HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsspwh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsspwh 31275
Description: Subspaces are subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 24-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsspwh S ⊆ 𝒫 ℋ

Proof of Theorem shsspwh
StepHypRef Expression
1 pwuni 4950 . 2 S ⊆ 𝒫 S
2 helsh 31274 . . . 4 ℋ ∈ S
3 shss 31239 . . . . 5 (𝑥S𝑥 ⊆ ℋ)
43rgen 3061 . . . 4 𝑥S 𝑥 ⊆ ℋ
5 ssunieq 4948 . . . 4 (( ℋ ∈ S ∧ ∀𝑥S 𝑥 ⊆ ℋ) → ℋ = S )
62, 4, 5mp2an 692 . . 3 ℋ = S
76pweqi 4621 . 2 𝒫 ℋ = 𝒫 S
81, 7sseqtrri 4033 1 S ⊆ 𝒫 ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912  chba 30948   S csh 30957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hv0cl 31032  ax-hfvmul 31034
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-map 8867  df-nn 12265  df-hlim 31001  df-sh 31236  df-ch 31250
This theorem is referenced by:  chsspwh  31276  shsupunss  31375
  Copyright terms: Public domain W3C validator