Theorem shsubcl 31295

Description: Closure of vector subtraction in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsubcl	⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem shsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 31285	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)
2	1	sseld 3932	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ ℋ))
3	1	sseld 3932	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ ℋ))
4	2, 3	anim12d 609	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)))
5	4	3impib 1116	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
6		hvsubval 31091	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1cn 12130	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
9		shmulcl 31293	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
10	8, 9	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
11	10	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
12		shaddcl 31292	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻)
13	11, 12	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻)
14	7, 13	eqeltrd 2836	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  1c1 11027  -cneg 11365   ℋchba 30994   +_ℎ cva 30995   ·_ℎ csm 30996   −_ℎ cmv 31000   S_ℋ csh 31003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hfvmul 31080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367  df-hvsub 31046  df-sh 31282

This theorem is referenced by:  hhssmetdval  31352  shuni  31375  shsvs  31398  omlsilem  31477  pjoc1i  31506  chscllem2  31713  sumspansn  31724  spansncvi  31727  pjss2i  31755  pjssmii  31756  pjocini  31773  sumdmdii  32490  cdjreui  32507