Theorem spanid 30463

Description: A subspace of Hilbert space is its own span. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanid	⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem spanid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 30326	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
2		spanval 30449	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
4		intmin 4965	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3431   ⊆ wss 3944  ∩ cint 4943  ‘cfv 6532   ℋchba 30035   S_ℋ csh 30044  spancspn 30048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-1cn 11150  ax-addcl 11152  ax-hilex 30115  ax-hfvadd 30116  ax-hv0cl 30119  ax-hfvmul 30121

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-map 8805  df-nn 12195  df-hlim 30088  df-sh 30323  df-ch 30337  df-span 30425

This theorem is referenced by:  spanssoc  30465  shs0i  30565  spansn0  30657  span0  30658  spanuni  30660  spansnpji  30694  spanunsni  30695  spansnji  30762  shatomistici  31477