Theorem shorth 28853

Description: Members of orthogonal subspaces are orthogonal. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shorth	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)))

Proof of Theorem shorth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3852	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → (𝐴 ∈ 𝐺 → 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
2	1	anim1d 601	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐵 ∈ 𝐻)))
3	2	imp 398	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻)) → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐵 ∈ 𝐻))
4	3	ancomd 454	. . 3 ⊢ ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻)) → (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
5		shocorth 28850	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
6	5	imp 398	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0)
7		shss 28766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)
8	7	sseld 3857	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ ℋ))
9		shocss 28844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ⊆ ℋ)
10	9	sseld 3857	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ))
11	8, 10	anim12d 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)))
12	11	imp 398	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
13		orthcom 28664	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
15	6, 14	mpbid 224	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
16	4, 15	sylan2 583	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
17	16	exp32 413	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3829  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  0cc0 10335   ℋchba 28475   ·_ih csp 28478   S_ℋ csh 28484  ⊥cort 28486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-hilex 28555  ax-hfvadd 28556  ax-hv0cl 28559  ax-hfvmul 28561  ax-hvmul0 28566  ax-hfi 28635  ax-his1 28638  ax-his2 28639  ax-his3 28640

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-2 11503  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sh 28763  df-oc 28808

This theorem is referenced by:  pjoi0  29275