HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chscllem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chscllem4 31362
Description: Lemma for chscl 31363. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chscl.1 (𝜑𝐴C )
chscl.2 (𝜑𝐵C )
chscl.3 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
chscl.5 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
chscl.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
chscl.7 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐵)‘(𝐻𝑛)))
Assertion
Ref Expression
chscllem4 (𝜑𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)   𝐺(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem4
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlimf 30959 . . . . 5 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
2 ffun 6710 . . . . 5 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
31, 2ax-mp 5 . . . 4 Fun ⇝𝑣
4 chscl.5 . . . 4 (𝜑𝐻𝑣 𝑢)
5 funbrfv 6932 . . . 4 (Fun ⇝𝑣 → (𝐻𝑣 𝑢 → ( ⇝𝑣𝐻) = 𝑢))
63, 4, 5mpsyl 68 . . 3 (𝜑 → ( ⇝𝑣𝐻) = 𝑢)
7 chscl.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
87feqmptd 6950 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻𝑘)))
97ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ (𝐴 + 𝐵))
10 chscl.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴C )
11 chsh 30946 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴C𝐴S )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴S )
13 chscl.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵C )
14 chsh 30946 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵C𝐵S )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵S )
16 shsel 31036 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴S𝐵S ) → ((𝐻𝑘) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)))
1712, 15, 16syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐻𝑘) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)))
1817biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐻𝑘) ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦))
199, 18syldan 590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦))
20 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦))
21 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝜑)
2221, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐴C )
2321, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐵C )
24 chscl.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
2521, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
2621, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵))
2721, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐻𝑣 𝑢)
28 chscl.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐴)‘(𝐻𝑛)))
29 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑘 ∈ ℕ)
30 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑥𝐴)
31 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑦𝐵)
3222, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 20chscllem3 31361 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑥 = (𝐹𝑘))
33 chsscon2 31224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝐴C ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
3413, 10, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
3524, 34mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
3621, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
37 shscom 31041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
3812, 15, 37syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
3938feq3d 6694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐻:ℕ⟶(𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐻:ℕ⟶(𝐵 + 𝐴)))
407, 39mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻:ℕ⟶(𝐵 + 𝐴))
4121, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐵 + 𝐴))
42 chscl.7 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((proj𝐵)‘(𝐻𝑛)))
43 shss 30932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴S𝐴 ⊆ ℋ)
4412, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ⊆ ℋ)
4521, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℋ)
4645, 30sseldd 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℋ)
47 shss 30932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵S𝐵 ⊆ ℋ)
4815, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ⊆ ℋ)
4921, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝐵 ⊆ ℋ)
5049, 31sseldd 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℋ)
51 ax-hvcom 30723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
5246, 50, 51syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
5320, 52eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐻𝑘) = (𝑦 + 𝑥))
5423, 22, 36, 41, 27, 42, 29, 31, 30, 53chscllem3 31361 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → 𝑦 = (𝐺𝑘))
5532, 54oveq12d 7419 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
5620, 55eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
57563exp 1116 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ((𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))))
5857rexlimdvv 3202 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐻𝑘) = (𝑥 + 𝑦) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))))
5919, 58mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
6059mpteq2dva 5238 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))))
618, 60eqtrd 2764 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))))
6210, 13, 24, 7, 4, 28chscllem1 31359 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
6362, 44fssd 6725 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶ ℋ)
6413, 10, 35, 40, 4, 42chscllem1 31359 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝐵)
6564, 48fssd 6725 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ⟶ ℋ)
6610, 13, 24, 7, 4, 28chscllem2 31360 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
67 funfvbrb 7042 . . . . . . . 8 (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹)))
683, 67ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹))
6966, 68sylib 217 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹))
7013, 10, 35, 40, 4, 42chscllem2 31360 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 )
71 funfvbrb 7042 . . . . . . . 8 (Fun ⇝𝑣 → (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣𝐺𝑣 ( ⇝𝑣𝐺)))
723, 71ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣𝐺𝑣 ( ⇝𝑣𝐺))
7370, 72sylib 217 . . . . . 6 (𝜑𝐺𝑣 ( ⇝𝑣𝐺))
74 eqid 2724 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
7563, 65, 69, 73, 74hlimadd 30915 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))) ⇝𝑣 (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)))
7661, 75eqbrtrd 5160 . . . 4 (𝜑𝐻𝑣 (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)))
77 funbrfv 6932 . . . 4 (Fun ⇝𝑣 → (𝐻𝑣 (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)) → ( ⇝𝑣𝐻) = (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺))))
783, 76, 77mpsyl 68 . . 3 (𝜑 → ( ⇝𝑣𝐻) = (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)))
796, 78eqtr3d 2766 . 2 (𝜑𝑢 = (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)))
80 fvex 6894 . . . . 5 ( ⇝𝑣𝐹) ∈ V
8180chlimi 30956 . . . 4 ((𝐴C𝐹:ℕ⟶𝐴𝐹𝑣 ( ⇝𝑣𝐹)) → ( ⇝𝑣𝐹) ∈ 𝐴)
8210, 62, 69, 81syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ( ⇝𝑣𝐹) ∈ 𝐴)
83 fvex 6894 . . . . 5 ( ⇝𝑣𝐺) ∈ V
8483chlimi 30956 . . . 4 ((𝐵C𝐺:ℕ⟶𝐵𝐺𝑣 ( ⇝𝑣𝐺)) → ( ⇝𝑣𝐺) ∈ 𝐵)
8513, 64, 73, 84syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ( ⇝𝑣𝐺) ∈ 𝐵)
86 shsva 31042 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → ((( ⇝𝑣𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)) ∈ (𝐴 + 𝐵)))
8712, 15, 86syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ((( ⇝𝑣𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)) ∈ (𝐴 + 𝐵)))
8882, 85, 87mp2and 696 . 2 (𝜑 → (( ⇝𝑣𝐹) + ( ⇝𝑣𝐺)) ∈ (𝐴 + 𝐵))
8979, 88eqeltrd 2825 1 (𝜑𝑢 ∈ (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3062  wss 3940   class class class wbr 5138  cmpt 5221  dom cdm 5666  Fun wfun 6527  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  cn 12209  chba 30641   + cva 30642  𝑣 chli 30649   S csh 30650   C cch 30651  cort 30652   + cph 30653  projcpjh 30659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30721  ax-hfvadd 30722  ax-hvcom 30723  ax-hvass 30724  ax-hv0cl 30725  ax-hvaddid 30726  ax-hfvmul 30727  ax-hvmulid 30728  ax-hvmulass 30729  ax-hvdistr1 30730  ax-hvdistr2 30731  ax-hvmul0 30732  ax-hfi 30801  ax-his1 30804  ax-his2 30805  ax-his3 30806  ax-his4 30807  ax-hcompl 30924
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-lm 23055  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-xms 24148  df-tms 24150  df-cau 25106  df-grpo 30215  df-gid 30216  df-ginv 30217  df-gdiv 30218  df-ablo 30267  df-vc 30281  df-nv 30314  df-va 30317  df-ba 30318  df-sm 30319  df-0v 30320  df-vs 30321  df-nmcv 30322  df-ims 30323  df-hnorm 30690  df-hba 30691  df-hvsub 30693  df-hlim 30694  df-hcau 30695  df-sh 30929  df-ch 30943  df-oc 30974  df-ch0 30975  df-shs 31030  df-pjh 31117
This theorem is referenced by:  chscl  31363
  Copyright terms: Public domain W3C validator