Theorem spanid 31274

Description: A subspace of Hilbert space is its own span. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanid	⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem spanid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 31137	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
2		spanval 31260	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
4		intmin 4944	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415   ⊆ wss 3926  ∩ cint 4922  ‘cfv 6530   ℋchba 30846   S_ℋ csh 30855  spancspn 30859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-1cn 11185  ax-addcl 11187  ax-hilex 30926  ax-hfvadd 30927  ax-hv0cl 30930  ax-hfvmul 30932

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-map 8840  df-nn 12239  df-hlim 30899  df-sh 31134  df-ch 31148  df-span 31236

This theorem is referenced by:  spanssoc  31276  shs0i  31376  spansn0  31468  span0  31469  spanuni  31471  spansnpji  31505  spanunsni  31506  spansnji  31573  shatomistici  32288