Theorem shorth 31890

Description: Members of orthogonal subspaces are orthogonal. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shorth	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)))

Proof of Theorem shorth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3925	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → (𝐴 ∈ 𝐺 → 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
2	1	anim1d 623	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐵 ∈ 𝐻)))
3	2	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻)) → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐵 ∈ 𝐻))
4	3	ancomd 467	. . 3 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻)) → (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
5		shocorth 31887	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
6	5	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0)
7		shss 31805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)
8	7	sseld 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ ℋ))
9		shocss 31881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ⊆ ℋ)
10	9	sseld 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ))
11	8, 10	anim12d 621	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)))
12	11	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
13		orthcom 31703	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
15	6, 14	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
16	4, 15	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
17	16	exp32 426	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193   ℋchba 31514   ·_ih csp 31517   S_ℋ csh 31523  ⊥cort 31525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-hilex 31594  ax-hfvadd 31595  ax-hv0cl 31598  ax-hfvmul 31600  ax-hvmul0 31605  ax-hfi 31674  ax-his1 31677  ax-his2 31678  ax-his3 31679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sh 31802  df-oc 31847

This theorem is used by:  pjoi0  32312