Theorem shlej1 29623

Description: Add disjunct to both sides of Hilbert subspace ordering. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shlej1	⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Proof of Theorem shlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		unss1 4109	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶))
3		simpl1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Sℋ )
4		shss 29473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ ℋ)
6		simpl3 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ∈ Sℋ )
7		shss 29473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Sℋ → 𝐶 ⊆ ℋ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ⊆ ℋ)
9	5, 8	unssd 4116	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ ℋ)
10		simpl2 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ Sℋ )
11		shss 29473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 𝐵 ⊆ ℋ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℋ)
13	12, 8	unssd 4116	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐶) ⊆ ℋ)
14		occon2 29551	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ ℋ ∧ (𝐵 ∪ 𝐶) ⊆ ℋ) → ((𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
15	9, 13, 14	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
16	2, 15	syl5 34	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
17	1, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
18		shjval 29614	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))))
19	3, 6, 18	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))))
20		shjval 29614	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
21	10, 6, 20	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
22	17, 19, 21	3sstr4d 3964	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ℋchba 29182   S_ℋ csh 29191  ⊥cort 29193   ∨_ℋ chj 29196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hv0cl 29266  ax-hfvmul 29268  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his2 29346  ax-his3 29347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sh 29470  df-oc 29515  df-chj 29573

This theorem is referenced by:  shlej2  29624  shlej1i  29641  chlej1  29773