HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shocel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shocel 31311
Description: Membership in orthogonal complement of H subspace. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shocel (𝐻S → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (𝐴 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐻 (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐴

Proof of Theorem shocel
StepHypRef Expression
1 shss 31239 . 2 (𝐻S𝐻 ⊆ ℋ)
2 ocel 31310 . 2 (𝐻 ⊆ ℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (𝐴 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐻 (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))
31, 2syl 17 1 (𝐻S → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (𝐴 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐻 (𝐴 ·ih 𝑥) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  chba 30948   ·ih csp 30951   S csh 30957  cort 30959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-hilex 31028
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-sh 31236  df-oc 31281
This theorem is referenced by:  ocin  31325  choc0  31355  choc1  31356  pjhthlem2  31421  pjclem4  32228  pj3si  32236
  Copyright terms: Public domain W3C validator