HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsubcl 31153
Description: Closure of vector subtraction in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsubcl ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem shsubcl
StepHypRef Expression
1 shss 31143 . . . . . 6 (𝐻S𝐻 ⊆ ℋ)
21sseld 3978 . . . . 5 (𝐻S → (𝐴𝐻𝐴 ∈ ℋ))
31sseld 3978 . . . . 5 (𝐻S → (𝐵𝐻𝐵 ∈ ℋ))
42, 3anim12d 607 . . . 4 (𝐻S → ((𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)))
543impib 1113 . . 3 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
6 hvsubval 30949 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
75, 6syl 17 . 2 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
8 neg1cn 12378 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
9 shmulcl 31151 . . . . 5 ((𝐻S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝐻) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻)
108, 9mp3an2 1446 . . . 4 ((𝐻S𝐵𝐻) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻)
11103adant2 1128 . . 3 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻)
12 shaddcl 31150 . . 3 ((𝐻S𝐴𝐻 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝐻)
1311, 12syld3an3 1406 . 2 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝐻)
147, 13eqeltrd 2826 1 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  (class class class)co 7424  cc 11156  1c1 11159  -cneg 11495  chba 30852   + cva 30853   · csm 30854   cmv 30858   S csh 30861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-hilex 30932  ax-hfvadd 30933  ax-hfvmul 30938
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-ltxr 11303  df-sub 11496  df-neg 11497  df-hvsub 30904  df-sh 31140
This theorem is referenced by:  hhssmetdval  31210  shuni  31233  shsvs  31256  omlsilem  31335  pjoc1i  31364  chscllem2  31571  sumspansn  31582  spansncvi  31585  pjss2i  31613  pjssmii  31614  pjocini  31631  sumdmdii  32348  cdjreui  32365
  Copyright terms: Public domain W3C validator