Theorem chscllem4 31576

Description: Lemma for chscl 31577. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
chscl.7	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝐻‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
chscllem4	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢,𝑛)   𝐺(𝑢,𝑛)

Proof of Theorem chscllem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlimf 31173	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
2		ffun 6694	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ⇝𝑣
4		chscl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
5		funbrfv 6912	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐻 ⇝𝑣 𝑢 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = 𝑢))
6	3, 4, 5	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = 𝑢)
7		chscl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
8	7	feqmptd 6932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘𝑘)))
9	7	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
10		chscl.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
11		chsh 31160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
13		chscl.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
14		chsh 31160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
16		shsel 31250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
17	12, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
18	17	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
19	9, 18	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
20		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
21		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝜑)
22	21, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ∈ Cℋ )
23	21, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ∈ Cℋ )
24		chscl.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
25	21, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
26	21, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
27	21, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
28		chscl.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
29		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑘 ∈ ℕ)
30		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
31		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
32	22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 20	chscllem3 31575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 = (𝐹‘𝑘))
33		chsscon2 31438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
34	13, 10, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
35	24, 34	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
36	21, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
37		shscom 31255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
38	12, 15, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
39	38	feq3d 6676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴)))
40	7, 39	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴))
41	21, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴))
42		chscl.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝐻‘𝑛)))
43		shss 31146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
44	12, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
45	21, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℋ)
46	45, 30	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℋ)
47		shss 31146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 𝐵 ⊆ ℋ)
48	15, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℋ)
49	21, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ⊆ ℋ)
50	49, 31	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℋ)
51		ax-hvcom 30937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
52	46, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
53	20, 52	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
54	23, 22, 36, 41, 27, 42, 29, 31, 30, 53	chscllem3 31575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 = (𝐺‘𝑘))
55	32, 54	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
56	20, 55	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
57	56	3exp 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))))
58	57	rexlimdvv 3194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
59	19, 58	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
60	59	mpteq2dva 5203	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
61	8, 60	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
62	10, 13, 24, 7, 4, 28	chscllem1 31573	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
63	62, 44	fssd 6708	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
64	13, 10, 35, 40, 4, 42	chscllem1 31573	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶𝐵)
65	64, 48	fssd 6708	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
66	10, 13, 24, 7, 4, 28	chscllem2 31574	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
67		funfvbrb 7026	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
68	3, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
69	66, 68	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
70	13, 10, 35, 40, 4, 42	chscllem2 31574	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 )
71		funfvbrb 7026	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
72	3, 71	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺))
73	70, 72	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺))
74		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
75	63, 65, 69, 73, 74	hlimadd 31129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))) ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
76	61, 75	eqbrtrd 5132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
77		funbrfv 6912	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐻 ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺))))
78	3, 76, 77	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
79	6, 78	eqtr3d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑢 = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
80		fvex 6874	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ V
81	80	chlimi 31170	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴)
82	10, 62, 69, 81	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴)
83		fvex 6874	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ V
84	83	chlimi 31170	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐺:ℕ⟶𝐵 ∧ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵)
85	13, 64, 73, 84	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵)
86		shsva 31256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
87	12, 15, 86	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
88	82, 85, 87	mp2and 699	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
89	79, 88	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  Fun wfun 6508  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℕcn 12193   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856   ⇝_𝑣 chli 30863   S_ℋ csh 30864   C_ℋ cch 30865  ⊥cort 30866   +_ℋ cph 30867  proj_ℎcpjh 30873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021  ax-hcompl 31138

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-lm 23123  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-xms 24215  df-tms 24217  df-cau 25163  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-hnorm 30904  df-hba 30905  df-hvsub 30907  df-hlim 30908  df-hcau 30909  df-sh 31143  df-ch 31157  df-oc 31188  df-ch0 31189  df-shs 31244  df-pjh 31331

This theorem is referenced by:  chscl  31577