Theorem shsubcl 31837

Description: Closure of vector subtraction in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsubcl	⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem shsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 31827	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)
2	1	sseld 3912	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ ℋ))
3	1	sseld 3912	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ ℋ))
4	2, 3	anim12d 621	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)))
5	4	3impib 1134	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
6		hvsubval 31633	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1cn 12318	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
9		shmulcl 31835	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
10	8, 9	mp3an2 1478	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
11	10	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
12		shaddcl 31834	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻)
13	11, 12	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻)
14	7, 13	eqeltrd 2864	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  1c1 11214   -cneg 11555   ℋchba 31536   +_ℎ cva 31537   ·_ℎ csm 31538   −_ℎ cmv 31542   S_ℋ csh 31545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-hilex 31616  ax-hfvadd 31617  ax-hfvmul 31622

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-ltxr 11361  df-sub 11556  df-neg 11557  df-hvsub 31588  df-sh 31824

This theorem is used by:  hhssmetdval  31894  shuni  31917  shsvs  31940  omlsilem  32019  pjoc1i  32048  chscllem2  32255  sumspansn  32266  spansncvi  32269  pjss2i  32297  pjssmii  32298  pjocini  32315  sumdmdii  33032  cdjreui  33049