Theorem shsspwh 31406

Description: Subspaces are subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 24-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsspwh	⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ

Proof of Theorem shsspwh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwuni 4901	. 2 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ∪ Sℋ
2		helsh 31405	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
3		shss 31370	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → 𝑥 ⊆ ℋ)
4	3	rgen 3077	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ Sℋ 𝑥 ⊆ ℋ
5		ssunieq 4899	. . . 4 ⊢ (( ℋ ∈ Sℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Sℋ 𝑥 ⊆ ℋ) → ℋ = ∪ Sℋ )
6	2, 4, 5	mp2an 702	. . 3 ⊢ ℋ = ∪ Sℋ
7	6	pweqi 4568	. 2 ⊢ 𝒫 ℋ = 𝒫 ∪ Sℋ
8	1, 7	sseqtrri 3983	1 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4552  ∪ cuni 4862   ℋchba 31079   S_ℋ csh 31088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-1cn 11125  ax-addcl 11127  ax-hilex 31159  ax-hfvadd 31160  ax-hv0cl 31163  ax-hfvmul 31165

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-map 8804  df-nn 12205  df-hlim 31132  df-sh 31367  df-ch 31381

This theorem is referenced by:  chsspwh  31407  shsupunss  31506