Theorem chscllem4 32242

Description: Lemma for chscl 32243. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
chscl.7	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝐻‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
chscllem4	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢, 𝑛)   𝐺(𝑢, 𝑛)

Proof of Theorem chscllem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlimf 31839	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
2		ffun 6712	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ⇝𝑣
4		chscl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
5		funbrfv 6933	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐻 ⇝𝑣 𝑢 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = 𝑢))
6	3, 4, 5	mpsyl 69	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = 𝑢)
7		chscl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
8	7	feqmptd 6953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘𝑘)))
9	7	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
10		chscl.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
11		chsh 31826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
13		chscl.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
14		chsh 31826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
16		shsel 31916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
17	12, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
18	17	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
19	9, 18	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
20		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
21		simp1l 1216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝜑)
22	21, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ∈ Cℋ )
23	21, 13	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ∈ Cℋ )
24		chscl.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
25	21, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
26	21, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
27	21, 4	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
28		chscl.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
29		simp1r 1217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑘 ∈ ℕ)
30		simp2l 1218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
31		simp2r 1219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
32	22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 20	chscllem3 32241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 = (𝐹‘𝑘))
33		chsscon2 32104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
34	13, 10, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
35	24, 34	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
36	21, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
37		shscom 31921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
38	12, 15, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
39	38	feq3d 6694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴)))
40	7, 39	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴))
41	21, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴))
42		chscl.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝐻‘𝑛)))
43		shss 31812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
44	12, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
45	21, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℋ)
46	45, 30	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℋ)
47		shss 31812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 𝐵 ⊆ ℋ)
48	15, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℋ)
49	21, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ⊆ ℋ)
50	49, 31	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℋ)
51		ax-hvcom 31603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
52	46, 50, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
53	20, 52	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
54	23, 22, 36, 41, 27, 42, 29, 31, 30, 53	chscllem3 32241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 = (𝐺‘𝑘))
55	32, 54	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
56	20, 55	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
57	56	3exp 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))))
58	57	rexlimdvv 3219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
59	19, 58	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
60	59	mpteq2dva 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
61	8, 60	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
62	10, 13, 24, 7, 4, 28	chscllem1 32239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
63	62, 44	fssd 6727	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
64	13, 10, 35, 40, 4, 42	chscllem1 32239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶𝐵)
65	64, 48	fssd 6727	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
66	10, 13, 24, 7, 4, 28	chscllem2 32240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
67		funfvbrb 7050	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
68	3, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
69	66, 68	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
70	13, 10, 35, 40, 4, 42	chscllem2 32240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 )
71		funfvbrb 7050	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
72	3, 71	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺))
73	70, 72	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺))
74		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
75	63, 65, 69, 73, 74	hlimadd 31795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))) ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
76	61, 75	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
77		funbrfv 6933	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐻 ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺))))
78	3, 76, 77	mpsyl 69	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
79	6, 78	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑢 = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
80		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ V
81	80	chlimi 31836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴)
82	10, 62, 69, 81	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴)
83		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ V
84	83	chlimi 31836	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐺:ℕ⟶𝐵 ∧ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵)
85	13, 64, 73, 84	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵)
86		shsva 31922	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
87	12, 15, 86	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
88	82, 85, 87	mp2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
89	79, 88	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℕcn 12335   ℋchba 31521   +_ℎ cva 31522   ⇝_𝑣 chli 31529   S_ℋ csh 31530   C_ℋ cch 31531  ⊥cort 31532   +_ℋ cph 31533  proj_ℎcpjh 31539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvmulass 31609  ax-hvdistr1 31610  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his2 31685  ax-his3 31686  ax-his4 31687  ax-hcompl 31804

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-lm 23547  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-tms 24641  df-cau 25577  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-gdiv 31098  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-vs 31201  df-nmcv 31202  df-ims 31203  df-hnorm 31570  df-hba 31571  df-hvsub 31573  df-hlim 31574  df-hcau 31575  df-sh 31809  df-ch 31823  df-oc 31854  df-ch0 31855  df-shs 31910  df-pjh 31997

This theorem is used by:  chscl  32243