Theorem shocss 31445

Description: An orthogonal complement is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shocss	⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shocss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 31369	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
2		ocss 31444	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6515   ℋchba 31078   S_ℋ csh 31087  ⊥cort 31089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-hilex 31158  ax-hfvadd 31159  ax-hv0cl 31162  ax-hfvmul 31164  ax-hvmul0 31169  ax-hfi 31238  ax-his2 31242  ax-his3 31243

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-ltxr 11214  df-sh 31366  df-oc 31411

This theorem is referenced by:  shorth  31454  choc1  31486  omlsilem  31561