HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shlej1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shlej1 31242
Description: Add disjunct to both sides of Hilbert subspace ordering. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shlej1 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 𝐶) ⊆ (𝐵 𝐶))

Proof of Theorem shlej1
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . 3 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2 unss1 4177 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐶) ⊆ (𝐵𝐶))
3 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴S )
4 shss 31092 . . . . . . 7 (𝐴S𝐴 ⊆ ℋ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ⊆ ℋ)
6 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶S )
7 shss 31092 . . . . . . 7 (𝐶S𝐶 ⊆ ℋ)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ⊆ ℋ)
95, 8unssd 4184 . . . . 5 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐶) ⊆ ℋ)
10 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵S )
11 shss 31092 . . . . . . 7 (𝐵S𝐵 ⊆ ℋ)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ ℋ)
1312, 8unssd 4184 . . . . 5 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐶) ⊆ ℋ)
14 occon2 31170 . . . . 5 (((𝐴𝐶) ⊆ ℋ ∧ (𝐵𝐶) ⊆ ℋ) → ((𝐴𝐶) ⊆ (𝐵𝐶) → (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵𝐶)))))
159, 13, 14syl2anc 582 . . . 4 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴𝐶) ⊆ (𝐵𝐶) → (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵𝐶)))))
162, 15syl5 34 . . 3 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵𝐶)))))
171, 16mpd 15 . 2 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵𝐶))))
18 shjval 31233 . . 3 ((𝐴S𝐶S ) → (𝐴 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐶))))
193, 6, 18syl2anc 582 . 2 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐶))))
20 shjval 31233 . . 3 ((𝐵S𝐶S ) → (𝐵 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐵𝐶))))
2110, 6, 20syl2anc 582 . 2 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐵𝐶))))
2217, 19, 213sstr4d 4024 1 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 𝐶) ⊆ (𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3942  wss 3944  cfv 6549  (class class class)co 7419  chba 30801   S csh 30810  cort 30812   chj 30815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hv0cl 30885  ax-hfvmul 30887  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his2 30965  ax-his3 30966
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-ltxr 11285  df-sh 31089  df-oc 31134  df-chj 31192
This theorem is referenced by:  shlej2  31243  shlej1i  31260  chlej1  31392
  Copyright terms: Public domain W3C validator