HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanid 29709
Description: A subspace of Hilbert space is its own span. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanid (𝐴S → (span‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem spanid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shss 29572 . . 3 (𝐴S𝐴 ⊆ ℋ)
2 spanval 29695 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
31, 2syl 17 . 2 (𝐴S → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
4 intmin 4899 . 2 (𝐴S {𝑥S𝐴𝑥} = 𝐴)
53, 4eqtrd 2778 1 (𝐴S → (span‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  {crab 3068  wss 3887   cint 4879  cfv 6433  chba 29281   S csh 29290  spancspn 29294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hv0cl 29365  ax-hfvmul 29367
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-map 8617  df-nn 11974  df-hlim 29334  df-sh 29569  df-ch 29583  df-span 29671
This theorem is referenced by:  spanssoc  29711  shs0i  29811  spansn0  29903  span0  29904  spanuni  29906  spansnpji  29940  spanunsni  29941  spansnji  30008  shatomistici  30723
  Copyright terms: Public domain W3C validator