Theorem shlej1 28775

Description: Add disjunct to both sides of Hilbert subspace ordering. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shlej1	⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Proof of Theorem shlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		unss1 4010	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶))
3		simpl1 1248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Sℋ )
4		shss 28623	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ ℋ)
6		simpl3 1252	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ∈ Sℋ )
7		shss 28623	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Sℋ → 𝐶 ⊆ ℋ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ⊆ ℋ)
9	5, 8	unssd 4017	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ ℋ)
10		simpl2 1250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ Sℋ )
11		shss 28623	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 𝐵 ⊆ ℋ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℋ)
13	12, 8	unssd 4017	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐶) ⊆ ℋ)
14		occon2 28703	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ ℋ ∧ (𝐵 ∪ 𝐶) ⊆ ℋ) → ((𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
15	9, 13, 14	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
16	2, 15	syl5 34	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
17	1, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
18		shjval 28766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))))
19	3, 6, 18	syl2anc 581	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))))
20		shjval 28766	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
21	10, 6, 20	syl2anc 581	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
22	17, 19, 21	3sstr4d 3874	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ∪ cun 3797   ⊆ wss 3799  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ℋchba 28332   S_ℋ csh 28341  ⊥cort 28343   ∨_ℋ chj 28346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-hilex 28412  ax-hfvadd 28413  ax-hv0cl 28416  ax-hfvmul 28418  ax-hvmul0 28423  ax-hfi 28492  ax-his2 28496  ax-his3 28497

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-ltxr 10397  df-sh 28620  df-oc 28665  df-chj 28725

This theorem is referenced by:  shlej2  28776  shlej1i  28793  chlej1  28925