Theorem spanid 29610

Description: A subspace of Hilbert space is its own span. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanid	⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem spanid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 29473	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
2		spanval 29596	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
4		intmin 4896	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∩ cint 4876  ‘cfv 6418   ℋchba 29182   S_ℋ csh 29191  spancspn 29195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hv0cl 29266  ax-hfvmul 29268

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-map 8575  df-nn 11904  df-hlim 29235  df-sh 29470  df-ch 29484  df-span 29572

This theorem is referenced by:  spanssoc  29612  shs0i  29712  spansn0  29804  span0  29805  spanuni  29807  spansnpji  29841  spanunsni  29842  spansnji  29909  shatomistici  30624