Theorem shsspwh 31905

Description: Subspaces are subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 24-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsspwh	⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ

Proof of Theorem shsspwh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwuni 4911	. 2 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ∪ Sℋ
2		helsh 31904	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
3		shss 31869	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → 𝑥 ⊆ ℋ)
4	3	rgen 3082	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ Sℋ 𝑥 ⊆ ℋ
5		ssunieq 4909	. . . 4 ⊢ (( ℋ ∈ Sℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Sℋ 𝑥 ⊆ ℋ) → ℋ = ∪ Sℋ )
6	2, 4, 5	mp2an 705	. . 3 ⊢ ℋ = ∪ Sℋ
7	6	pweqi 4576	. 2 ⊢ 𝒫 ℋ = 𝒫 ∪ Sℋ
8	1, 7	sseqtrri 3962	1 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4872   ℋchba 31578   S_ℋ csh 31587

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-1cn 11297  ax-addcl 11299  ax-hilex 31658  ax-hfvadd 31659  ax-hv0cl 31662  ax-hfvmul 31664

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-map 8887  df-nn 12376  df-hlim 31631  df-sh 31866  df-ch 31880

This theorem is used by:  chsspwh  31906  shsupunss  32005