HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsspwh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsspwh 31076
Description: Subspaces are subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 24-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsspwh S ⊆ 𝒫 ℋ

Proof of Theorem shsspwh
StepHypRef Expression
1 pwuni 4952 . 2 S ⊆ 𝒫 S
2 helsh 31075 . . . 4 ℋ ∈ S
3 shss 31040 . . . . 5 (𝑥S𝑥 ⊆ ℋ)
43rgen 3060 . . . 4 𝑥S 𝑥 ⊆ ℋ
5 ssunieq 4950 . . . 4 (( ℋ ∈ S ∧ ∀𝑥S 𝑥 ⊆ ℋ) → ℋ = S )
62, 4, 5mp2an 690 . . 3 ℋ = S
76pweqi 4622 . 2 𝒫 ℋ = 𝒫 S
81, 7sseqtrri 4019 1 S ⊆ 𝒫 ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  wss 3949  𝒫 cpw 4606   cuni 4912  chba 30749   S csh 30758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-1cn 11204  ax-addcl 11206  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hv0cl 30833  ax-hfvmul 30835
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-map 8853  df-nn 12251  df-hlim 30802  df-sh 31037  df-ch 31051
This theorem is referenced by:  chsspwh  31077  shsupunss  31176
  Copyright terms: Public domain W3C validator