Theorem shocel 31257

Description: Membership in orthogonal complement of H subspace. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shocel	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (𝐴 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐴

Proof of Theorem shocel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 31185	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)
2		ocel 31256	. 2 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (𝐴 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (𝐴 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003   ℋchba 30894   ·_ih csp 30897   S_ℋ csh 30903  ⊥cort 30905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-hilex 30974

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-ov 7349  df-sh 31182  df-oc 31227

This theorem is referenced by:  ocin  31271  choc0  31301  choc1  31302  pjhthlem2  31367  pjclem4  32174  pj3si  32182