HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsubcl 28633
Description: Closure of vector subtraction in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsubcl ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem shsubcl
StepHypRef Expression
1 shss 28623 . . . . . 6 (𝐻S𝐻 ⊆ ℋ)
21sseld 3827 . . . . 5 (𝐻S → (𝐴𝐻𝐴 ∈ ℋ))
31sseld 3827 . . . . 5 (𝐻S → (𝐵𝐻𝐵 ∈ ℋ))
42, 3anim12d 604 . . . 4 (𝐻S → ((𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)))
543impib 1150 . . 3 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
6 hvsubval 28429 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
75, 6syl 17 . 2 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
8 neg1cn 11473 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
9 shmulcl 28631 . . . . 5 ((𝐻S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝐻) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻)
108, 9mp3an2 1579 . . . 4 ((𝐻S𝐵𝐻) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻)
11103adant2 1167 . . 3 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻)
12 shaddcl 28630 . . 3 ((𝐻S𝐴𝐻 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝐻)
1311, 12syld3an3 1534 . 2 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝐻)
147, 13eqeltrd 2907 1 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  (class class class)co 6906  cc 10251  1c1 10254  -cneg 10587  chba 28332   + cva 28333   · csm 28334   cmv 28338   S csh 28341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-hilex 28412  ax-hfvadd 28413  ax-hfvmul 28418
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-ltxr 10397  df-sub 10588  df-neg 10589  df-hvsub 28384  df-sh 28620
This theorem is referenced by:  hhssmetdval  28691  shuni  28715  shsvs  28738  omlsilem  28817  pjoc1i  28846  chscllem2  29053  sumspansn  29064  spansncvi  29067  pjss2i  29095  pjssmii  29096  pjocini  29113  sumdmdii  29830  cdjreui  29847
  Copyright terms: Public domain W3C validator