HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shorth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shorth 29078
Description: Members of orthogonal subspaces are orthogonal. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shorth (𝐻S → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴𝐺𝐵𝐻) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)))

Proof of Theorem shorth
StepHypRef Expression
1 ssel 3908 . . . . . 6 (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → (𝐴𝐺𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
21anim1d 613 . . . . 5 (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴𝐺𝐵𝐻) → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐵𝐻)))
32imp 410 . . . 4 ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴𝐺𝐵𝐻)) → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐵𝐻))
43ancomd 465 . . 3 ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴𝐺𝐵𝐻)) → (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
5 shocorth 29075 . . . . 5 (𝐻S → ((𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
65imp 410 . . . 4 ((𝐻S ∧ (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0)
7 shss 28993 . . . . . . . 8 (𝐻S𝐻 ⊆ ℋ)
87sseld 3914 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝐵𝐻𝐵 ∈ ℋ))
9 shocss 29069 . . . . . . . 8 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ⊆ ℋ)
109sseld 3914 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ))
118, 10anim12d 611 . . . . . 6 (𝐻S → ((𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)))
1211imp 410 . . . . 5 ((𝐻S ∧ (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
13 orthcom 28891 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝐻S ∧ (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
156, 14mpbid 235 . . 3 ((𝐻S ∧ (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
164, 15sylan2 595 . 2 ((𝐻S ∧ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴𝐺𝐵𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
1716exp32 424 1 (𝐻S → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴𝐺𝐵𝐻) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wss 3881  cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  chba 28702   ·ih csp 28705   S csh 28711  cort 28713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-hilex 28782  ax-hfvadd 28783  ax-hv0cl 28786  ax-hfvmul 28788  ax-hvmul0 28793  ax-hfi 28862  ax-his1 28865  ax-his2 28866  ax-his3 28867
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sh 28990  df-oc 29035
This theorem is referenced by:  pjoi0  29500
  Copyright terms: Public domain W3C validator