Theorem spanid 31443

Description: A subspace of Hilbert space is its own span. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanid	⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem spanid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 31306	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 𝐴 ⊆ ℋ)
2		spanval 31429	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
4		intmin 4905	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392   ⊆ wss 3890  ∩ cint 4884  ‘cfv 6492   ℋchba 31015   S_ℋ csh 31024  spancspn 31028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-1cn 11094  ax-addcl 11096  ax-hilex 31095  ax-hfvadd 31096  ax-hv0cl 31099  ax-hfvmul 31101

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-map 8772  df-nn 12173  df-hlim 31068  df-sh 31303  df-ch 31317  df-span 31405

This theorem is referenced by:  spanssoc  31445  shs0i  31545  spansn0  31637  span0  31638  spanuni  31640  spansnpji  31674  spanunsni  31675  spansnji  31742  shatomistici  32457