Theorem chscllem4 32251

Description: Lemma for chscl 32252. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
chscl.7	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝐻‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
chscllem4	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢, 𝑛)   𝐺(𝑢, 𝑛)

Proof of Theorem chscllem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlimf 31848	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
2		ffun 6717	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ⇝𝑣
4		chscl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
5		funbrfv 6938	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐻 ⇝𝑣 𝑢 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = 𝑢))
6	3, 4, 5	mpsyl 69	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = 𝑢)
7		chscl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
8	7	feqmptd 6958	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘𝑘)))
9	7	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
10		chscl.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
11		chsh 31835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
13		chscl.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
14		chsh 31835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
16		shsel 31925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
17	12, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
18	17	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
19	9, 18	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
20		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
21		simp1l 1216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝜑)
22	21, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ∈ Cℋ )
23	21, 13	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ∈ Cℋ )
24		chscl.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
25	21, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
26	21, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
27	21, 4	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
28		chscl.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
29		simp1r 1217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑘 ∈ ℕ)
30		simp2l 1218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
31		simp2r 1219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
32	22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 20	chscllem3 32250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 = (𝐹‘𝑘))
33		chsscon2 32113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
34	13, 10, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
35	24, 34	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
36	21, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
37		shscom 31930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
38	12, 15, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
39	38	feq3d 6699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴)))
40	7, 39	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴))
41	21, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴))
42		chscl.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝐻‘𝑛)))
43		shss 31821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
44	12, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
45	21, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℋ)
46	45, 30	sseldd 3910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℋ)
47		shss 31821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 𝐵 ⊆ ℋ)
48	15, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℋ)
49	21, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ⊆ ℋ)
50	49, 31	sseldd 3910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℋ)
51		ax-hvcom 31612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
52	46, 50, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
53	20, 52	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
54	23, 22, 36, 41, 27, 42, 29, 31, 30, 53	chscllem3 32250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 = (𝐺‘𝑘))
55	32, 54	oveq12d 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
56	20, 55	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
57	56	3exp 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))))
58	57	rexlimdvv 3218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
59	19, 58	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
60	59	mpteq2dva 5197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
61	8, 60	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
62	10, 13, 24, 7, 4, 28	chscllem1 32248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
63	62, 44	fssd 6732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
64	13, 10, 35, 40, 4, 42	chscllem1 32248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶𝐵)
65	64, 48	fssd 6732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
66	10, 13, 24, 7, 4, 28	chscllem2 32249	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
67		funfvbrb 7055	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
68	3, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
69	66, 68	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
70	13, 10, 35, 40, 4, 42	chscllem2 32249	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 )
71		funfvbrb 7055	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
72	3, 71	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺))
73	70, 72	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺))
74		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
75	63, 65, 69, 73, 74	hlimadd 31804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))) ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
76	61, 75	eqbrtrd 5126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
77		funbrfv 6938	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐻 ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺))))
78	3, 76, 77	mpsyl 69	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
79	6, 78	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑢 = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
80		fvex 6903	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ V
81	80	chlimi 31845	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴)
82	10, 62, 69, 81	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴)
83		fvex 6903	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ V
84	83	chlimi 31845	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐺:ℕ⟶𝐵 ∧ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵)
85	13, 64, 73, 84	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵)
86		shsva 31931	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
87	12, 15, 86	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
88	82, 85, 87	mp2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
89	79, 88	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5651  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℕcn 12342   ℋchba 31530   +_ℎ cva 31531   ⇝_𝑣 chli 31538   S_ℋ csh 31539   C_ℋ cch 31540  ⊥cort 31541   +_ℋ cph 31542  proj_ℎcpjh 31548

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286  ax-mulf 11287  ax-hilex 31610  ax-hfvadd 31611  ax-hvcom 31612  ax-hvass 31613  ax-hv0cl 31614  ax-hvaddid 31615  ax-hfvmul 31616  ax-hvmulid 31617  ax-hvmulass 31618  ax-hvdistr1 31619  ax-hvdistr2 31620  ax-hvmul0 31621  ax-hfi 31690  ax-his1 31693  ax-his2 31694  ax-his3 31695  ax-his4 31696  ax-hcompl 31813

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-lm 23556  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-xms 24648  df-tms 24650  df-cau 25586  df-grpo 31104  df-gid 31105  df-ginv 31106  df-gdiv 31107  df-ablo 31156  df-vc 31170  df-nv 31203  df-va 31206  df-ba 31207  df-sm 31208  df-0v 31209  df-vs 31210  df-nmcv 31211  df-ims 31212  df-hnorm 31579  df-hba 31580  df-hvsub 31582  df-hlim 31583  df-hcau 31584  df-sh 31818  df-ch 31832  df-oc 31863  df-ch0 31864  df-shs 31919  df-pjh 32006

This theorem is used by:  chscl  32252