HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shorth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shorth 31020
Description: Members of orthogonal subspaces are orthogonal. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shorth (𝐻S → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴𝐺𝐵𝐻) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)))

Proof of Theorem shorth
StepHypRef Expression
1 ssel 3968 . . . . . 6 (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → (𝐴𝐺𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
21anim1d 610 . . . . 5 (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴𝐺𝐵𝐻) → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐵𝐻)))
32imp 406 . . . 4 ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴𝐺𝐵𝐻)) → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐵𝐻))
43ancomd 461 . . 3 ((𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴𝐺𝐵𝐻)) → (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
5 shocorth 31017 . . . . 5 (𝐻S → ((𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
65imp 406 . . . 4 ((𝐻S ∧ (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0)
7 shss 30935 . . . . . . . 8 (𝐻S𝐻 ⊆ ℋ)
87sseld 3974 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝐵𝐻𝐵 ∈ ℋ))
9 shocss 31011 . . . . . . . 8 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ⊆ ℋ)
109sseld 3974 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ))
118, 10anim12d 608 . . . . . 6 (𝐻S → ((𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)))
1211imp 406 . . . . 5 ((𝐻S ∧ (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ))
13 orthcom 30833 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝐻S ∧ (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
156, 14mpbid 231 . . 3 ((𝐻S ∧ (𝐵𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
164, 15sylan2 592 . 2 ((𝐻S ∧ (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) ∧ (𝐴𝐺𝐵𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
1716exp32 420 1 (𝐻S → (𝐺 ⊆ (⊥‘𝐻) → ((𝐴𝐺𝐵𝐻) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3941  cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  chba 30644   ·ih csp 30647   S csh 30653  cort 30655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-hilex 30724  ax-hfvadd 30725  ax-hv0cl 30728  ax-hfvmul 30730  ax-hvmul0 30735  ax-hfi 30804  ax-his1 30807  ax-his2 30808  ax-his3 30809
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-2 12273  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sh 30932  df-oc 30977
This theorem is referenced by:  pjoi0  31442
  Copyright terms: Public domain W3C validator