Theorem chscllem4 31664

Description: Lemma for chscl 31665. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
chscl.7	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝐻‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
chscllem4	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)   𝐺(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlimf 31261	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
2		ffun 6663	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ⇝𝑣
4		chscl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
5		funbrfv 6880	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐻 ⇝𝑣 𝑢 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = 𝑢))
6	3, 4, 5	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = 𝑢)
7		chscl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
8	7	feqmptd 6900	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘𝑘)))
9	7	ffvelcdmda 7027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
10		chscl.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
11		chsh 31248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
13		chscl.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
14		chsh 31248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
16		shsel 31338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
17	12, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
18	17	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
19	9, 18	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
20		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
21		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝜑)
22	21, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ∈ Cℋ )
23	21, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ∈ Cℋ )
24		chscl.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
25	21, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
26	21, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
27	21, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
28		chscl.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
29		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑘 ∈ ℕ)
30		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
31		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
32	22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 20	chscllem3 31663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 = (𝐹‘𝑘))
33		chsscon2 31526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
34	13, 10, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
35	24, 34	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
36	21, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
37		shscom 31343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
38	12, 15, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
39	38	feq3d 6645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴)))
40	7, 39	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴))
41	21, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴))
42		chscl.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝐻‘𝑛)))
43		shss 31234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
44	12, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
45	21, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℋ)
46	45, 30	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℋ)
47		shss 31234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 𝐵 ⊆ ℋ)
48	15, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℋ)
49	21, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ⊆ ℋ)
50	49, 31	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℋ)
51		ax-hvcom 31025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
52	46, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
53	20, 52	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
54	23, 22, 36, 41, 27, 42, 29, 31, 30, 53	chscllem3 31663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 = (𝐺‘𝑘))
55	32, 54	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
56	20, 55	eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
57	56	3exp 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))))
58	57	rexlimdvv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
59	19, 58	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
60	59	mpteq2dva 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
61	8, 60	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
62	10, 13, 24, 7, 4, 28	chscllem1 31661	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
63	62, 44	fssd 6677	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
64	13, 10, 35, 40, 4, 42	chscllem1 31661	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶𝐵)
65	64, 48	fssd 6677	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
66	10, 13, 24, 7, 4, 28	chscllem2 31662	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
67		funfvbrb 6994	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
68	3, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
69	66, 68	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
70	13, 10, 35, 40, 4, 42	chscllem2 31662	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 )
71		funfvbrb 6994	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
72	3, 71	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺))
73	70, 72	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺))
74		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
75	63, 65, 69, 73, 74	hlimadd 31217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))) ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
76	61, 75	eqbrtrd 5118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
77		funbrfv 6880	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐻 ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺))))
78	3, 76, 77	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
79	6, 78	eqtr3d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑢 = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
80		fvex 6845	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ V
81	80	chlimi 31258	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴)
82	10, 62, 69, 81	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴)
83		fvex 6845	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ V
84	83	chlimi 31258	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐺:ℕ⟶𝐵 ∧ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵)
85	13, 64, 73, 84	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵)
86		shsva 31344	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
87	12, 15, 86	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
88	82, 85, 87	mp2and 699	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
89	79, 88	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  dom cdm 5622  Fun wfun 6484  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℕcn 12143   ℋchba 30943   +_ℎ cva 30944   ⇝_𝑣 chli 30951   S_ℋ csh 30952   C_ℋ cch 30953  ⊥cort 30954   +_ℋ cph 30955  proj_ℎcpjh 30961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104  ax-hilex 31023  ax-hfvadd 31024  ax-hvcom 31025  ax-hvass 31026  ax-hv0cl 31027  ax-hvaddid 31028  ax-hfvmul 31029  ax-hvmulid 31030  ax-hvmulass 31031  ax-hvdistr1 31032  ax-hvdistr2 31033  ax-hvmul0 31034  ax-hfi 31103  ax-his1 31106  ax-his2 31107  ax-his3 31108  ax-his4 31109  ax-hcompl 31226

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-lm 23171  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-xms 24262  df-tms 24264  df-cau 25210  df-grpo 30517  df-gid 30518  df-ginv 30519  df-gdiv 30520  df-ablo 30569  df-vc 30583  df-nv 30616  df-va 30619  df-ba 30620  df-sm 30621  df-0v 30622  df-vs 30623  df-nmcv 30624  df-ims 30625  df-hnorm 30992  df-hba 30993  df-hvsub 30995  df-hlim 30996  df-hcau 30997  df-sh 31231  df-ch 31245  df-oc 31276  df-ch0 31277  df-shs 31332  df-pjh 31419

This theorem is referenced by:  chscl  31665