Theorem ocss 28700

Description: An orthogonal complement is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocss	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)

Proof of Theorem ocss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocsh 28698	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
2		shss 28623	. 2 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3799  ‘cfv 6124   ℋchba 28332   S_ℋ csh 28341  ⊥cort 28343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-hilex 28412  ax-hfvadd 28413  ax-hv0cl 28416  ax-hfvmul 28418  ax-hvmul0 28423  ax-hfi 28492  ax-his2 28496  ax-his3 28497

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-ltxr 10397  df-sh 28620  df-oc 28665

This theorem is referenced by:  shocss  28701  occon2  28703  ocorth  28706  ococss  28708  occon3  28712  occllem  28718  hsupcl  28754  spanssoc  28764  sshjcl  28770  ococin  28823  ssjo  28862