HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsspwh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsspwh 28658
Description: Subspaces are subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 24-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsspwh S ⊆ 𝒫 ℋ

Proof of Theorem shsspwh
StepHypRef Expression
1 pwuni 4696 . 2 S ⊆ 𝒫 S
2 helsh 28657 . . . 4 ℋ ∈ S
3 shss 28622 . . . . 5 (𝑥S𝑥 ⊆ ℋ)
43rgen 3131 . . . 4 𝑥S 𝑥 ⊆ ℋ
5 ssunieq 4694 . . . 4 (( ℋ ∈ S ∧ ∀𝑥S 𝑥 ⊆ ℋ) → ℋ = S )
62, 4, 5mp2an 685 . . 3 ℋ = S
76pweqi 4382 . 2 𝒫 ℋ = 𝒫 S
81, 7sseqtr4i 3863 1 S ⊆ 𝒫 ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3117  wss 3798  𝒫 cpw 4378   cuni 4658  chba 28331   S csh 28340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-1cn 10310  ax-addcl 10312  ax-hilex 28411  ax-hfvadd 28412  ax-hv0cl 28415  ax-hfvmul 28417
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-map 8124  df-nn 11351  df-hlim 28384  df-sh 28619  df-ch 28633
This theorem is referenced by:  chsspwh  28659  shsupunss  28760
  Copyright terms: Public domain W3C validator