HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanid 29285
Description: A subspace of Hilbert space is its own span. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanid (𝐴S → (span‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem spanid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shss 29148 . . 3 (𝐴S𝐴 ⊆ ℋ)
2 spanval 29271 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
31, 2syl 17 . 2 (𝐴S → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
4 intmin 4857 . 2 (𝐴S {𝑥S𝐴𝑥} = 𝐴)
53, 4eqtrd 2774 1 (𝐴S → (span‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  {crab 3058  wss 3844   cint 4837  cfv 6340  chba 28857   S csh 28866  spancspn 28870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-1cn 10676  ax-addcl 10678  ax-hilex 28937  ax-hfvadd 28938  ax-hv0cl 28941  ax-hfvmul 28943
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-map 8442  df-nn 11720  df-hlim 28910  df-sh 29145  df-ch 29159  df-span 29247
This theorem is referenced by:  spanssoc  29287  shs0i  29387  spansn0  29479  span0  29480  spanuni  29482  spansnpji  29516  spanunsni  29517  spansnji  29584  shatomistici  30299
  Copyright terms: Public domain W3C validator