HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shocss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shocss 31109
Description: An orthogonal complement is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shocss (𝐴S → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shocss
StepHypRef Expression
1 shss 31033 . 2 (𝐴S𝐴 ⊆ ℋ)
2 ocss 31108 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
31, 2syl 17 1 (𝐴S → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2099  wss 3947  cfv 6548  chba 30742   S csh 30751  cort 30753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-hilex 30822  ax-hfvadd 30823  ax-hv0cl 30826  ax-hfvmul 30828  ax-hvmul0 30833  ax-hfi 30902  ax-his2 30906  ax-his3 30907
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-sh 31030  df-oc 31075
This theorem is referenced by:  shorth  31118  choc1  31150  omlsilem  31225
  Copyright terms: Public domain W3C validator