Theorem shsubcl 31249

Description: Closure of vector subtraction in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsubcl	⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem shsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 31239	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)
2	1	sseld 3994	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ ℋ))
3	1	sseld 3994	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ ℋ))
4	2, 3	anim12d 609	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)))
5	4	3impib 1115	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
6		hvsubval 31045	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1cn 12378	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
9		shmulcl 31247	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
10	8, 9	mp3an2 1448	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
11	10	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
12		shaddcl 31246	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻)
13	11, 12	syld3an3 1408	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻)
14	7, 13	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154  -cneg 11491   ℋchba 30948   +_ℎ cva 30949   ·_ℎ csm 30950   −_ℎ cmv 30954   S_ℋ csh 30957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hfvmul 31034

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31000  df-sh 31236

This theorem is referenced by:  hhssmetdval  31306  shuni  31329  shsvs  31352  omlsilem  31431  pjoc1i  31460  chscllem2  31667  sumspansn  31678  spansncvi  31681  pjss2i  31709  pjssmii  31710  pjocini  31727  sumdmdii  32444  cdjreui  32461