Theorem chscllem4 32122

Description: Lemma for chscl 32123. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
chscl.7	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝐻‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
chscllem4	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐹(𝑢, 𝑛)   𝐺(𝑢, 𝑛)

Proof of Theorem chscllem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlimf 31719	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
2		ffun 6706	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ⇝𝑣
4		chscl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
5		funbrfv 6927	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐻 ⇝𝑣 𝑢 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = 𝑢))
6	3, 4, 5	mpsyl 69	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = 𝑢)
7		chscl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
8	7	feqmptd 6947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘𝑘)))
9	7	ffvelcdmda 7078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
10		chscl.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
11		chsh 31706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
13		chscl.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
14		chsh 31706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
16		shsel 31796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
17	12, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
18	17	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
19	9, 18	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
20		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
21		simp1l 1216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝜑)
22	21, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ∈ Cℋ )
23	21, 13	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ∈ Cℋ )
24		chscl.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
25	21, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
26	21, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
27	21, 4	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
28		chscl.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
29		simp1r 1217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑘 ∈ ℕ)
30		simp2l 1218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
31		simp2r 1219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
32	22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 20	chscllem3 32121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 = (𝐹‘𝑘))
33		chsscon2 31984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
34	13, 10, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
35	24, 34	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
36	21, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵))
37		shscom 31801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
38	12, 15, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
39	38	feq3d 6688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴)))
40	7, 39	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴))
41	21, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐻:ℕ⟶(𝐵 +ℋ 𝐴))
42		chscl.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝐻‘𝑛)))
43		shss 31692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
44	12, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℋ)
45	21, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℋ)
46	45, 30	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℋ)
47		shss 31692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 𝐵 ⊆ ℋ)
48	15, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℋ)
49	21, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝐵 ⊆ ℋ)
50	49, 31	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℋ)
51		ax-hvcom 31483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
52	46, 50, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
53	20, 52	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
54	23, 22, 36, 41, 27, 42, 29, 31, 30, 53	chscllem3 32121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → 𝑦 = (𝐺‘𝑘))
55	32, 54	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
56	20, 55	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
57	56	3exp 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))))
58	57	rexlimdvv 3218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘𝑘) = (𝑥 +ℎ 𝑦) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
59	19, 58	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
60	59	mpteq2dva 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
61	8, 60	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))))
62	10, 13, 24, 7, 4, 28	chscllem1 32119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
63	62, 44	fssd 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
64	13, 10, 35, 40, 4, 42	chscllem1 32119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶𝐵)
65	64, 48	fssd 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
66	10, 13, 24, 7, 4, 28	chscllem2 32120	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
67		funfvbrb 7044	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)))
68	3, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
69	66, 68	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹))
70	13, 10, 35, 40, 4, 42	chscllem2 32120	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 )
71		funfvbrb 7044	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
72	3, 71	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺))
73	70, 72	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺))
74		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘)))
75	63, 65, 69, 73, 74	hlimadd 31675	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑘) +ℎ (𝐺‘𝑘))) ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
76	61, 75	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
77		funbrfv 6927	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝐻 ⇝𝑣 (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺))))
78	3, 76, 77	mpsyl 69	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐻) = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
79	6, 78	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑢 = (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)))
80		fvex 6892	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ V
81	80	chlimi 31716	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ 𝐹 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐹)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴)
82	10, 62, 69, 81	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴)
83		fvex 6892	. . . . 5 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ V
84	83	chlimi 31716	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐺:ℕ⟶𝐵 ∧ 𝐺 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) → ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵)
85	13, 64, 73, 84	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵)
86		shsva 31802	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
87	12, 15, 86	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((( ⇝𝑣 ‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ ( ⇝𝑣 ‘𝐺) ∈ 𝐵) → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
88	82, 85, 87	mp2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⇝𝑣 ‘𝐹) +ℎ ( ⇝𝑣 ‘𝐺)) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
89	79, 88	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  Fun wfun 6527  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℕcn 12258   ℋchba 31401   +_ℎ cva 31402   ⇝_𝑣 chli 31409   S_ℋ csh 31410   C_ℋ cch 31411  ⊥cort 31412   +_ℋ cph 31413  proj_ℎcpjh 31419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204  ax-mulf 11205  ax-hilex 31481  ax-hfvadd 31482  ax-hvcom 31483  ax-hvass 31484  ax-hv0cl 31485  ax-hvaddid 31486  ax-hfvmul 31487  ax-hvmulid 31488  ax-hvmulass 31489  ax-hvdistr1 31490  ax-hvdistr2 31491  ax-hvmul0 31492  ax-hfi 31561  ax-his1 31564  ax-his2 31565  ax-his3 31566  ax-his4 31567  ax-hcompl 31684

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-pt 17530  df-prds 17533  df-xrs 17589  df-qtop 17594  df-imas 17595  df-xps 17597  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-lm 23455  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-xms 24547  df-tms 24549  df-cau 25485  df-grpo 30975  df-gid 30976  df-ginv 30977  df-gdiv 30978  df-ablo 31027  df-vc 31041  df-nv 31074  df-va 31077  df-ba 31078  df-sm 31079  df-0v 31080  df-vs 31081  df-nmcv 31082  df-ims 31083  df-hnorm 31450  df-hba 31451  df-hvsub 31453  df-hlim 31454  df-hcau 31455  df-sh 31689  df-ch 31703  df-oc 31734  df-ch0 31735  df-shs 31790  df-pjh 31877

This theorem is used by:  chscl  32123