Theorem shocss 31270

Description: An orthogonal complement is a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shocss	⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shocss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 31194	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
2		ocss 31269	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6488   ℋchba 30903   S_ℋ csh 30912  ⊥cort 30914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-hilex 30983  ax-hfvadd 30984  ax-hv0cl 30987  ax-hfvmul 30989  ax-hvmul0 30994  ax-hfi 31063  ax-his2 31067  ax-his3 31068

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-ltxr 11160  df-sh 31191  df-oc 31236

This theorem is referenced by:  shorth  31279  choc1  31311  omlsilem  31386