Theorem ocss 31267

Description: An orthogonal complement is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocss	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)

Proof of Theorem ocss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocsh 31265	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
2		shss 31192	. 2 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6486   ℋchba 30901   S_ℋ csh 30910  ⊥cort 30912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-hilex 30981  ax-hfvadd 30982  ax-hv0cl 30985  ax-hfvmul 30987  ax-hvmul0 30992  ax-hfi 31061  ax-his2 31065  ax-his3 31066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158  df-sh 31189  df-oc 31234

This theorem is referenced by:  shocss  31268  occon2  31270  ocorth  31273  ococss  31275  occon3  31279  occllem  31285  hsupcl  31321  spanssoc  31331  sshjcl  31337  ococin  31390  ssjo  31429