Theorem shsspwh 31321

Description: Subspaces are subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 24-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsspwh	⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ

Proof of Theorem shsspwh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwuni 4901	. 2 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ∪ Sℋ
2		helsh 31320	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
3		shss 31285	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → 𝑥 ⊆ ℋ)
4	3	rgen 3053	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ Sℋ 𝑥 ⊆ ℋ
5		ssunieq 4899	. . . 4 ⊢ (( ℋ ∈ Sℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Sℋ 𝑥 ⊆ ℋ) → ℋ = ∪ Sℋ )
6	2, 4, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ ℋ = ∪ Sℋ
7	6	pweqi 4570	. 2 ⊢ 𝒫 ℋ = 𝒫 ∪ Sℋ
8	1, 7	sseqtrri 3983	1 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554  ∪ cuni 4863   ℋchba 30994   S_ℋ csh 31003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-1cn 11084  ax-addcl 11086  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hv0cl 31078  ax-hfvmul 31080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-map 8765  df-nn 12146  df-hlim 31047  df-sh 31282  df-ch 31296

This theorem is referenced by:  chsspwh  31322  shsupunss  31421