Theorem spanid 31434

Description: A subspace of Hilbert space is its own span. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanid	⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem spanid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 31297	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
2		spanval 31420	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
4		intmin 4925	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ∩ cint 4904  ‘cfv 6500   ℋchba 31006   S_ℋ csh 31015  spancspn 31019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098  ax-hilex 31086  ax-hfvadd 31087  ax-hv0cl 31090  ax-hfvmul 31092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-map 8777  df-nn 12158  df-hlim 31059  df-sh 31294  df-ch 31308  df-span 31396

This theorem is referenced by:  spanssoc  31436  shs0i  31536  spansn0  31628  span0  31629  spanuni  31631  spansnpji  31665  spanunsni  31666  spansnji  31733  shatomistici  32448