Theorem shsspwh 31841

Description: Subspaces are subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 24-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsspwh	⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ

Proof of Theorem shsspwh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwuni 4906	. 2 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ∪ Sℋ
2		helsh 31840	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
3		shss 31805	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → 𝑥 ⊆ ℋ)
4	3	rgen 3079	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ Sℋ 𝑥 ⊆ ℋ
5		ssunieq 4904	. . . 4 ⊢ (( ℋ ∈ Sℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Sℋ 𝑥 ⊆ ℋ) → ℋ = ∪ Sℋ )
6	2, 4, 5	mp2an 705	. . 3 ⊢ ℋ = ∪ Sℋ
7	6	pweqi 4573	. 2 ⊢ 𝒫 ℋ = 𝒫 ∪ Sℋ
8	1, 7	sseqtrri 3980	1 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867   ℋchba 31514   S_ℋ csh 31523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-1cn 11251  ax-addcl 11253  ax-hilex 31594  ax-hfvadd 31595  ax-hv0cl 31598  ax-hfvmul 31600

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-map 8842  df-nn 12329  df-hlim 31567  df-sh 31802  df-ch 31816

This theorem is used by:  chsspwh  31842  shsupunss  31941