Theorem shsubcl 31239

Description: Closure of vector subtraction in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsubcl	⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem shsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 31229	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)
2	1	sseld 3982	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ ℋ))
3	1	sseld 3982	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ ℋ))
4	2, 3	anim12d 609	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)))
5	4	3impib 1117	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
6		hvsubval 31035	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1cn 12380	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
9		shmulcl 31237	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
10	8, 9	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
11	10	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
12		shaddcl 31236	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻)
13	11, 12	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻)
14	7, 13	eqeltrd 2841	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156  -cneg 11493   ℋchba 30938   +_ℎ cva 30939   ·_ℎ csm 30940   −_ℎ cmv 30944   S_ℋ csh 30947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hfvmul 31024

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-hvsub 30990  df-sh 31226

This theorem is referenced by:  hhssmetdval  31296  shuni  31319  shsvs  31342  omlsilem  31421  pjoc1i  31450  chscllem2  31657  sumspansn  31668  spansncvi  31671  pjss2i  31699  pjssmii  31700  pjocini  31717  sumdmdii  32434  cdjreui  32451