HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsubcl 29168
Description: Closure of vector subtraction in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsubcl ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem shsubcl
StepHypRef Expression
1 shss 29158 . . . . . 6 (𝐻S𝐻 ⊆ ℋ)
21sseld 3886 . . . . 5 (𝐻S → (𝐴𝐻𝐴 ∈ ℋ))
31sseld 3886 . . . . 5 (𝐻S → (𝐵𝐻𝐵 ∈ ℋ))
42, 3anim12d 612 . . . 4 (𝐻S → ((𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)))
543impib 1117 . . 3 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
6 hvsubval 28964 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
75, 6syl 17 . 2 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
8 neg1cn 11843 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
9 shmulcl 29166 . . . . 5 ((𝐻S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝐻) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻)
108, 9mp3an2 1450 . . . 4 ((𝐻S𝐵𝐻) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻)
11103adant2 1132 . . 3 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻)
12 shaddcl 29165 . . 3 ((𝐻S𝐴𝐻 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝐻)
1311, 12syld3an3 1410 . 2 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝐻)
147, 13eqeltrd 2834 1 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  (class class class)co 7183  cc 10626  1c1 10629  -cneg 10962  chba 28867   + cva 28868   · csm 28869   cmv 28873   S csh 28876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-hilex 28947  ax-hfvadd 28948  ax-hfvmul 28953
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-ltxr 10771  df-sub 10963  df-neg 10964  df-hvsub 28919  df-sh 29155
This theorem is referenced by:  hhssmetdval  29225  shuni  29248  shsvs  29271  omlsilem  29350  pjoc1i  29379  chscllem2  29586  sumspansn  29597  spansncvi  29600  pjss2i  29628  pjssmii  29629  pjocini  29646  sumdmdii  30363  cdjreui  30380
  Copyright terms: Public domain W3C validator