Theorem shsubcl 31822

Description: Closure of vector subtraction in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsubcl	⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem shsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 31812	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ ℋ)
2	1	sseld 3930	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ ℋ))
3	1	sseld 3930	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ ℋ))
4	2, 3	anim12d 621	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)))
5	4	3impib 1134	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
6		hvsubval 31618	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1cn 12305	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
9		shmulcl 31820	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
10	8, 9	mp3an2 1478	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
11	10	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
12		shaddcl 31819	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻)
13	11, 12	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ 𝐻)
14	7, 13	eqeltrd 2861	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  1c1 11201   -cneg 11542   ℋchba 31521   +_ℎ cva 31522   ·_ℎ csm 31523   −_ℎ cmv 31527   S_ℋ csh 31530

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hfvmul 31607

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-hvsub 31573  df-sh 31809

This theorem is used by:  hhssmetdval  31879  shuni  31902  shsvs  31925  omlsilem  32004  pjoc1i  32033  chscllem2  32240  sumspansn  32251  spansncvi  32254  pjss2i  32282  pjssmii  32283  pjocini  32300  sumdmdii  33017  cdjreui  33034