261	260, 187	elmapssresd 8879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽))
262		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) finSupp 0))
263	162	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ 𝐷)
264	263, 22	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
265	262, 264	elrabrd 3648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) finSupp 0)
266	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 0 ∈ ℕ0)
267	265, 266	fsuppres 9369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) finSupp 0)
268	258, 261, 267	elrabd 3647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0})
269	268, 97	eleqtrrdi 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽) ∈ 𝐶)
270	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
271	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
272	270, 271	ifcld 4529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
273	173, 257, 269, 272	fvmptd 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝐸‘(𝐾 − 1))‘((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
274		eqcom 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 − 1) = (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ↔ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1))
275		fz1ssfz0 13737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...(♯‘𝐼)) ⊆ (0...(♯‘𝐼))
276		fz0ssnn0 13736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0...(♯‘𝐼)) ⊆ ℕ0
277	275, 276	sstri 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1...(♯‘𝐼)) ⊆ ℕ0
278	277, 101	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
279	278	nn0cnd 12650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
280	279	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
281		1cnd 11283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → 1 ∈ ℂ)
282		c0ex 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ V
283	282	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
284	26, 178, 283	fidmfisupp 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 finSupp 0)
285	284, 283	fsuppres 9369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ↾ 𝐽) finSupp 0)
286	285	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) finSupp 0)
287	286	fsuppimpd 9345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∈ Fin)
288		hashcl 14480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∈ Fin → (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ∈ ℕ0)
289	287, 288	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ∈ ℕ0)
290	289	nn0cnd 12650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ∈ ℂ)
291	280, 281, 290	subadd2d 11669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝐾 − 1) = (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) ↔ ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1) = 𝐾))
292	274, 291	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1) ↔ ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1) = 𝐾))
293	64	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)))
294	73	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}))
295		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 0)
296	295	iffalsed 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → if((𝑓‘𝑌) = 0, ∅, {𝑌}) = {𝑌})
297	294, 296	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0) = {𝑌})
298	297	uneq2d 4115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ ((𝑓 ↾ {𝑌}) supp 0)) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌}))
299	293, 298	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (𝑓 supp 0) = (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌}))
300	299	fveq2d 6881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘(𝑓 supp 0)) = (♯‘(((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌})))
301		suppssdm 8178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ⊆ dom (𝑓 ↾ 𝐽)
302		resdmss 6229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ 𝐽
303	301, 302	sstri 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ⊆ 𝐽
304	303	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ⊆ 𝐽)
305	30	eqimssi 3991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐽 ⊆ (𝐼 ∖ {𝑌})
306		ssdifsn 4751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐽 ⊆ (𝐼 ∖ {𝑌}) ↔ (𝐽 ⊆ 𝐼 ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽))
307	305, 306	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝐼 ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)
308	307	simpri 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽
309	308	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)
310	304, 309	ssneldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ 𝑌 ∈ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))
311		hashunsng 14516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) → (♯‘(((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌})) = ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1)))
312	311	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ (((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))) → (♯‘(((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌})) = ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1))
313	228, 287, 310, 312	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘(((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0) ∪ {𝑌})) = ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1))
314	300, 313	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (♯‘(𝑓 supp 0)) = ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1))
315	314	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾 ↔ ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) + 1) = 𝐾))
316	292, 315	bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1) ↔ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾))
317	316	anbi2d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)) ↔ (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾)))
318	317	ifbid 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = (𝐾 − 1)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
319	273, 318	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ((𝐸‘(𝐾 − 1))‘((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
320		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑓 ⊆ {0, 1})
321	154	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝑓 Fn 𝐼)
322	168	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝑌 ∈ 𝐼)
323	321, 322	fnfvelrnd 7074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ∈ ran 𝑓)
324	320, 323	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ∈ {0, 1})
325		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 0)
326	325	neqned 2963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ≠ 0)
327	69	nn0cnd 12650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℂ)
328	327	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ∈ ℂ)
329		1cnd 11283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 1 ∈ ℂ)
330		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0)
331	153	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) Fn 𝐼)
332	120	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝐼 ∈ Fin)
333	321, 331, 332, 322, 229	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)))
334	237	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
335	334	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝑓‘𝑌) − (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)) = ((𝑓‘𝑌) − 1))
336	333, 335	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = ((𝑓‘𝑌) − 1))
337	336	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0 ↔ ((𝑓‘𝑌) − 1) = 0))
338	330, 337	mtbid 327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ ((𝑓‘𝑌) − 1) = 0)
339		subeq0 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑓‘𝑌) − 1) = 0 ↔ (𝑓‘𝑌) = 1))
340	339	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (¬ ((𝑓‘𝑌) − 1) = 0 ↔ ¬ (𝑓‘𝑌) = 1))
341	340	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑓‘𝑌) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ ¬ ((𝑓‘𝑌) − 1) = 0) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 1)
342	328, 329, 338, 341	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ (𝑓‘𝑌) = 1)
343	342	neqned 2963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (𝑓‘𝑌) ≠ 1)
344	326, 343	nelprd 4618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ (𝑓‘𝑌) ∈ {0, 1})
345	324, 344	pm2.65da 829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1})
346	345	intnanrd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → ¬ (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾))
347	346	iffalsed 4493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
348	347	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) ∧ ¬ ((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0) → (0g‘𝑅) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
349	319, 348	ifeqda 4519	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → if(((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))‘𝑌) = 0, ((𝐸‘(𝐾 − 1))‘((𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})) ↾ 𝐽)), (0g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
