Theorem shorth 31231

Description: Members of orthogonal subspaces are orthogonal. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shorth	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)))

Proof of Theorem shorth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3943	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → (𝐴 ∈ 𝐺 → 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
2	1	anim1d 611	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐵 ∈ 𝐻)))
3	2	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻)) → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐵 ∈ 𝐻))
4	3	ancomd 461	. . 3 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻)) → (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
5		shocorth 31228	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
6	5	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0)
7		shss 31146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)
8	7	sseld 3948	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ ℋ))
9		shocss 31222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ⊆ ℋ)
10	9	sseld 3948	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ))
11	8, 10	anim12d 609	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)))
12	11	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
13		orthcom 31044	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
15	6, 14	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
16	4, 15	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
17	16	exp32 420	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075   ℋchba 30855   ·_ih csp 30858   S_ℋ csh 30864  ⊥cort 30866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hv0cl 30939  ax-hfvmul 30941  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sh 31143  df-oc 31188

This theorem is referenced by:  pjoi0  31653