Theorem shorth 31366

Description: Members of orthogonal subspaces are orthogonal. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shorth	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)))

Proof of Theorem shorth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → (𝐴 ∈ 𝐺 → 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
2	1	anim1d 612	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐵 ∈ 𝐻)))
3	2	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻)) → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐵 ∈ 𝐻))
4	3	ancomd 461	. . 3 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻)) → (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
5		shocorth 31363	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
6	5	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0)
7		shss 31281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)
8	7	sseld 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ ℋ))
9		shocss 31357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ⊆ ℋ)
10	9	sseld 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ))
11	8, 10	anim12d 610	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)))
12	11	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
13		orthcom 31179	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
15	6, 14	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
16	4, 15	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
17	16	exp32 420	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038   ℋchba 30990   ·_ih csp 30993   S_ℋ csh 30999  ⊥cort 31001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hv0cl 31074  ax-hfvmul 31076  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his1 31153  ax-his2 31154  ax-his3 31155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sh 31278  df-oc 31323

This theorem is referenced by:  pjoi0  31788