350	166, 170, 349	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
351	164, 350	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑓‘𝑌) = 0) → (((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
352	84, 351	ifeqda 4519	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((𝑓‘𝑌) = 0, ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))), (((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))(+g‘𝑅)(0g‘𝑅))) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
353	1, 352	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅))) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
354	353	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
355		esplyind.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
356		esplyind.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑊)
357	86, 91, 5	mplringd 22310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
358		esplyind.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
359	86, 358, 87, 91, 5, 32	mvrcl 22279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
360	87, 356, 357, 359, 108	ringcld 20464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) ∈ (Base‘𝑊))
361	89	fveq1i 6878	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘(𝐸‘𝐾)) = (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾))
362	95	fveq1i 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘𝐾) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾)
363	97, 100, 5, 278, 92	esplympl 34181	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
364	362, 363	eqeltrid 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
365	94, 364	ffvelcdmd 7077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑊))
366	361, 365	eqeltrid 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑊))
367	86, 87, 3, 355, 360, 366	mpladd 22296	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) + (𝐺‘(𝐸‘𝐾))) = (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝐺‘(𝐸‘𝐾))))
368	358	fveq1i 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑉‘𝑌) = ((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)
369		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) = ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})
370	86, 368, 87, 356, 4, 22, 369, 91, 32, 5, 108	mplmulmvr 34153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))))
371	89	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌))
372	97, 100, 5, 278, 4, 8	esplyfval3 34186	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
373	362, 372	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) = (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
374	371, 373	fveq12d 6884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘𝐾)) = (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
375	372, 363	eqeltrrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
376	22, 4, 91, 5, 32, 30, 92, 375	extvfv 34147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘(𝑓 ↾ 𝐽)), (0g‘𝑅))))
377		rneq 5918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → ran 𝑔 = ran (𝑓 ↾ 𝐽))
378	377	sseq1d 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → (ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ↔ ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1}))
379		oveq1 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → (𝑔 supp 0) = ((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0))
380	379	fveqeq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → ((♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾 ↔ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾))
381	378, 380	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → ((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾) ↔ (ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾)))
382	381	ifbid 4506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ 𝐽) → if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
383		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
384		breq1 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑓 ↾ 𝐽) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑓 ↾ 𝐽) finSupp 0))
385		nn0ex 12593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ∈ V
386	385	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ℕ0 ∈ V)
387	100	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝐽 ∈ Fin)
388	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
389	99	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
390	388, 389	fssresd 6741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
391	386, 387, 390	elmapdd 8845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽))
392	285	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) finSupp 0)
393	384, 391, 392	elrabd 3647	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0})
394	393, 97	eleqtrrdi 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (𝑓 ↾ 𝐽) ∈ 𝐶)
395		fvexd 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (1r‘𝑅) ∈ V)
396		fvexd 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → (0g‘𝑅) ∈ V)
397	395, 396	ifcld 4529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
398	382, 383, 394, 397	fvmptd4 7010	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ (𝑓‘𝑌) = 0) → ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘(𝑓 ↾ 𝐽)) = if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
399	398	ifeq1da 4514	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((𝑓‘𝑌) = 0, ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘(𝑓 ↾ 𝐽)), (0g‘𝑅)) = if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))
400	399	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, ((𝑔 ∈ 𝐶 ↦ if((ran 𝑔 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑔 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))‘(𝑓 ↾ 𝐽)), (0g‘𝑅))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅))))
401	374, 376, 400	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐸‘𝐾)) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅))))
402	370, 401	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝐺‘(𝐸‘𝐾))) = ((𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))))
403		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
404	22, 403	rabex2 5302	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
405	404	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
406		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓𝜑
407		fvexd 6892	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))) ∈ V)
408	14, 407	ifexd 4531	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))) ∈ V)
409		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})))))
410	406, 408, 409	fnmptd 6672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) Fn 𝐷)
411	15, 14	ifcld 4529	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
412		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))
413	406, 411, 412	fnmptd 6672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅))) Fn 𝐷)
414		ofmpteq 7705	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) Fn 𝐷 ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅))) Fn 𝐷) → ((𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))))
415	405, 410, 413, 414	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))))
416	367, 402, 415	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) + (𝐺‘(𝐸‘𝐾))) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (if((𝑓‘𝑌) = 0, (0g‘𝑅), ((𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))‘(𝑓 ∘f − ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}))))(+g‘𝑅)if((𝑓‘𝑌) = 0, if((ran (𝑓 ↾ 𝐽) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑓 ↾ 𝐽) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (0g‘𝑅)))))
417	22, 91, 5, 278, 4, 8	esplyfval3 34186	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
418	354, 416, 417	3eqtr4rd 2807	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (((𝑉‘𝑌) · (𝐺‘(𝐸‘(𝐾 − 1)))) + (𝐺‘(𝐸‘𝐾))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653  Rel wrel 5656  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7680   ∘_r cofr 7681   supp csupp 8161   ↑_m cmap 8831  Fincfn 8957   finSupp cfsupp 9337  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   ≤ cle 11325   − cmin 11522  𝟭cind 12301  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ...cfz 13620  ♯chash 14454  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  ._rcmulr 17409  0_gc0g 17590  Grpcgrp 19124  1_rcur 20387  Ringcrg 20439   mVar cmvr 22193   mPoly cmpl 22194  extendVarscextv 34143  eSymPolycesply 34170

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-ind 12302  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-prds 17598  df-pws 17600  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-rhm 20682  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-cnfld 21659  df-zring 21733  df-zrh 21789  df-psr 22197  df-mvr 22198  df-mpl 22199  df-extv 34144  df-esply 34172

This theorem is used by:  esplyindfv  34190