HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chscllem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chscllem4 31659
Description: Lemma for chscl 31660. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1 (𝜑𝐴C )
chscl.2 (𝜑𝐵C )
chscl.3 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
chscl.5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
chscl.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
chscl.7 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐵)‘(𝐻𝑛)))
Assertion
Ref Expression
chscllem4 (𝜑𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)   𝐺(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem4
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlimf 31256 . . . . 5 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
2 ffun 6739 . . . . 5 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
31, 2ax-mp 5 . . . 4 Fun ⇝𝑣
4 chscl.5 . . . 4 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
5 funbrfv 6957 . . . 4 (Fun ⇝𝑣 → (𝐻𝑣 𝑢 → ( ⇝𝑣𝐻) = 𝑢))
63, 4, 5mpsyl 68 . . 3 (𝜑 → ( ⇝𝑣𝐻) = 𝑢)
7 chscl.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
87feqmptd 6977 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻𝑘)))
97ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ (𝐴 + 𝐵))
10 chscl.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴C )
11 chsh 31243 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴C𝐴S )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴S )
13 chscl.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵C )
14 chsh 31243 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵C𝐵S )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵S )
16 shsel 31333 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴S𝐵S ) → ((𝐻𝑘) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)))
1712, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐻𝑘) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)))
1817biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐻𝑘) ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦))
199, 18syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦))
20 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦))
21 simp1l 1198 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝜑)
2221, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐴C )
2321, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐵C )
24 chscl.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
2521, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
2621, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
2721, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐻𝑣 𝑢)
28 chscl.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
29 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑘 ∈ ℕ)
30 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑥𝐴)
31 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑦𝐵)
3222, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 20chscllem3 31658 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑥 = (𝐹𝑘))
33 chsscon2 31521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝐴C ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
3413, 10, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
3524, 34mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
3621, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
37 shscom 31338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
3812, 15, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
3938feq3d 6723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐻:ℕ⟶(𝐵 + 𝐴)))
407, 39mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐵 + 𝐴))
4121, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐵 + 𝐴))
42 chscl.7 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐵)‘(𝐻𝑛)))
43 shss 31229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴S𝐴 ⊆ ℋ)
4412, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ⊆ ℋ)
4521, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℋ)
4645, 30sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℋ)
47 shss 31229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵S𝐵 ⊆ ℋ)
4815, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ⊆ ℋ)
4921, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐵 ⊆ ℋ)
5049, 31sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℋ)
51 ax-hvcom 31020 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
5246, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
5320, 52eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐻𝑘) = (𝑦 + 𝑥))
5423, 22, 36, 41, 27, 42, 29, 31, 30, 53chscllem3 31658 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑦 = (𝐺𝑘))
5532, 54oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
5620, 55eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
57563exp 1120 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ((𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))))
5857rexlimdvv 3212 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))))
5919, 58mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
6059mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))))
618, 60eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))))
6210, 13, 24, 7, 4, 28chscllem1 31656 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
6362, 44fssd 6753 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶ ℋ)
6413, 10, 35, 40, 4, 42chscllem1 31656 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝐵)
6564, 48fssd 6753 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ⟶ ℋ)
6610, 13, 24, 7, 4, 28chscllem2 31657 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
67 funfvbrb 7071 . . . . . . . 8 (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹)))
683, 67ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹))
6966, 68sylib 218 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹))
7013, 10, 35, 40, 4, 42chscllem2 31657 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 )
71 funfvbrb 7071 . . . . . . . 8 (Fun ⇝𝑣 → (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣𝐺𝑣 ( ⇝𝑣𝐺)))
723, 71ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣𝐺𝑣 ( ⇝𝑣𝐺))
7370, 72sylib 218 . . . . . 6 (𝜑𝐺𝑣 ( ⇝𝑣𝐺))
74 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
7563, 65, 69, 73, 74hlimadd 31212 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))) ⇝𝑣 (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)))
7661, 75eqbrtrd 5165 . . . 4 (𝜑𝐻𝑣 (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)))
77 funbrfv 6957 . . . 4 (Fun ⇝𝑣 → (𝐻𝑣 (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)) → ( ⇝𝑣𝐻) = (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺))))
783, 76, 77mpsyl 68 . . 3 (𝜑 → ( ⇝𝑣𝐻) = (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)))
796, 78eqtr3d 2779 . 2 (𝜑𝑢 = (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)))
80 fvex 6919 . . . . 5 ( ⇝𝑣𝐹) ∈ V
8180chlimi 31253 . . . 4 ((𝐴C𝐹:ℕ⟶𝐴𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹)) → ( ⇝𝑣𝐹) ∈ 𝐴)
8210, 62, 69, 81syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → ( ⇝𝑣𝐹) ∈ 𝐴)
83 fvex 6919 . . . . 5 ( ⇝𝑣𝐺) ∈ V
8483chlimi 31253 . . . 4 ((𝐵C𝐺:ℕ⟶𝐵𝐺𝑣 ( ⇝𝑣𝐺)) → ( ⇝𝑣𝐺) ∈ 𝐵)
8513, 64, 73, 84syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → ( ⇝𝑣𝐺) ∈ 𝐵)
86 shsva 31339 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → ((( ⇝𝑣𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)) ∈ (𝐴 + 𝐵)))
8712, 15, 86syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((( ⇝𝑣𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)) ∈ (𝐴 + 𝐵)))
8882, 85, 87mp2and 699 . 2 (𝜑 → (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)) ∈ (𝐴 + 𝐵))
8979, 88eqeltrd 2841 1 (𝜑𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cn 12266  chba 30938   + cva 30939  𝑣 chli 30946   S csh 30947   C cch 30948  cort 30949   + cph 30950  projcpjh 30956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-tms 24332  df-cau 25290  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-pjh 31414
This theorem is referenced by:  chscl  31660
  Copyright terms: Public domain W3C validator