Theorem shjval 31437

Description: Value of join in S_ℋ. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shjval	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))

Proof of Theorem shjval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 31296	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
2		shss 31296	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 𝐵 ⊆ ℋ)
3		sshjval 31436	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ℋchba 31005   S_ℋ csh 31014  ⊥cort 31016   ∨_ℋ chj 31019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-hilex 31085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-sh 31293  df-chj 31396

This theorem is referenced by:  chjval  31438  shjcom  31444  shlej1  31446  shunssji  31455  shlub  31500  shjshsi  31578