Theorem shjval 31640

Description: Value of join in S_ℋ. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shjval	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))

Proof of Theorem shjval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 31499	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
2		shss 31499	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 𝐵 ⊆ ℋ)
3		sshjval 31639	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
4	1, 2, 3	syl2an 607	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ℋchba 31208   S_ℋ csh 31217  ⊥cort 31219   ∨_ℋ chj 31222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-hilex 31288

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-sh 31496  df-chj 31599

This theorem is referenced by:  chjval  31641  shjcom  31647  shlej1  31649  shunssji  31658  shlub  31703  shjshsi  31781