HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chscllem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chscllem4 31668
Description: Lemma for chscl 31669. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1 (𝜑𝐴C )
chscl.2 (𝜑𝐵C )
chscl.3 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
chscl.5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
chscl.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
chscl.7 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐵)‘(𝐻𝑛)))
Assertion
Ref Expression
chscllem4 (𝜑𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)   𝐺(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem4
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlimf 31265 . . . . 5 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
2 ffun 6739 . . . . 5 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
31, 2ax-mp 5 . . . 4 Fun ⇝𝑣
4 chscl.5 . . . 4 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
5 funbrfv 6957 . . . 4 (Fun ⇝𝑣 → (𝐻𝑣 𝑢 → ( ⇝𝑣𝐻) = 𝑢))
63, 4, 5mpsyl 68 . . 3 (𝜑 → ( ⇝𝑣𝐻) = 𝑢)
7 chscl.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
87feqmptd 6976 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻𝑘)))
97ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ (𝐴 + 𝐵))
10 chscl.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴C )
11 chsh 31252 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴C𝐴S )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴S )
13 chscl.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵C )
14 chsh 31252 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵C𝐵S )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵S )
16 shsel 31342 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴S𝐵S ) → ((𝐻𝑘) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)))
1712, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐻𝑘) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)))
1817biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐻𝑘) ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦))
199, 18syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦))
20 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦))
21 simp1l 1196 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝜑)
2221, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐴C )
2321, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐵C )
24 chscl.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
2521, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
2621, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
2721, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐻𝑣 𝑢)
28 chscl.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
29 simp1r 1197 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑘 ∈ ℕ)
30 simp2l 1198 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑥𝐴)
31 simp2r 1199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑦𝐵)
3222, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 20chscllem3 31667 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑥 = (𝐹𝑘))
33 chsscon2 31530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝐴C ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
3413, 10, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
3524, 34mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
3621, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
37 shscom 31347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
3812, 15, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
3938feq3d 6723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐻:ℕ⟶(𝐵 + 𝐴)))
407, 39mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐵 + 𝐴))
4121, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐵 + 𝐴))
42 chscl.7 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐵)‘(𝐻𝑛)))
43 shss 31238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴S𝐴 ⊆ ℋ)
4412, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ⊆ ℋ)
4521, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℋ)
4645, 30sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℋ)
47 shss 31238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵S𝐵 ⊆ ℋ)
4815, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ⊆ ℋ)
4921, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐵 ⊆ ℋ)
5049, 31sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℋ)
51 ax-hvcom 31029 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
5246, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
5320, 52eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐻𝑘) = (𝑦 + 𝑥))
5423, 22, 36, 41, 27, 42, 29, 31, 30, 53chscllem3 31667 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑦 = (𝐺𝑘))
5532, 54oveq12d 7448 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
5620, 55eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
57563exp 1118 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ((𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))))
5857rexlimdvv 3209 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))))
5919, 58mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
6059mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))))
618, 60eqtrd 2774 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))))
6210, 13, 24, 7, 4, 28chscllem1 31665 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
6362, 44fssd 6753 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶ ℋ)
6413, 10, 35, 40, 4, 42chscllem1 31665 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝐵)
6564, 48fssd 6753 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ⟶ ℋ)
6610, 13, 24, 7, 4, 28chscllem2 31666 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
67 funfvbrb 7070 . . . . . . . 8 (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹)))
683, 67ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹))
6966, 68sylib 218 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹))
7013, 10, 35, 40, 4, 42chscllem2 31666 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 )
71 funfvbrb 7070 . . . . . . . 8 (Fun ⇝𝑣 → (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣𝐺𝑣 ( ⇝𝑣𝐺)))
723, 71ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣𝐺𝑣 ( ⇝𝑣𝐺))
7370, 72sylib 218 . . . . . 6 (𝜑𝐺𝑣 ( ⇝𝑣𝐺))
74 eqid 2734 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
7563, 65, 69, 73, 74hlimadd 31221 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))) ⇝𝑣 (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)))
7661, 75eqbrtrd 5169 . . . 4 (𝜑𝐻𝑣 (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)))
77 funbrfv 6957 . . . 4 (Fun ⇝𝑣 → (𝐻𝑣 (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)) → ( ⇝𝑣𝐻) = (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺))))
783, 76, 77mpsyl 68 . . 3 (𝜑 → ( ⇝𝑣𝐻) = (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)))
796, 78eqtr3d 2776 . 2 (𝜑𝑢 = (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)))
80 fvex 6919 . . . . 5 ( ⇝𝑣𝐹) ∈ V
8180chlimi 31262 . . . 4 ((𝐴C𝐹:ℕ⟶𝐴𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹)) → ( ⇝𝑣𝐹) ∈ 𝐴)
8210, 62, 69, 81syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ( ⇝𝑣𝐹) ∈ 𝐴)
83 fvex 6919 . . . . 5 ( ⇝𝑣𝐺) ∈ V
8483chlimi 31262 . . . 4 ((𝐵C𝐺:ℕ⟶𝐵𝐺𝑣 ( ⇝𝑣𝐺)) → ( ⇝𝑣𝐺) ∈ 𝐵)
8513, 64, 73, 84syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ( ⇝𝑣𝐺) ∈ 𝐵)
86 shsva 31348 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → ((( ⇝𝑣𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)) ∈ (𝐴 + 𝐵)))
8712, 15, 86syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((( ⇝𝑣𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)) ∈ (𝐴 + 𝐵)))
8882, 85, 87mp2and 699 . 2 (𝜑 → (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)) ∈ (𝐴 + 𝐵))
8979, 88eqeltrd 2838 1 (𝜑𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  Fun wfun 6556  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cn 12263  chba 30947   + cva 30948  𝑣 chli 30955   S csh 30956   C cch 30957  cort 30958   + cph 30959  projcpjh 30965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-xms 24345  df-tms 24347  df-cau 25303  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-shs 31336  df-pjh 31423
This theorem is referenced by:  chscl  31669
  Copyright terms: Public domain W3C validator