HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shorth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shorth 31323
Description: Members of orthogonal subspaces are orthogonal. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shorth (𝐻S → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴𝐺𝐵𝐻) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)))

Proof of Theorem shorth
StepHypRef Expression
1 ssel 3988 . . . . . 6 (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → (𝐴𝐺𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
21anim1d 611 . . . . 5 (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴𝐺𝐵𝐻) → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐵𝐻)))
32imp 406 . . . 4 ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴𝐺𝐵𝐻)) → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐵𝐻))
43ancomd 461 . . 3 ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴𝐺𝐵𝐻)) → (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
5 shocorth 31320 . . . . 5 (𝐻S → ((𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
65imp 406 . . . 4 ((𝐻S ∧ (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0)
7 shss 31238 . . . . . . . 8 (𝐻S𝐻 ⊆ ℋ)
87sseld 3993 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝐵𝐻𝐵 ∈ ℋ))
9 shocss 31314 . . . . . . . 8 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ⊆ ℋ)
109sseld 3993 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ))
118, 10anim12d 609 . . . . . 6 (𝐻S → ((𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)))
1211imp 406 . . . . 5 ((𝐻S ∧ (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
13 orthcom 31136 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝐻S ∧ (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
156, 14mpbid 232 . . 3 ((𝐻S ∧ (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
164, 15sylan2 593 . 2 ((𝐻S ∧ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴𝐺𝐵𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
1716exp32 420 1 (𝐻S → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴𝐺𝐵𝐻) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  chba 30947   ·ih csp 30950   S csh 30956  cort 30958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hv0cl 31031  ax-hfvmul 31033  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sh 31235  df-oc 31280
This theorem is referenced by:  pjoi0  31745
  Copyright terms: Public domain W3C validator