Theorem shocsh 31709

Description: The orthogonal complement of a subspace is a subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shocsh	⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )

Proof of Theorem shocsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 31635	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
2		ocsh 31708	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540   ℋchba 31344   S_ℋ csh 31353  ⊥cort 31355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-hilex 31424  ax-hfvadd 31425  ax-hv0cl 31428  ax-hfvmul 31430  ax-hvmul0 31435  ax-hfi 31504  ax-his2 31508  ax-his3 31509

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-ltxr 11265  df-sh 31632  df-oc 31677

This theorem is used by:  oc0  31715  chocunii  31726  pjhth  31818  pjhtheu  31819  pjpreeq  31823  omlsii  31828  ococi  31830  pjpjpre  31844  chscllem1  32062  chscllem3  32064