Theorem shlej1 31895

Description: Add disjunct to both sides of Hilbert subspace ordering. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shlej1	⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Proof of Theorem shlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		unss1 4130	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶))
3		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Sℋ )
4		shss 31745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ ℋ)
6		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ∈ Sℋ )
7		shss 31745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Sℋ → 𝐶 ⊆ ℋ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ⊆ ℋ)
9	5, 8	unssd 4137	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ ℋ)
10		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ Sℋ )
11		shss 31745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 𝐵 ⊆ ℋ)
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℋ)
13	12, 8	unssd 4137	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∪ 𝐶) ⊆ ℋ)
14		occon2 31823	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ ℋ ∧ (𝐵 ∪ 𝐶) ⊆ ℋ) → ((𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
15	9, 13, 14	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
16	2, 15	syl5 35	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
17	1, 16	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
18		shjval 31886	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))))
19	3, 6, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐶))))
20		shjval 31886	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
21	10, 6, 20	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
22	17, 19, 21	3sstr4d 3985	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ℋchba 31454   S_ℋ csh 31463  ⊥cort 31465   ∨_ℋ chj 31468

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-hilex 31534  ax-hfvadd 31535  ax-hv0cl 31538  ax-hfvmul 31540  ax-hvmul0 31545  ax-hfi 31614  ax-his2 31618  ax-his3 31619

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-ltxr 11319  df-sh 31742  df-oc 31787  df-chj 31845

This theorem is used by:  shlej2  31896  shlej1i  31913  chlej1  32045