Theorem ocss 31546

Description: An orthogonal complement is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocss	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)

Proof of Theorem ocss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocsh 31544	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
2		shss 31471	. 2 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525   ℋchba 31180   S_ℋ csh 31189  ⊥cort 31191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-hilex 31260  ax-hfvadd 31261  ax-hv0cl 31264  ax-hfvmul 31266  ax-hvmul0 31271  ax-hfi 31340  ax-his2 31344  ax-his3 31345

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sh 31468  df-oc 31513

This theorem is referenced by:  shocss  31547  occon2  31549  ocorth  31552  ococss  31554  occon3  31558  occllem  31564  hsupcl  31600  spanssoc  31610  sshjcl  31616  ococin  31669  ssjo  31708